Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.

PROBLÈME DE DIRICHLET HOMOGÈNE.
HYPOTHÈSES :
1 H = H0 1 (Ω) : espace de Hilbert.
∫
2 L(v) = fv : forme linéaire continue sur H.
Ω∫
∫
3 A(u, v) = ∇u.∇v + cuv : forme bilinéaire continue et
Ω
Ω
coercive si
c est positive,
ou ‖c − ‖ ∞ < 1 , où K
KP
2 P est la constante dans l’inégalité de
Poincaré.
THÉORÈME (APPLICATION DE LAX-MILGRAM)
Il existe une unique solution u ∈ H0 1 (Ω) au problème (2). De plus
∆u ∈ L 2 (Ω).
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 30 / 42