Espaces de Banach, de Hilbert, de Sobolev. - Université du Maine

ESPACES DE BANACH, DE HILBERT, DE SOBOLEV.Alexandre PopierUniversité du Maine, Le MansA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 1 / 33

PLAN DU COURS1 ESPACES DE BANACH2 ESPACES DE HILBERTDual d’un espace de HilbertThéorèmes de Stampacchia et Lax-MilgramBases hilbertiennes3 ESPACES DE SOBOLEVPremières définitions et propriétésOpérateurs de prolongementInégalités de SobolevEspace H 1 0 (Ω)Notion de trace au bordA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 2 / 33

PLAN1 ESPACES DE BANACH2 ESPACES DE HILBERTDual d’un espace de HilbertThéorèmes de Stampacchia et Lax-MilgramBases hilbertiennes3 ESPACES DE SOBOLEVPremières définitions et propriétésOpérateurs de prolongementInégalités de SobolevEspace H 1 0 (Ω)Notion de trace au bordA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 3 / 33

NORMES, ESPACE DE BANACH.RAPPELS :DÉFINITIONSoit E espace vectoriel sur R. Une norme sur E est une applicationp : E → R t.q.1 ∀x ∈ E, p(x) ≥ 0 ;2 ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, p(λx) = |λ|p(x) ;3 ∀(x, y) ∈ E 2 , p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (inégalité triangulaire) ;4 p(x) = 0 ⇒ x = 0.DÉFINITIONUn espace de Banach est un espace vectoriel E muni d’une norme pqui le rende complet pour la distance associée d(x, y) = p(x − y).A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 4 / 33

EXEMPLES.C([0, 1]) muni de la norme infinie ‖f ‖ ∞ = max |f (t)|.t∈[0,1]L p (Ω) muni de la norme ‖.‖ p pour 1 ≤ p ≤ +∞.l p , 1 ≤ p < +∞ :l ∞ :ensemble des suites u = (u n ) n∈N t.q.norme ‖u‖ p =( ∑+∞n=0 |u n| p ) 1/p.+∞∑n=0ensemble des suites u = (u n ) n∈N bornées.norme ‖u‖ ∞ = sup n∈N |u n |.|u n | p < +∞.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 5 / 33

APPLICATIONS LINÉAIRES.THÉORÈMESoient E et F deux espaces normés et T : E → F application linéaire.Alors équivalence entre :1 T est continue sur E ;2 T est continue en 0 ;3 T est lipschitzienne ;4 il existe C T ≥ 0 t.q. pour tout x ∈ E, ‖Tx‖ F ≤ C T ‖x‖ E .DÉFINITIONLa norme de T est définie par|‖T ‖| = sup{‖Tx‖ F , ‖x‖ E ≤ 1}.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 6 / 33

APPLICATIONS LINÉAIRES.DÉFINITIONLa norme de T est définie par|‖T ‖| = sup{‖Tx‖ F , ‖x‖ E ≤ 1}.PROPOSITION|‖.‖| est une norme sur L(E, F), ensemble des applications linéairescontinues.PROPOSITIONSi F est un espace de Banach, L(E, F) muni de |‖.‖| est de Banach.DÉFINITIONL’ensemble L(E, R) est l’espace dual de E, noté E ′ .A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 6 / 33

PLAN1 ESPACES DE BANACH2 ESPACES DE HILBERTDual d’un espace de HilbertThéorèmes de Stampacchia et Lax-MilgramBases hilbertiennes3 ESPACES DE SOBOLEVPremières définitions et propriétésOpérateurs de prolongementInégalités de SobolevEspace H 1 0 (Ω)Notion de trace au bordA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 7 / 33

