Download (3918Kb)

KATA PENGANTAR 

Pertama-tama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha 

Kuasa atas segala limpahan rahmat Nya, hingga Diktat Matematika Dasar ini dapat 

diselesaikan. Mudah-mudahan diktat ini dapat membantu mahasiswa STMIK Global 

Informatika MDP dan AMIK MDP dalam mengikuti mata kuliah Matematika Dasar. 

Penulis mengucapkan terimakasih dan menyampaikan pengharagaan yang 

setinggi-tingginya pada Ketua STMIK Global Informatika MDP dan Direktur AMIK 

MDP yang selalu memberikan dorongan baik pada penulis maupun maupun pada 

rekan-rekan dosen lainnya untuk menyusun materi kuliah baik dalam bentuk diktat 

atau buku. Dorongan tersebut telah menambah semangat penulis dalam 

menyelesaikan tulisan ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan pada rekanrekan 

dosen yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan diktat ini. Mudahanmudahan 

dengan adanya dorongan dan dukungan yang diberikan pada penulis akan 

dapat dihasilkan diktat lain dalam waktu singkat. 

Meskipun telah berhasil diterbitkan, penulis menyadari bahwa diktat ini masih 

sangat sederhana dan tentu masih banyak kekurangan dan kelemahannya. Oleh 

karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca 

sekalian, sehingga dapat dihasilkan diktat yang lebih baik pada masa yang akan 

datang. Saran, kritik dan koreksi dapat disampaikan pada alamat, 

sudiadi@stmik-mdp.net 

Akhirnya penulis mengucapkan selamat belajar kepada seluruh mahasiswa 

STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP. Mudahan-mudahan sukses selalu 

menyertai saudara-saudara. 

Palembang, 5 September 2011 

Penulis, 

Sudiadi 

i

DAFTAR ISI 

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 

BAB 

I. Sistem Bilangan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1 Sistem Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.1 Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.2 Garis Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.1.3 Hukum-hukum Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2 Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2.1 Sifat-sifat Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2.2 Konjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2.3 Perkalian Bilangan Kompleks dengan Konjugatnya . . . . . . . . . 3 

1.2.4 Pembagian Dua Buah Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.3 Pertidaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.3.1 Sifat-sifat Pertidaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3.2 Selang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3.3 Pertidaksamaan Linier Satu Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.3.4 Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.3.5 Pertidaksamaan Linier Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3.6 Sistem Pertidaksamaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.3.7 Pertidaksamaan Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.4 Koordinat Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.5 Pertambahan dan Jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.5.1 Jarak Antara Dua Buah Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.5.2 Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.6 Kemiringan Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.7 Dua Garis Sejajar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.8 Dua Garis Tegak Lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

II Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2.1 Definisi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2.2 Penyajian Himpunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2.3 Kardinalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.4 Himpunan Kosong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.5 Himpunan Bagian (Subset) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.6 Kesamaan Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.7 Ekivalensi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.8 Himpunan Saling Lepas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.9 Himpunan Kuasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.10 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.10.1 Irisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.10.2 Gabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.10.3 Komplemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.10.4 Selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.10.5 Beda Setangkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

ii

2.10.6 Perkalian Kartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

2.10.7 Prinsip Inklusi-Ekslusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas . . . . . . . . . . 27 

2.11 Himpunan ganda (multiset) dan operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.11.1 Operasi Gabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.11.2 Operasi Irisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.11.3 Operasi Selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.11.4 Operasi Jumlah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.12 Pembuktian pernyataan himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn . . . . . . . . . . 30 

2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan . . . . . . 30 

2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan . . 30 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

III. Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.1 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.2 Jenis-jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.1 Menurut Jumlah Peubah Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.1.1 Fungsi Peubah Bebas Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.1.2 Fungsi Peubah Bebas Banyak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.2 Menurut Cara Penyajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.2.1 Fungsi Eksplisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.2.2 Fungsi Implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.2.3 Fungsi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.2.3 Fungsi Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.2.3.1 Fungsi Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

