Introduction : EDP et finance. - Université du Maine
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MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK ET SCHOLES.<br />
THÉORÈME<br />
Le contrat est <strong>du</strong>plicable par un portefeuille dont la valeur à la date t<br />
est v(t, S t ), où v est solution de : pour (t, x) ∈]0, T [×R ∗ +<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∂v(t, x)<br />
∂t<br />
v(T , x) = h(x).<br />
+ 1 2 σ2 x 2 ∂2 v(t, x) ∂v(t, x)<br />
∂x 2 + rx − rv(t, x) = 0,<br />
∂x<br />
De plus il faut placer à chaque instant<br />
◮ ∆ = ∂<br />
∂x v(t, S t) sur l’actif (Delta <strong>du</strong> pro<strong>du</strong>it dérivé),<br />
◮ v(t, S t ) − ∂<br />
∂x v(t, S t) au taux r.<br />
A. Popier (Le Mans) <strong>EDP</strong> <strong>et</strong> <strong>finance</strong>. 5 / 16
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