EDP stochastiques : existence de solutions, mesures invariantes et ...

EDP stochastiques :existence de solutions, mesures invariantes etsimulations.Ludovic GoudenègeUMR CNRS 8050 - LAMAUniversité de Paris-Est - Marne-la-Vallée29 mars 2012Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

1 Des équations déterministes aux équations stochastiquesÉquations déterministesProcessus de Wiener2 Méthodes de résolution3 Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesConvergenceÉvolution en temps longLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiques1 Des équations déterministes aux équations stochastiquesÉquations déterministesProcessus de Wiener2 Méthodes de résolution3 Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesConvergenceÉvolution en temps longLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesÉquations déterministesUne équation d’évolution⎧⎨⎩∂ t u = Lu + G(u), sur Ω ⊂ R d ,∇u · ν = 0,sur ∂Ω,où L est un opérateur linéaire et G représente la non-linéarité.On peut également considérer des conditions de Dirichlet.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesÉquations déterministesBeaucoup d’état stationnaires :Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesÉquations déterministesFigure: États stationnaires.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesProcessus de Wiener⎧⎨⎩∂ t u = −Lu + G(u)+ ˙ξ, sur Ω ⊂ R d ,∇u · ν = 0,où le bruit ˙ξ représente quelque chose.sur ∂Ω,Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesProcessus de WienerSoit H un espace de Hilbert et Q ∈ L(H) un opérateur linéaire symétriquedéfini positif.On utilise une base orthonormée pour Q notée (e k ) k∈N telle que :et on considère l’objet suivant :Qe k = λ k e k ,W Q (θ, t) := ∑ λ 1/2ke k (θ)β k (t),où les β k sont des mouvements browniens indépendants.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesProcessus de WienerEn dimension 1On pose H = L 2 (0, 1) et Q := (−∆) −α avec la base orthonorméeW Q (θ, t) := ∑ k(kπ) −α β k (t) e k (θ).Étant donné un opérateur B de dérivation spatiale, on peut considérerBW (θ, t) = ∑ k(kπ) −α β k (t) Be k (θ).Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesProcessus de WienerMain toolsTr(Q) < ∞ où Tr(Q) = ∑ λ i ,Q Hilbert-Schmidt,Q = Id (bruit blanc).Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Des équations déterministes aux équations stochastiquesProcessus de WienerMain toolsTr(Q) < ∞ où Tr(Q) = ∑ λ i ,Q Hilbert-Schmidt,Q = Id (bruit blanc).On peut définir :Intégrale stochastique en dimension infinie.Formule d’Itô en dimension infinie.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolution1 Des équations déterministes aux équations stochastiquesÉquations déterministesProcessus de Wiener2 Méthodes de résolution3 Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesConvergenceÉvolution en temps longLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionÉquation linéaire⎧⎨dZ(t, x) = −LZ(t, x)dt + BdW , pour tout t ∈ [0, T ],⎩Z(0, x) = x,où x ∈ L 2 (0, 1).La solution est donnée par la formule :∫ tZ(t, x) = e −tL x + e −(t−s)L BdW s .0Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionEn Fourier⎧⎨⎩dz(t) = −Lz(t)dt + BdW , pour tout t ∈ [0, T ],z(0, θ) = 0,La solution est donnée par la formule :z(t, θ) =∞∑k=0∫ tDe manière standard, on obtient0e −(t−s)λ kb k e k (θ)dβ k (s)E[|z(t, θ) − z(t ′ , θ ′ )| 2 ] ≤ C(|t − t ′ | p + |θ − θ ′ | q )et par le critère de Kolmogorov,p.s. z ∈ C p/2−ε,q/2−ε ([0, T ] × [0, 1]).Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionÉquations non linéaires⎧⎨⎩dX + (LX + f (X ))dt = BdW ,X (0, x) = x,(⋆)On dit que X est une solution faible si pour tout t ≥ 0:∫ tX (t, x) = Z(t, x) − e −(t−s)L f (X (s, x))ds.0Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionÉquations approchées⎧⎨⎩dX n + (LX n + f n (X n ))dt = BdW ,X n (0, x) = x,(⋆)On dit que X n est une solution faible si pour tout t ≥ 0:∫ tX n (t, x) = Z(t, x) − e −(t−s)L f n (X n (s, x))ds.0Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionFonctionnelle d’énergie∫E(X ) :=Ω( 12 |∇X |2 + F (X ))dx,Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionFonctionnelle d’énergie∫E(X ) :=Flôt gradient dans H.Ω( 12 |∇X |2 + F (X ))dx,ddt X (t) = −1 2 ∇ HE(X (t)).Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionFonctionnelle d’énergie∫E(X ) :=Flôt gradient dans H.Fonction de LyapunovΩ( 12 |∇X |2 + F (X ))dx,ddt X (t) = −1 2 ∇ HE(X (t)).d∥ ∥∥dt E(X (t)) = −2 d∥ ∥∥dt X (t) 2≤ 0.HLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionEstimations a priori⎧⎪⎨∂ t X n = 1 2 ∆Y n , sur Ω ⊂ R,Y n = −f n (X n ) − ∆X n , on Ω ⊂ R,⎪⎩∇X n · ν = 0 = ∇Y n · ν, sur ∂Ω.n∑où f n x 2k+1: x ↦→ −2k + 1 + λx.k=0Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionEstimations a priori⎧⎪⎨∂ t X n = 1 2 ∆Y n , sur Ω ⊂ R,Y n = −f n (X n ) − ∆X n , on Ω ⊂ R,⎪⎩∇X n · ν = 0 = ∇Y n · ν, sur ∂Ω.n∑où f n x 2k+1: x ↦→ −2k + 1 + λx.k=0Estimations a priori:∫ddt ‖X n ‖ 2 −1 + ‖X n ‖ 2 1 − f n (X n )X n dθ = 0,Ωddt E n (X n ) + ‖Y n ‖ 2 1 = 0,ddt ‖Y n ‖ 2 1 ≤ 0.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionSolutions faiblesOn dit que (X n (t, x)) t∈[0,T ] est une solution faible de (⋆) sur [0, T ] si :Définition(a) X n (·, x) ∈ C([0, T ]; H) ∩ L p ([0, T ]; L 2 (0, 1)) ,(b) pour tout h ∈ D(L) et pour tout 0 ≤ t ≤ T :〈X n (t, x), h〉 = 〈x, h〉 −+∫ t0∫ t0〈X n (s, x), Lh〉ds〈h, G n (X n (s, x))〉ds.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Méthodes de résolutionSolutions faiblesOn dit que (X n (t, x)) t∈[0,T ] définie sur une base stochastique adaptée à(W (t)) t∈[0,T ] est une solution faible de (⋆) sur [0, T ] si :Définition(a) X n (·, x) ∈ C([0, T ]; H) ∩ L p ([0, T ]; L 2 (0, 1)) p.s.,(b) pour tout h ∈ D(L) et pour tout 0 ≤ t ≤ T :〈X n (t, x), h〉 = 〈x, h〉 −+∫ t0∫ t0〈X n (s, x), Lh〉ds〈h, G n (X n (s, x))〉ds+∫ t0〈B ∗ h, dW 〉.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exemple1 Des équations déterministes aux équations stochastiquesÉquations déterministesProcessus de Wiener2 Méthodes de résolution3 Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesConvergenceÉvolution en temps longLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉquation linéaire de Cahn-Hilliard⎧⎪⎨dZ(t, x) = − 1 2 A2 Z(t, x)dt + BdW , pour tout t ∈ [0, T ],⎪⎩Z(0, x) = x,où x ∈ L 2 (0, 1).La solution est donnée par la formule :∫ tZ(t, x) = e −tA2 /2 x + e −(t−s)A2 /2 BdW s .0Ce processus est C([0, +∞[; L 2 (0, 1)).Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleEn particulier, la moyenne de Z est constante.Pour tout c ∈ R, si ¯x = c alors pour tout t ≥ 0 Z(t, x) ∈L 2 c = {h ∈ L 2 (0, 1) : ¯h = c}.De plus, la loi de Z est une mesure Gaussienne :Z(t, x) ∼ N ( e −tA2 /2 x, Q t),oùQ t =∫ t0e −sA2 /2 BB ∗ e −sA2 /2 ds = (−A) −1 (I − e −tA2 ).Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exemplePour t → +∞, la loi de Z(t, x) converge vers la mesure Gaussienne :µ c := N (ce 0 , Q), où c = ¯x.On remarque que µ c est concentrée sur L 2 c et est en fait une mesureinvariante.