3.2.3.2 Fungsi Irrasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

3.2.4 Fungsi Komposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

3.2.5 Fungsi Satu ke Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

3.2.6 Fungsi Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

3.2.7 Fungsi Transenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

3.2.7.1 Fungsi Eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

3.2.7.2 Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

3.2.7.3 FungsiTrigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

3.2.7.4 FungsiTrigonometri Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

iii

3.2.7.5 FungsiHiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

3.2.7.6 FungsiHiperbolik Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

3.2.8 Fungsi Genap dan Ganjil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

3.2.9 Fungsi Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

IV Limit dan kekontinuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

4.1 Pendahuluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

4.2 Definisi Limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

4.3 Limit Fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

4.4 Limit Fungsi Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

4.5 Limit Fungsi Trigonometri Invers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

4.6 Limit Tak Hingga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

4.7 Asimtot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

4.7.1 Asimtot Tegak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

4.7.2 Asimtot Datar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

4.7.3 Asimtot Miring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

4.8 Kekontinuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

4.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus . . . . . . . 92 

Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

V Differensiasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

5.1 Garis Singgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

5.2 Turunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

5.3 Notasi Turunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

5.5 Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

5.5.1 Turunan bilangan konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

5.5.2 Turunan fungsi kx n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

5.5.3 Aturan penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

5.5.4 Aturan perkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

5.5.5 Aturan pembagian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

5.5.6 Turunan fungsi komposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

5.8 Turunan fungsi eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 

5.9 Turunan fungsi logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

5.10 Turunan fungsi hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

5.11 Turunan fungsi hiperbolik invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 

5.12 Turunan tingkat tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

iv

5.13 Differensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

5.14 Turunan fungsi implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 

VI Penerapan Differensiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

6.1 Persamaan garis singgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

6.2 Persamaan garis normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

6.3 Kelengkungan (Curvature) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

6.3.1 Jari-jari kelengkungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

6.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature ) . . . . . . . . . . . . . . 132 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 

6.4 Nilai ekstrim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 

6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 

6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

6.5 Kecekungan dan kecembungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

6.6 Kecepatan dan Percepatan sesaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

6.6.1 Kecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

6.6.2 Percepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 

VII. Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

7.1 Anti Turunan dan Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

7.2 Rumus-rumus Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

7.3 Integrasi Dengan Substitusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 

7.4 Integrasi Bagian Demi Bagian (Integration By Parts) . . . . . . . . . . . . . . . . 145 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

7.5 Integrasi Fungsi Pecah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 

7.6 Integrasi Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 

7.6.1 Integrasi sin u, cos u, tan u, cot u, sec u dan cosec u . . . . . . . . 149 

7.6.2 Integrasi Fungsi sin m u dan cos m u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 

7.6.3 Integrasi Fungsi Trigonometri sin m u cos n u . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

7.6.4 Integrasi Fungsi Trigonometri tan m u sec n u . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

7.7 Integrasi fungsi trigonometri invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 

7.8 Integrasi dengan Substitusi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 

7.8.1 Integrasi Fungsi Irrasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 

7.8.2 Integrasi Fungsi 1/(x 2 + a 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 

7.8.3 Integrasi Fungsi (Ax + B)/(ax 2 + bx + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 

7.8.4 Integrasi Fungsi Irrasional Sejenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 

7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional 

pada integran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

162 

7.8.6 

162 

v

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

VIII Integral Tentu dan Penerapannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

8.1 Integral Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

8.2 Sifat-sifat Integral Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

8.3 Luas Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 

8.4 Volume dan Luas Kulit Benda Putar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 

IX Matriks dan Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 

9.1 Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 

9.2 Matriks bentuk khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 

9.2.1 Vektor Kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 

9.2.2 Vektor Baris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

9.2.3 Matriks Persegi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

9.2.4 Matriks Segitiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

9.2.5 Matriks Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

9.2.6 Matriks Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

9.2.7 Matriks Identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

9.2.8 Matriks Nol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

9.2.9 Matriks Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

9.3.1 Penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

9.3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

9.3.4 Kombinasi linier matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

9.3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 

9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 

9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 

9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 

9.7 Operasi Baris Elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 

9.8 Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 

9.8.1 Sifat-sifat determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 

9.8.2 Kofaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

9.8.3 Determinan dari matriks n x n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

9.9 Adjoin Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 

9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 

9.10.1 Metode Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 

9.10.2 Metode eliminasi Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 

X Sistem Persamaan Linier soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 

