EDP stochastiques : existence de solutions, mesures invariantes et ...

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Étude d’un exemplePour t → +∞, la loi de Z(t, x) converge vers la mesure Gaussienne :µ c := N (ce 0 , Q), où c = ¯x.On remarque que µ c est concentrée sur L 2 c et est en fait une mesureinvariante. Pour la solution stationnaire Ẑ telle que Ẑ(0) ∼ µ c[ ] [ ] ∫E |Ẑ(t)| 2kγ = E |Ẑ(0)| 2kγ = |x| 2kγ µ c (dx).H cLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée
Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesExistence et unicitéSoit n ∈ N. On considère l’équation de Cahn-Hilliard avec uneapproximation polynomiale de degré n du potentiel d’énergie alors :LemmePour tout x ∈ L 2 (0, 1) il existe un unique processus adaptéX n ∈ C([0, T ]; H) ∩ L p ([0, T ]; L 2 (0, 1))solution de (⋆) au sens de la définition précédente.De plus, pour tout t ≥ 0:〈X n (t, x), e 0 〉 = 〈x, e 0 〉.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée
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