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exemplePour t → +∞, la loi de Z(t, x) converge vers la mesure Gaussienne :µ c := N (ce 0 , Q), où c = ¯x.On remarque que µ c est concentrée sur L 2 c et est en fait une mesureinvariante. Pour la solution stationnaire Ẑ telle que Ẑ(0) ∼ µ c[ ] [ ] ∫E |Ẑ(t)| 2kγ = E |Ẑ(0)| 2kγ = |x| 2kγ µ c (dx).H cLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesExistence et unicitéSoit n ∈ N. On considère l’équation de Cahn-Hilliard avec uneapproximation polynomiale de degré n du potentiel d’énergie alors :LemmePour tout x ∈ L 2 (0, 1) il existe un unique processus adaptéX n ∈ C([0, T ]; H) ∩ L p ([0, T ]; L 2 (0, 1))solution de (⋆) au sens de la définition précédente.De plus, pour tout t ≥ 0:〈X n (t, x), e 0 〉 = 〈x, e 0 〉.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesLa preuve est classique et découle des inégalités suivantes :‖(−A) 1/2 e −tA2 /2 h‖ 0 ≤ C‖h‖ 0 t −1/4 , t > 0, h ∈ L 2‖Ae −tA2 /2 h‖ 0 ≤ C‖h‖ 0 t −1/2 , t > 0, h ∈ L 2‖e −tA2 /2 h‖ 0 ≤ C|h| −1 t −1/4 , t > 0, h ∈ L 2 .Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesLa preuve est classique et découle des inégalités suivantes :‖(−A) 1/2 e −tA2 /2 h‖ 0 ≤ C‖h‖ 0 t −1/4 , t > 0, h ∈ L 2‖Ae −tA2 /2 h‖ 0 ≤ C‖h‖ 0 t −1/2 , t > 0, h ∈ L 2‖e −tA2 /2 h‖ 0 ≤ C|h| −1 t −1/4 , t > 0, h ∈ L 2 .Le résultat suivant est également classique :LemmePour n ∈ N et c ∈ R, pour tout t > 0:|X n (t, x) − X n (t, y)| −1 ≤ exp(−tπ 4 /2)|x − y| −1 , pour tout x, y ∈ L 2 c.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesEstimations a prioridX n + 1 2 (A2 X n + Af n (X n ))dt = BdW , sur Ω ⊂ R,oùf n : x ↦→ −n∑k=0x 2k+12k + 1 + λx.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleSolutions des équations approchéesEstimations a prioridX n + 1 2 (A2 X n + Af n (X n ))dt = BdW , sur Ω ⊂ R,oùf n : x ↦→ −n∑k=0x 2k+12k + 1 + λx.Formule d’Itô :( ∫)d‖X n ‖ 2 −1 + ‖X n ‖ 2 1 − f n (X n )X n dθ dt,Ω= 2〈(−∆) −1 X n , BdW 〉 + |B| 2 L HS (L 2 (Ω);H −1 (Ω)) dt.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergence(⋆) est un système gradient dans H :⎧⎪⎨dX n − 1 2 A(−AX n + ∇U n (X n ))dt = BdW ,⎪⎩X n (0, x) = x,où ∇ est l’opérateur Nabla dans L 2 (0, 1) et :U n (y) :=∫ 10F n (y(θ))dθ, y ∈ L 2 (0, 1).Remarque∇U n (y) = −f n (y) est croissante, donc U n est un potentiel convexe.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceFinalement, on définit la mesure de probabilité sur L 2 c:ν n c (dx) = 1Z n coù Zcn est une constante de normalisation.La mesure invariante νc n est ergodique.exp(−U n (x))µ c (dx),Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceConvergence des mesures invariantesSoitK = { x ∈ L 2 (Ω) : ∀ θ ∈ Ω, x(θ) ∈] − 1, 1[ } .On a la proposition suivante :PropositionPour c > 0,νc n ⇀ ν c := 1 exp −U(x) 1 x∈K µ c (dx), when n → +∞,Z coù Z c est une constante de normalisation.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceExistence en loiThéorème (Debussche-G.-Zambotti)Soit c > 0 et T > 0.Presque sûrement,ˆX n c−→ ˆX c ∈ C(O T ).n→+∞De plus f ( ˆX c ) ∈ L 1 (O T ) presque sûrement, et si on notedη n = f n ( ˆX n c (t, θ))dtdθ − f ( ˆX c (t, θ))dtdθ,alors ( ˆX n c , η n , W ) converge en loi vers ( ˆX c , η, W ) solution stationnaireforte.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceExplosion contre réflexion⎧⎪⎨⎪⎩du = − 1 A(Au + f (u) + η)dt + BdW ,2u ≥ 0and∫Ω×(0,T )avec f (u) = −u −α ou f (u) = − ln(u).u dη = 0,Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceDeux explosions et deux réflexions⎧du = − ⎪⎨1 2 A(Au + f (u) + η+ − η − )dt + BdW , on Ω ⊂ R,∫∫⎪⎩ −1 ≤ u ≤ 1, (1 + u)dη − = (1 − u)dη + = 0,Ω×(0,T )Ω×(0,T )( ) 1 − uavec f (u) = ln + λu.1 + uLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceContact avec le valeurs interditesSimulations des mesures de réflexion.110.80.80.60.60.40.40.20.200−0.20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1110.80.80.60.60.40.40.20.200−0.20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceErgodicité et mélange exponentielSoitK = { x ∈ L 2 (Ω) : ∀ θ ∈ Ω, x(θ) ∈] − 1, 1[ } .Pour toute donnée initiale x ∈ K ∩ H c , il existe une unique solution etune unique mesure invariante ν c . De plus, ν c est ergodique.