10.1 Definisi soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 

10.2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 

10.2.1 Penyelesaian dengan Balikan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 

10.2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 

10.2.3 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . 188 

10.2.4 Penyelesaian dengan Aturan Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 

Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 

vi

BAB I 

SISTEM BILANGAN 

1.1 Sistem bilangan ril 

1.1.1 Bilangan ril 

Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar yaitu operasi 

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasanya bilangan ril 

dinyatakan dengan lambang R. Operasi pengurangan dapat digantikan dengan operasi 

penjumlahan. Sedangkan operasi pembagian dapat digantikan dengan operasi 

perkalian. Jika terdapat bilangan ril a dan b, maka operasi pengurangan a – b dapat 

ditulis dalam bentuk a+(–b). Sedangkan operasi pembagian a b dapat ditulis dalam 

bentuk a.b -1 . 

Bilangan 

ril (R) 

Bilangan 

rasional (Q) 

Bilangan 

irrasional (I) 

Bilangan 

bulat ( J) 

Bilangan 

pecahan 

Bilangan 

desimal berulang 

Bilangan 

desimal terbatas 

Bilangan 

negatif 

Bilangan 

cacah (W) 

Bilangan 

nol 

Bilangan 

asli (N) 

Gambar 1.1 

Jenis-jenis bilangan 

Gambar 1.1 adalah jenis-jenis bilangan ril. Untuk mendapatkan pengertian yang 

lebih jelas mengenai jenis - jenis bilangan ini, berikut diberikan rincian - rinciannya 

Himpunan bilangan asli (N) 

N = { 1, 2, 3, … } 

Himpunan bilangan cacah (W) 

W = {0, 1, 2, 3, … } 

Himpunan bilangan bulat (J) 

J = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } 

1

Himpunan bilangan rasional (Q) 

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang mempunyai bentuk 

p/q atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah 

anggota bilangan bulat dan q 0 

p 

Q = pdan q∈J 

, q ≠0 

q 

Contoh 1.1 

Buktikan bahwa bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan 

rasional ! 

Bukti : 

a) Bilangan 3 dapat ditulis dalam bentuk p/q yaitu : 3/1 atau 6/2 dan seterusnya. 

b) Bilangan 4,7 dapat ditulis dalam bentuk : 47/10 

c) Bilangan 2,5858… dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan cara : 

x = 2,5858… 

100 x = 258,5858… 

100 x – x = 256 

256 

99 x = 256 x = 

99 

Jadi bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah 

bilangan-bilangan rasional. 

1.1.2 Garis bilangan ril 

Garis bilangan ril adalah tempat kedudukan titik-titik, dimana setiap titik 

menunjukkan satu bilangan ril tertentu yang tersusun secara terurut. Untuk 

menggambarkan garis bilangan ril,perhatikan Gambar 1.2. Pertama 

-3 - 2 -1 0 1,5 2,5 

Gambar 1.2 

Garis bilangan ril 

gambarkan garis horizontal dan tentukan titik nol. Selanjutnya kita tentukan titiktitik 

tempat kedudukan bilangan ril positif bulat disebelah kanan titik nol dengan 

ketentuan jarak antara titik 0 dan 1, titik 1 dan 2 atau 0 dan -1, -1 dan -2 dan 

seterusnya adalah sama. Tempat kedudukan bilangan ril lainnya disesuaikan dengan 

posisi bilangan-bilangan bulat. 