DÉFINITIONS.DÉFINITIONSoit H un espace vectoriel. Un produit scalaire 〈u, v〉 est une formebilinéaire de H × H dans R symétrique, définie positive.LEMMEInégalité de Cauchy-Schwarz :∀(u, v) ∈ H 2 , |〈u, v〉| ≤ 〈u, u〉 1/2 〈v, v〉 1/2 .u ∈ H ↦→ ‖u‖ = 〈u, u〉 1/2 est une norme sur H.Identité du parallélogramme :∀(u, v) ∈ H 2 ,u + v∥ 2∥2+u − v∥ 2∥2= 1 2(‖u‖ 2 + ‖v‖ 2) .A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 8 / 33

DÉFINITIONS.DÉFINITIONUn espace de Hilbert est un espace vectoriel H muni d’un produitscalaire 〈u, v〉 et qui est complet pour la norme 〈u, u〉 1/2EXEMPLESH = R d , avec a 1 , . . . , a d réels strictement positifs etd∑∀(u, v) ∈ (R d ) 2 , 〈u, v〉 = a i u i v i .i=1H = l 2 : ensemble des suites u = (u n ) n∈N t.q.∀(u, v) ∈ H 2 , 〈u, v〉 =+∞∑n=0∫H = L 2 (Ω) avec 〈u, v〉 =u i v i .u(x)v(x)dx.∞∑un 2 < +∞, avecΩA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 8 / 33n=0

THÉORÈME DE PROJECTION.THÉORÈMESoit K ⊂ H convexe fermé non vide. Alors pour tout u ∈ H, il existev ∈ K unique t.q.‖u − v‖ = infw∈KDe plus v caractérisé par‖u − w‖ = min ‖u − w‖.w∈Kv ∈ K , 〈u − v, w − v〉 ≤ 0, ∀w ∈ K .DÉFINITIONv est appelé la projection de u sur K et noté P K u.PROPOSITIONPour tout (u 1 , u 2 ) ∈ H 2 , ‖P K u 1 − P K u 2 ‖ ≤ ‖u 1 − u 2 ‖.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 9 / 33

THÉORÈME DE PROJECTION.THÉORÈMESoit K ⊂ H convexe fermé non vide. Alors pour tout u ∈ H, il existev ∈ K unique t.q.‖u − v‖ = infw∈KDe plus v caractérisé par‖u − w‖ = min ‖u − w‖.w∈Kv ∈ K , 〈u − v, w − v〉 ≤ 0, ∀w ∈ K .COROLLAIRESoit M ⊂ H sev fermé et u ∈ H. Alors v = P M u caractérisé parv ∈ M, 〈u − v, w〉 = 0, ∀w ∈ M.u − v ∈ M ⊥ et P M est un opérateur linéaire, dit projecteur orthogonal.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 9 / 33

IDENTIFICATION DE H ′ AVEC H.THÉORÈME DE RIESZSoit φ ∈ H ′ . Il existe u ∈ H unique t.q.∀v ∈ H,φ(v) = 〈u, v〉.De plus ‖u‖ = ‖φ‖ H ′.DÉFINITIONUne suite (x n ) n∈N de H converge faiblement vers x ∈ H si∀y ∈ H,lim 〈x n, y〉 = 〈x, y〉.n→+∞THÉORÈMEDe toute suite bornée de H, on peut extraire une sous-suite faiblementconvergente.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 10 / 33

THÉORÈME DE STAMPACCHIA.DÉFINITIONUne forme bilinéaire A : H × H → R estcontinue s’il existe C t.q. pour tout (u, v), |A(u, v)| ≤ C‖u‖‖v‖ ;coercive s’il existe α > 0 t.q. pour tout u, A(u, u) ≥ α‖u‖ 2 .THÉORÈMESoit A bilinéaire continue et coercive. Soit K convexe fermé non vide.Pour φ ∈ H ′ , il existe u ∈ K unique t.q.∀v ∈ K , A(u, v − u) ≥ φ(v − u).Si A est symétrique, alors u caractérisé paru ∈ K ,( )11A(u, u) − φ(u) = min2 v∈K 2 A(v, v) − φ(v) .A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 11 / 33

