Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.

REMARQUES.
H 1 (Ω) est muni du produit scalaire :
d∑
〈u, v〉 H 1 (Ω) = 〈u, v〉 L 2 (Ω) + 〈 ∂u , ∂v 〉
∂x i ∂x L 2 (Ω) .
i
Si u ∈ L 2 (Ω) ∩ C 1 ∂u
(Ω), et si ∈ L 2 (Ω), alors les deux définitions
∂x i
de dérivée coïncident.
(
∥ ) 1/2
d∑
Norme équivalente : ‖u‖ 2 2 + ∂u ∥∥∥
2
∥ .
∂x i
i=1
i=1
Espaces de fonctions-tests : C 1 c (Ω) convient aussi.
C ∞ c (Ω) ⊂ H 1 (Ω) et si Ω borné, C 1 (Ω) ⊂ H 1 (Ω).
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A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 11 / 42