1.1.3 Hukum-hukum bilangan ril 

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan ril mematuhi hukum-hukum seperti 

yang disebutkan berikut ini : 

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku : 

( i ) a + b adalah bilangan ril 

( ii ) a . b adalah bilangan ril 

( iii ) a + b = b + a hukum komutatif penjumlahan 

( iv) a . b = b .a hukum komutatif perkalian 

Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku : 

( v ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) hukum asosiatif penjumlahan 

( vi ) ( ab ) c = a ( bc) hukum asosiatif perkalian 

( vii ) a ( b + c ) = ab + ac hukum distributif 

( viii ) a + 0 = 0 + a = a hukum penjumlahan nol 

2

( ix ) a . 1 = 1 . a = a hukum perkalian satu 

( x ) a . 0 = 0 . a = 0 hukum perkalian nol 

( xi ) a + ( - a ) = -a + a hukum invers penjumlahan 

( xii ) a . ( 1/a ) = 1 , a 1 hukum inves perkalian 

Soal-soal 

Diketahui : 

-10, 3/2, 7, 0, -12, 2, (2,14), 4/9, 6 , (2,5353…), 10 , (2,970492…) 

Dari bilangan tersebut diatas, tentukan bilangan-bilangan a) bulat, b) cacah, c) rasional, d) 

irasional, e) ril positif, f) ril negatif dan g) asli serta gambarkan masing-masing garis 

bilangannya! 

1.2 Bilangan kompleks 

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari unsur bilangan ril dan imajiner. Bentuk 

umum bilangan kompleks adalah z = a + ib. Komponen a disebut bagian ril dan ditulis Re(z) 

dan b adalah bagian imajiner dan ditulis Im(z). Bilangan a dan b adalah bilangan-bilangan ril 

sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya adalah - 1 . Karena i = - 1 , maka : 

i 2 = - 1 . - 1 = -1 

i 3 = i 2 . i = - i - 1 

i 4 = i 2 . i 2 = 1 ; dan seterusnya. 

Dari keterangan diatas didapat - 2 = ( 2 )( - 1 ) = 2 i ; dan seterusnya. 

1.2.1 Sifat-sifat bilangan kompleks 

Misal z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2, maka berlaku : 

a) z 1 = z 2 x 1 = x 2 dan y 1 = y 2 sifat kesamaan 

b) z 1 + z 2 = (x 1 + x 2) + i(y 1 + y 2) sifat penjumlahan 

c) z 1 - z 2 = (x 1 - x 2) + i(y 1 - y 2) sifat pengurangan 

d) z 1 . z 2 = (x 1x 2 - y 1y 2) + i(x 1y 2 + x 2y 1) sifat perkalian 

1.2.2 Konjugat 

Bila terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy, maka konjugat bilangan kompleks 

tersebut adalah z = x – iy. Jika bilangan kompleks berbentuk z = x – iy, maka 

konjugatnya adalah z = x + iy. Bila kita bandingkan kedua bilangan kompleks 

diatas dengan konjugatnya maka perbedaannya terletak pada komponen 

imajinernya. Jika komponen imajiner pada suatu bilanga kompleks adalah +iy maka 

komponen imajiner pada konjugatnya adalah –iy. Jika komponen imajiner pada 

bilagan kompleks adalah –iy, maka komponen imajiner pada konjugatnya adalah 

+iy. Sedangkan komponen ril baik pada bilangan kompleks maupun pada 

konjugatnya adalah sama. Selain ditulis dalam bentuk z , konjugat bilangan 

kompleks juga sering ditulis dalam bentuk z * . 

1.2.3 Perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya 

Perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugatnya dapat dijelaskan sebagai 

berikut. 

Jika terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy maka konjugatnya adalah z = x – 

iy. Jadi perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah : 

z z = (x + iy)( x – iy) = x 2 - ixy + ixy - i 2 y 2 = x 2 + y 2 

3

Dari hasil perkalian diatas kita dapat menyimpulkan bahwa perkalian bilangan 

kompleks dengan konjugatnya menghasilkan bilangan ril. 