THÉORÈME DE LAX-MILGRAM.THÉORÈMESoit A bilinéaire continue et coercive. Pour φ ∈ H ′ , il existe u ∈ Hunique t.q.∀v ∈ H, A(u, v) = φ(v).Si A est symétrique, alors u caractérisé paru ∈ H,( )11A(u, u) − φ(u) = min2 v∈K 2 A(v, v) − φ(v) .A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 12 / 33

SOMMES HILBERTIENNES.DÉFINITIONSoit (E n ) n∈N une suite de sous-espaces fermés de H. H est sommehilbertienne des (E n ), noté H = ⊕ E n sinles E n sont 2 à 2 orthogonaux : 〈u, v〉 = 0 pour tout u ∈ E m ,v ∈ E n , m ≠ n ;et Vect (E n , n ∈ N) = H.THÉORÈMESoit H = ⊕ n E n . Soit u ∈ H et u n = P En u. Alors+∞∑k∑1 u = u n = lim u n ,2 ‖u‖ 2 =n=0+∞∑n=0k→+∞n=0‖u n ‖ 2 (égalité de Bessel-Parseval).A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 13 / 33

BASES HILBERTIENNES.DÉFINITIONUne base hilbertienne est une suite (e n ) n∈N d’éléments de H t.q.‖e n ‖ = 1, ∀n ; 〈e m , e n 〉 = 0 si m ≠ n.et Vect (e n , n ∈ N) = H.THÉORÈMETout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne.EXEMPLESDans H = L 2 (0, π), base formée des fonctions√2π2πsin nx,√cos nx.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 14 / 33

PLAN1 ESPACES DE BANACH2 ESPACES DE HILBERTDual d’un espace de HilbertThéorèmes de Stampacchia et Lax-MilgramBases hilbertiennes3 ESPACES DE SOBOLEVPremières définitions et propriétésOpérateurs de prolongementInégalités de SobolevEspace H 1 0 (Ω)Notion de trace au bordA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 15 / 33

INTRODUCTION.PROBLÈME : pour c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) :{ −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω,u(x) = 0,x ∈ ∂Ω.INTÉGRATION PAR PARTIES : si u et Ω sont assez réguliers, pourφ ∈ Cc ∞ (Ω) :∫∫∫∇u(x).∇φ(x)dx + c(x)u(x)φ(x)dx = f (x)φ(x)dx.ΩΩRÉGULARITÉ de u : u ∈ L 2 (Ω) et ∇u ∈ (L 2 (Ω)) d → espaces deSobolev.ΩA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 16 / 33

PREMIÈRES DÉFINITIONS.Soit Ω ⊂ R d ouvert.DÉFINITIONL’espace de Sobolev H 1 (Ω) est défini par{H 1 (Ω) = u ∈ L 2 (Ω), ∃g 1 , . . . , g d ∈ L 2 (Ω) t.q.∫u ∂φ ∫}= − g i φ, ∀φ ∈ Cc ∞ (Ω) .Ω ∂x i ΩOn pose ∂u∂x i= g i .NORME : pour u ∈ H 1 (Ω),‖u‖ H 1 (Ω) = ‖u‖ 2 +d∑∥ ∂u ∥∥∥2∥ .∂x ii=1A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 17 / 33

REMARQUES.H 1 (Ω) est muni du produit scalaire :d∑〈u, v〉 H 1 (Ω) = 〈u, v〉 L 2 (Ω) + 〈 ∂u , ∂v 〉∂x i ∂x L 2 (Ω) .iSi u ∈ L 2 (Ω) ∩ C 1 ∂u(Ω), et si ∈ L 2 (Ω), alors les deux définitions∂x ide dérivée coïncident.(∥ ) 1/2d∑Norme équivalente : ‖u‖ 2 2 + ∂u ∥∥∥2∥ .∂x ii=1i=1Espaces de fonctions-tests : C 1 c (Ω) convient aussi.C ∞ c (Ω) ⊂ H 1 (Ω) et si Ω borné, C 1 (Ω) ⊂ H 1 (Ω).2A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 18 / 33

