2007/1–2 - Széchenyi István Egyetem

13.1. Illesztett szűrők impulzuskarakterisztikája
Adjunk egy szűrő bemenetére Dirac δ impulzust és vizsgáljuk a
szűrő válaszát [h(t)].
Az elméleti villamosságtanból ismert Dhuamel-tételt alkalmazva
írható:
s t h t t x t dt c Z
ki 1 1
−∞
90
∞
( ) = ∫ ( − ) ( ) = ⋅ ( τ )
(79)
A 75. kifejezésben (I. rész) s(t–t c ) szerepel, a 79-ben pedig h(t 1 –t),
ezzel:
h(t 1 –t) = c•s(t–t c ) (80)
A kifejezést többszörösen átalakítva kapjuk, hogy:
h(t) = c• s(t 0 – t), (81)
ahol t 0 → gyűjtési – megfigyelési – idő.
Ezzel megkaptuk az illesztett szűrő impulzus karakterisztikáját. A
kifejezésből következik, hogy az illesztett szűrő impulzus karakterisztikája
a hasznos jel tükörképét adja (20. ábra).
20. ábra: illesztett szűrő jelátalakítási tulajdonsága
13.2. Illesztett szűrők frekvenciakarakterisztikája
Az impulzuskarakterisztika alkalmazása nehézkes, ezért a frekvencia
karakterisztika vizsgálata, célszerűbb. Amennyiben az illesztett
szűrők fázisa [ϕ(ω] és amplitúdó [A(ω] menete ismert, akkor a
szűrő szintézise végrehajtható.
A szűrők elméletéből ismert, hogy:
∞
Ski ( jω
)
K ( jω
) =
és K ( jω ) = h( t) ( − jωt ) dt (82)
S jω
∫ exp
be
( )
Többszöri átalakítással felírható a szűrő frekvenciakarakterisztikája:
( ) = ⋅ ( )⋅ ( − )
∗
K jω c S jω jωt Járműipari innováció
exp 0
ahol S*(jω) konjugált komplex mennyiség.
Ismert, hogy bármely frekvenciakarakterisztika:
( ) = ( ) ( )
K jω K jω exp ⎡⎣ jarctgK jω
⎤⎦ Ebből levezethető az alábbi kifejezés:
, (83)
(84)
K(ω) = c•S(ω) (85)
Ez azt jelenti, hogy a frekvenciakarakterisztika arányos a jel spektrumsűrűségével.
A 85. feltételt kielégítő szűrőt illesztett szűrőnek
nevezzük. Ahhoz, hogy a szűrő illesztett legyen, az szükséges,
hogy A(ω) egybe essen a jelamplitúdó spektrumával.
−∞
A fáziskarakterisztikára írható:
arg K(jω) = –arg S(jω) – ωt 0
(86)
Ebből látható, hogy a ϕ(ω) egy meghatározott késleltetéspontosságig
egybe kell essen a jel fázisspektrumával, hogy a szűrő illesztett legyen.
Érvényes a következő is:
ϕ ki =ω (t – t 0 ) (87)
21. ábra: aritmetikai és geometriai összegzés
Ha t–t 0 =0, vagyis t = t 0 , akkor az összes spektrumösszetevő egy
időben jelenik meg a kimeneten, ezért egy jelkiugrás jön létre, mert
a fázisösszetevők (frekvencia-összetevők) aritmetikailag összegződnek
és nem geometriailag (21. ábra).
Az ábrából látható, hogy minél nagyobb a jel spektruma, annál nagyobb
a nyereség, ezért lehetőleg széles sávú jeleket alkalmaznak.
13.3. A jel – zaj viszony az illesztett szűrők kimenetén
Szűrő kimenetén a jel Fourier transzformáltja:
∞
1
ski ( t) = ∫ Ski ( jω ) exp(
jωt ) dω
2π
−∞
∗
2
S ( jω ) = c ⋅ S ( jω ) exp( − jωt ) S ( jω ) = c ⋅ S ( jω ) exp − jωt ki
Maximális kiugrás t = t 0 feltétel esetén következik be.
Jel a szűrő kimenetén:
(88)
(89)
∞
∞
1
2
1
2
ski ( t0 ) = c S ( j ) ( − j t0 ) ( j t0 ) d = c S ( j ) d (90)
2π
∫ ω exp ω exp ω ω
ω ω
2π
∫
−∞
Parseval tétele szerint:
1
2π
∞
∫
−∞
T
2 2
( ) = ∫ ( ) =
S jω dω s t dt E
Ennek következménye:
S ki (t 0 ) = c•E illetve P ki = c 2 •E 2
2 2
Korábbról ismert az n σ R 0 összefüggés.
Figyelembe véve a 88. kifejezést, írható:
∞
0
0
= = ( )
1
R( τ ) = Nki ( jω ) ( jωτ ) dω
π ∫ exp
2 0
2
2
2
N ( jω ) = K ( jω ) N = c S ( jω ) N
ki
továbbá:
∞
2
2 1 2 2 c ⋅ N0
1
n = R( 0)
= c S ( j ) N0
=
2 ∫ ω
π
2 2π
0
0
( )
(91)
(92)
(93)
2007/1–2. A jövő járműve
∞
∫
−∞
0
−∞
( )
2
S jω dω
0