Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.
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DANS H m+2 ET C 2 .<br />
THÉORÈME<br />
Soit Ω un ouvert <strong>de</strong> classe C 2 avec ∂Ω borné (ou Ω = R d +). Soient<br />
f ∈ L 2 (Ω) et u ∈ H0 1 (Ω) vérifiant :<br />
∫<br />
∫<br />
∀v ∈ H0 1 (Ω), (∇u.∇v + uv) = fv.<br />
Alors u ∈ H 2 (Ω) et ‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C(Ω)‖f ‖ L 2 (Ω) .<br />
Ω<br />
Ω<br />
COROLLAIRE<br />
Si Ω est <strong>de</strong> classe C m+2 et si f ∈ H m (Ω), alors u ∈ H m+2 (Ω) et<br />
‖u‖ H m+2 (Ω) ≤ C(Ω)‖f ‖ H m (Ω).<br />
COROLLAIRE<br />
Si m > d/2, alors u ∈ C 2 (Ω).<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 35 / 42