Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.
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EXISTENCE ET UNICITÉ.<br />
THÉORÈME<br />
Il existe une unique fonction u vérifiant (4), (5) et (6) et<br />
u ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H0 1 (Ω)),<br />
∂u<br />
∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).<br />
∂t<br />
THÉORÈME<br />
Si u 0 ∈ H0 1(Ω), alors la solution faible vérifie u ∈ L∞ (0, T ; H0 1 (Ω)) et<br />
u ∈ L 2 (0, T ; H 2 (Ω)), avec<br />
∫ T<br />
esssup‖u(t)‖ 2 H 1 0≤t≤T<br />
0 (Ω) + 0<br />
( ∫ T<br />
≤ C<br />
0<br />
(<br />
‖f ‖ 2 L 2 (Ω) + ‖u 0‖ 2 H 1 0 (Ω) )<br />
‖u(t)‖ 2 H 2 (Ω) + ∥ ∥∥∥ ∂u<br />
∂t (t) ∥ ∥∥∥<br />
2<br />
.<br />
L 2 (Ω)<br />
)<br />
dt<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 40 / 42