PREMIÈRES PROPRIÉTÉS.LEMMESoit une suite (u n ) une suite de H 1 (Ω) t.q. u n → u dans L 2 (Ω) et (∇u n )converge dans (L 2 (Ω)) d . Alors u ∈ H 1 (Ω) et ‖u n − u‖ H 1 (Ω) → 0.PROPOSITIONH 1 (Ω) est un espace de Hilbert séparable.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 19 / 33

APPROXIMATION.THÉORÈME (FRIEDRICHS)Soit u ∈ H 1 (Ω). Alors il existe une suite (u n ) de C ∞ c (R d ) t.q.1 u n | Ω → u dans L 2 (Ω) ;2 ∇u n | ω → ∇u| ω dans (L 2 (ω)) d pour tout ω ⊂⊂ Ω (i.e. ω ouvert t.q.ω ⊂ Ω et ω compact).REMARQUE : en général C 1 c (R d ) n’est pas dense dans H 1 (Ω).A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 20 / 33

RÈGLES DE DÉRIVATION.PROPOSITION (PRODUIT)Soient u et v dans H 1 (Ω) ∩ L ∞ (Ω). Alors uv ∈ H 1 (Ω) ∩ L ∞ (Ω) etPROPOSITION (COMPOSITION)∂(uv) = ∂u v + u ∂v .∂x i ∂x i ∂x iSoient G ∈ C 1 (R) t.q. G(0) = 0 et |G ′ (s)| ≤ M, ∀s ∈ R ; et u ∈ H 1 (Ω).Alors G ◦ u ∈ H 1 (Ω) et∂(G ◦ u) = (G ′ ◦ u) ∂u .∂x i ∂x iA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 21 / 33

RÈGLES DE DÉRIVATION.PROPOSITION (CHANGEMENT DE VARIABLES)Soient Ω et Ω ′ deux ouverts de R d et H : Ω ′ → Ω une applicationbijective, x = H(y) t.q.H ∈ C 1 (Ω ′ ), H −1 ∈ C 1 (Ω), Jac H ∈ L ∞ (Ω ′ ), Jac H −1 ∈ L ∞ (Ω).Soit u ∈ H 1 (Ω). Alors u ◦ H ∈ H 1 (Ω ′ ) et∀j = 1, . . . , d,∂∂y j(u ◦ H)(y) =d∑i=1∂u∂x i(H(y)) ∂H i∂y j(y).A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 21 / 33

ESPACES H m (Ω).Soit m ≥ 2 entier.DÉFINITIONEspace de Sobolev H m (Ω) défini par récurrenceH m (Ω) ={}u ∈ H m−1 ∂u(Ω); ∈ H m−1 (Ω)∂x{i= u ∈ L 2 (Ω), ∀α t.q. |α| ≤ m, ∃g α ∈ L 2 (Ω) t.q.∫∫}u∂ α φ = (−1) |α| g α φ, ∀φ ∈ Cc ∞ (Ω) .On pose ∂ α u = g α .NORME : pour u ∈ H m (Ω), ‖u‖ H m (Ω) =ΩΩ∑0≤|α|≤m‖∂ α u‖ 2.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 22 / 33

ESPACES H m (Ω).PROPOSITIONH m (Ω) muni du produit scalaire〈u, v〉 H m (Ω) =∑〈∂ α u, ∂ α v〉 L 2 (Ω) ,0≤|α|≤mest un espace de Hilbert.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 22 / 33

PROLONGEMENT.THÉORÈMESoit Ω ouvert de classe C 1 avec Γ = ∂Ω borné (ou Ω = R d +). Alors ilexiste un opérateur de prolongement P : H 1 (Ω) → H 1 (R d ) linéairet.q. : ∀u ∈ H 1 (Ω)1 Pu| Ω = u ;2 ‖Pu‖ L 2 (R d ) ≤ C‖u‖ L 2 (Ω) ;3 ‖Pu‖ H 1 (R d ) ≤ C‖u‖ H 1 (Ω) ;C dépendant seulement de Ω.COROLLAIRESi Ω de classe C 1 et u ∈ H 1 (Ω), alors il existe une suite (u n ) deC ∞ c (R d ) t.q. u n | Ω → u dans H 1 (Ω).A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 23 / 33

