Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.

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PLAN 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV Premières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev Espace H 1 0 (Ω) Notion de trace au bord 3 FORMULATION VARIATIONNELLE Problème de Dirichlet Régularité des solutions faibles Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 27 / 42
INTRODUCTION. PROBLÈME DE DIRICHLET HOMOGÈNE : pour Ω ouvert borné de classe C 1 , c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) : (1) { −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω, u(x) = 0, x ∈ ∂Ω. DÉFINITION LEMME Une solution classique est une fonction u ∈ C 2 (Ω) vérifiant (1). Une solution faible de (1) est une fonction u ∈ H0 1 (Ω) t.q. : ∫ ∫ ∫ ∀v ∈ H0 1 (Ω), ∇u.∇v + cuv = fv. Ω Ω Ω Toute solution classique est une solution faible. A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 28 / 42
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