Espaces de Banach, de Hilbert, de Sobolev. - UniversitÃ© du Maine

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ESPACES H m (Ω).Soit m ≥ 2 entier.DÉFINITIONEspace de Sobolev H m (Ω) défini par récurrenceH m (Ω) ={}u ∈ H m−1 ∂u(Ω); ∈ H m−1 (Ω)∂x{i= u ∈ L 2 (Ω), ∀α t.q. |α| ≤ m, ∃g α ∈ L 2 (Ω) t.q.∫∫}u∂ α φ = (−1) |α| g α φ, ∀φ ∈ Cc ∞ (Ω) .On pose ∂ α u = g α .NORME : pour u ∈ H m (Ω), ‖u‖ H m (Ω) =ΩΩ∑0≤|α|≤m‖∂ α u‖ 2.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 22 / 33
ESPACES H m (Ω).PROPOSITIONH m (Ω) muni du produit scalaire〈u, v〉 H m (Ω) =∑〈∂ α u, ∂ α v〉 L 2 (Ω) ,0≤|α|≤mest un espace de Hilbert.A. Popier (Le Mans) Espaces généraux. 22 / 33
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