Espaces de Banach, de Hilbert, de Sobolev. - UniversitÃ© du Maine

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PLAN1 ESPACES DE BANACH2 ESPACES DE HILBERTDual d’un espace de HilbertThéorèmes de Stampacchia et Lax-MilgramBases hilbertiennes3 ESPACES DE SOBOLEVPremières définitions et propriétésOpérateurs de prolongementInégalités de SobolevEspace H 1 0 (Ω)Notion de trace au bordA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 15 / 33
INTRODUCTION.PROBLÈME : pour c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) :{ −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω,u(x) = 0,x ∈ ∂Ω.INTÉGRATION PAR PARTIES : si u et Ω sont assez réguliers, pourφ ∈ Cc ∞ (Ω) :∫∫∫∇u(x).∇φ(x)dx + c(x)u(x)φ(x)dx = f (x)φ(x)dx.ΩΩRÉGULARITÉ de u : u ∈ L 2 (Ω) et ∇u ∈ (L 2 (Ω)) d → espaces deSobolev.ΩA. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 16 / 33
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