Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.

COMPORTEMENT AU BORD.
THÉORÈME
Soit Ω ouvert de classe C 1 . Soit u ∈ H 1 (Ω) ∩ C(Ω). Alors :
PROPOSITION
u = 0 sur ∂Ω ⇔ u ∈ H 1 0 (Ω).
On suppose Ω de classe C 1 . Soit u ∈ L 2 (Ω). Alors équivalence entre
u ∈ H 1 0 (Ω) ;
il existe une constante C t.q. :
∫
∣ u ∂φ ∣ ∣∣∣
≤ C‖φ‖ 2 , ∀φ ∈ Cc 1 (R d ), ∀i = 1, . . . , d;
∂x i
Ω
la fonction u(x) = u(x) pour x ∈ Ω et u(x) = 0 pour x ∈ R d \ Ω est
dans H 1 (Ω) et ∂u = ∂u .
∂x i ∂x i
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 21 / 42