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleConvergenceErgodicité et mélange exponentielSoitK = { x ∈ L 2 (Ω) : ∀ θ ∈ Ω, x(θ) ∈] − 1, 1[ } .Pour toute donnée initiale x ∈ K ∩ H c , il existe une unique solution etune unique mesure invariante ν c . De plus, ν c est ergodique.Pour tout c ∈] − 1, 1[, il existe β > 0 et une constante C > 0 tels quepour tout φ ∈ B b (K ∩ H c ), t > 0 and x ∈ H c|E [φ (X (t, x))] − ν c (φ)| ≤ C‖φ‖ ∞ e −βtLudovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longEn temps long, les solutions de l’équation de Cahn-Hilliard essayent deminimiser leur énergie. La simulation est stoppée quand on atteint un étatstable. Mais si on ajoute un bruit, il n’existe pas d’état stable (ergodicité).Si le bruit est faible, les solutions vont osciller près des états stables. Deplus, on peut atteindre des états de plus basse énergie par des sauts depotentiel (grandes déviations). Malheureusement, l’inverse est égalementpossible (impossible en déterministe).Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longLa figure suivante montre l’évolution de l’énergie de la solution avec uncoefficient σ = 0.2 devant le terme de bruit.Figure: Saut de potentiel vers un puits de plus basse énergie.La solution rejoint rapidement un puits de potentiel (état stable). Puis il ya quelques oscillations près de cet état stable. Finalement, le bruit permetun saut de potentiel vers un état de plus basse énergie.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longÉtats méta-stablesFigure: Évolution entre deux zones méta-stables.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longPour voir d’autres transitions, on a besoin d’un bruit plus fort. En effet,pour σ petit, la probabilité de quitter un état d’énergie minimale est trèsfaible. On a donc représenté l’évolution d’une solution avec σ = 1 en tempslong.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longPour voir d’autres transitions, on a besoin d’un bruit plus fort. En effet,pour σ petit, la probabilité de quitter un état d’énergie minimale est trèsfaible. On a donc représenté l’évolution d’une solution avec σ = 1 en tempslong. On peut voir des oscillations entre au moins 3 états "méta-stables".Figure: Oscillations entre trois états méta-stables.Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longComme attendu, la solution passe plus de temps dans l’état de plus basseénergie.Nombre de “kink” Énergie Temps passé dans le puits3 −0.22 7.51%2 −0.42 43.97%1 −0.68 48.52%Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longEn dimension 2, on obtient des résultats similaires :Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps long(a) t=0.01 (b) t=0.3 (c) t=0.6(d) t=1 (e) t=2 (f) t=4Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Étude d’un exempleÉvolution en temps longOn voit que la solution voyage entre les différents états stationnaires.(g) t=21 (h) t=23 (i) t=30(j) t=38 (k) t=47 (l) t=94Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée

Remerciements et QuestionsMerci pour votre attention !Ludovic Goudenège EDP stochastiques Univ. Paris-Est - Marne-la-Vallée