Espaces de Banach, de Hilbert, de Sobolev. - Université du Maine
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COMPORTEMENT AU BORD.THÉORÈMESoit Ω ouvert <strong>de</strong> classe C 1 . Soit u ∈ H 1 (Ω) ∩ C(Ω). Alors :PROPOSITIONu = 0 sur ∂Ω ⇔ u ∈ H 1 0 (Ω).On suppose Ω <strong>de</strong> classe C 1 . Soit u ∈ L 2 (Ω). Alors équivalence entreu ∈ H 1 0 (Ω) ;il existe une constante C t.q. :∫∣ u ∂φ ∣ ∣∣∣≤ C‖φ‖ 2 , ∀φ ∈ Cc 1 (R d ), ∀i = 1, . . . , d;∂x iΩla fonction u(x) = u(x) pour x ∈ Ω et u(x) = 0 pour x ∈ R d \ Ω estdans H 1 (Ω) et ∂u = ∂u .∂x i ∂x iA. Popier (Le Mans) <strong>Espaces</strong> généraux. 30 / 33
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