CAS OÙ Ω = R d ET 2 < d.THÉORÈME (SOBOLEV, GAGLIARDO, NIRENBERG)Si 2 < d, alorsH 1 (R d ) ⊂ L p∗ (R d ), avec 1 p ∗ = 1 2 − 1 d .Il existe C = C(p, N) t.q.‖u‖ L p ∗ (R) ≤ C‖∇u‖ L 2, ∀u ∈ H1 (R d ).COROLLAIRESi 2 < d, alors H 1 (R d ) ⊂ L q (R d ), pour tout q ∈ [2, p ∗ ] avec injectioncontinue.COROLLAIREH 1 (R 2 ) ⊂ L q (R 2 ), pour tout q ∈ [2, +∞[ avec injection continue.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 24 / 33

CAS OÙ Ω = R.THÉORÈME (MORREY)AlorsH 1 (R) ⊂ L ∞ (R),avec injection continue. De plus pour tout u ∈ H 1 (R) :|u(x) − u(y)| ≤ C‖x − y‖ 1/2 ‖∇u‖ L 2, p.p. x, y ∈ R.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 25 / 33

CAS OÙ Ω = R d .COROLLAIRE (ESPACES H m )Soient m ≥ 1 entier. Avec injections continues :Si 1 2 − m d > 0, alors Hm (R d ) ⊂ L q (R d ) où 1 q = 1 2 − m d .Si 1 2 − m d = 0, alors Hm (R d ) ⊂ L q (R d ), ∀q ∈ [2, +∞[.Si 1 2 − m d < 0, alors Hm (R d ) ⊂ L ∞ (R d ).De plus si m − d > 0 non entier, k = [m − d/2] et θ = m − d/2 − k,2H m (R d ) ⊂ C k (R d ) et :‖∂ α u‖ L ∞ ≤ C‖u‖ H m, ∀α avec |α| ≤ k|∂ α u(x) − ∂ α u(y)| ≤ C‖u‖ H m|x − y| θ , p.p. x, y ∈ R d .A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 26 / 33

CAS OÙ Ω ⊂ R d .HYPOTHÈSES :Ω ouvert de classe C 1 avec ∂Ω borné,Ω = R d + = {x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ R d , x d > 0}.COROLLAIREAvec injections continues :Si 2 < d, alors H 1 (Ω) ⊂ L p∗ (Ω) où 1 p ∗ = 1 2 − 1 d .Si d = 2, alors H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω), ∀q ∈ [2, +∞[.Si d = 1, alors H 1 (Ω) ⊂ L ∞ (Ω).De plus si d = 1 pour tout u ∈ H 1 (Ω) :|u(x) − u(y)| ≤ C‖u‖ H 1|x − y| 1/2 , p.p. x, y ∈ Ω.Donc H 1 (Ω) ⊂ C(Ω).A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 27 / 33

CAS OÙ Ω ⊂ R d .HYPOTHÈSES :Ω ouvert de classe C 1 avec ∂Ω borné,Ω = R d + = {x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ R d , x d > 0}.COROLLAIRELes conclusions du corollaire (Espaces H m ) restent vraies enremplaçant R d par Ω.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 27 / 33

CAS OÙ Ω ⊂ R d .DÉFINITIONUne application T ∈ L(E, F) est compacte si T (B E (0, 1)) estrelativement compacte dans F .THÉORÈME (RELLICH-KONDRACHOV)Soit Ω ouvert de classe C 1 borné. Avec injections compactes :Si 2 < d, alors H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω) pour tout q ∈ [1, p ∗ [, où1p ∗ = 1 2 − 1 d .Si d = 2, alors H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω), ∀q ∈ [1, +∞[.Si d = 1, alors H 1 (Ω) ⊂ C(Ω).REMARQUE : H 1 (Ω) ⊂ L 2 (Ω) avec injection compacte.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 28 / 33

