Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.

INTRODUCTION.
PROBLÈME : pour c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) :
{ −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω,
u(x) = 0,
x ∈ ∂Ω.
INTÉGRATION PAR PARTIES : si u et Ω sont assez réguliers, pour
φ ∈ Cc ∞ (Ω) :
∫
∫
∫
∇u(x).∇φ(x)dx + c(x)u(x)φ(x)dx = f (x)φ(x)dx.
Ω
Ω
RÉGULARITÉ de u : u ∈ L 2 (Ω) et ∇u ∈ (L 2 (Ω)) d → espaces de
Sobolev.
Ω
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 8 / 42