DÉFINITION.DÉFINITIONH 1 0 (Ω) désigne la fermeture de C1 c (Ω) dans H 1 (Ω).PROPOSITIONH 1 0 (Ω) muni de la norme induite par H1 (Ω) est un espace de Hilbertséparable.REMARQUESi Ω = R d , H0 1(Rd ) = H 1 (R d ).En général, H0 1(Ω) ≠ H1 (Ω).H0 1(Ω) est aussi la fermeture de C∞ c (Ω).A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 29 / 33

COMPORTEMENT AU BORD.THÉORÈMESoit Ω ouvert de classe C 1 . Soit u ∈ H 1 (Ω) ∩ C(Ω). Alors :PROPOSITIONu = 0 sur ∂Ω ⇔ u ∈ H 1 0 (Ω).On suppose Ω de classe C 1 . Soit u ∈ L 2 (Ω). Alors équivalence entreu ∈ H 1 0 (Ω) ;il existe une constante C t.q. :∫∣ u ∂φ ∣ ∣∣∣≤ C‖φ‖ 2 , ∀φ ∈ Cc 1 (R d ), ∀i = 1, . . . , d;∂x iΩla fonction u(x) = u(x) pour x ∈ Ω et u(x) = 0 pour x ∈ R d \ Ω estdans H 1 (Ω) et ∂u = ∂u .∂x i ∂x iA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 30 / 33

INÉGALITÉ DE POINCARÉ.THÉORÈMESoit Ω ouvert borné (ou borné dans une direction). Alors il existeC = C(Ω) t.q.‖u‖ 2 ≤ C‖∇u‖ 2 , ∀u ∈ H0 1 (Ω).Donc ‖∇u‖ 2 est∫une norme sur H0 1(Ω) équivalente à la norme ‖u‖ H 1.Autrement dit, ∇u∇v est un produit scalaire qui induit la norme‖∇u‖ 2 équivalente à ‖u‖ H 1.ΩA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 31 / 33

CAS OÙ Ω = R d +.LEMMEIl existe une constante C t.q. pour tout u ∈ Cc 1 (R d ) :(∫∣ u(x ′ , 0) ∣ ) 1/2 2 dx ′ ≤ C‖u‖ H 1 (Ω) .R d−1DÉFINITIONγ 0 : C 1 c (R d ) → L 2 (∂Ω) qui à u associe u| ∂Ω , avec ∂Ω = R d−1 × {0}, estcontinu.Donc se prolonge en un opérateur linéaire continu de H 1 (Ω) dansL 2 (∂Ω). Cet opérateur est la trace sur ∂Ω.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 32 / 33

CAS D’UN OUVERT BORNÉ RÉGULIER.Si Ω est une ouvert borné de classe C 1 , alors il existeγ 0 : H 1 (Ω) → L 2 (∂Ω) opérateur linéaire continu t.q.1 noyau de γ 0 = H 1 0 (Ω) ;2 image de γ 0 : W 1/2,2 (∂Ω) etW 1/2,2 (Ω) =Ω‖u| ∂Ω ‖ W 1/2,2 (∂Ω) ≤ C‖u‖ H 1 (Ω) .{u ∈ L 2 (Ω),|u(x) − u(y)||x − y| (d+1)/2 ∈ L2 (Ω × Ω)}.3 Formule de Green : pour u et v dans H 1 (Ω) :∫∫∂uv = − u ∂v ∫+ (uv)(σ)(ν.e i )(σ)dσ.∂x i ∂x iPour u et v dans H 2 (Ω) :∫ ∫− (∆u)v =ΩΩΩ∂Ω∫∂u∇u∇v −∂Ω ∂ν (σ)v(σ)dσ.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 33 / 33