1.2.4 Pembagian dua buah bilangan kompleks 

Untuk melakukan operasi pembagian dua buah bilangan kompleks pertama-tama 

kita kalikan pembilang dan penyebutnya (dalam hal ini z 1 dan z 2 ) dengan konjugat 

z 2 . Sehingga didapat : 

= = (x i ) (x i ) 

(x i ) (x i ) = x x ix ix 

x 

= (x i ) (x i ) 

(x i ) (x i ) = x x 

x 

i x 

x 

x 

Contoh 1.2 

Diketahui : z 1 = -5 + 7i dan z 2 = 3 – 2i 

Tentukan : a) z 1+z 2 b) z 1-z 2 c) z 1.z 2 d) z 1/z 2 e) f) 

Penyelesaian : 

Dari soal didapat bahwa : x = 5 = 7 x = 3 = 2 

a) = (x x ) i( ) = ( 5 3) i(7 ( 2)) = 2 5i 

b) = (x x ) i( ) = ( 5 3) i(7 ( 2)) = 8 9i 

c) = (x x ) i(x x ) = 2 5i 

= ( 5)(3) (7)( 2) i(( 5)( 2) (3)(7)) = 1 31i 

d) = x x 

i x x 

x 

x 

= 

( 5)(3) (7)( 2) (7)(3) ( 5)( 2) 

i = 29 

3 ( 2) 3 ( 2) 13 

i 11 

13 

e) = ( 5 7i)(3 2i) = 15 10i 21i 14i = 29 11i 

) = ( 5 7i)(3 2i) = 15 10i 21i 14i = 29 11i 

Soal-soal 

1. Selesaikan soal-soal berikut : 

a) (3 + 5i) + (4 – 7i) d) (–2 – 4i) – (–5 –8i) g) (2 – i)(5 + 3i) 

b) (1 2i) ( 3 4i) e) ( 3 2 

4 5 i) (2 5 3 

i) h) ( 3i)( 3 3 

3 

4 5 8 i) 

(2/3) (3/4)i 

c) ( 3i) ( 5i) ) (5 4i)(7 3i) i) 

(4/5) (2/7)i 

2. Jika z 1 = – 7 – 2i dan z 2 = 4 + 5i 

Tentukan : a) b) 

1.3 Pertidaksamaan 

Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu 

peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , atau . Ditinjau dari jumlah 

4

dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi menjadi pertidaksamaan linier 

dengan satu peubah, pertidaksamaan linier dengan peubah banyak dan pertidaksamaan 

kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan ril yang unsur-unsurnya dapat 

menggantikan peubah dari pertidaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut 

himpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan pengganti menyebabkan 

pertidaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut 

himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan himpunan pengganti dimisalkan B 

maka A B. Jika A = B maka pertidaksamaan dinamakan ketidaksamaan. 

Contoh 1.3 

Dari pertidaksamaan 1/x 2 >1 

impunan pengganti atau adalah {x x 0 } 

Himpunan jawab atau A adalah {x 1 1, 0 Jadi } 

Contoh 1.4 

Dari pertidaksamaan 1/x 2 >0 

Himpunan pengganti atau B adalah {x xR, x 0 } 

Himpunan jawab atau A adalah {x xR, x 0 }. Karena A = B, maka 1/x 2 >0 disebut 

ketidaksamaan. 

1.3.1 Sifat-sifat pertidaksamaan 

(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c 

(ii) Jika a > b, maka a + c > b + c 

(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c 

(iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc 

(v) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc 

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda bc 

Sifat-sifat pertidaksamaan lainnya : 

xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 

(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 

(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 

(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 

(xv) Jika a > b, maka –a < -b 

(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b 

(xvii) Jika a a dan b < c (bentuk komposit) 

(xviii) Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit) 

1.3.2 Selang ( interval ) 

Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat relasi 

tertentu. Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril maka dinamakan selang hingga. 

Jika bukan bilangan ril maka dinamakan selang tak hingga (). Lambang 

menyatakan membesar tanpa batas dan lambang - menyatakan mengecil tanpa 

batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini. 

5

Notasi Definisi Grafik Keterangan 

a b 

x ( ) 

Selang terbuka 

(a,b) { a < x < b} 

[a,b] { x a x ≤b} 

[a,b) { a x < b} 

a b 

≤ 

[ ] 

Selang tertutup 

a b 

x ≤ Selang setengah 

[ ) 

terbuka 

a b 

x ≤ Selang setengah 

( ] 

terbuka 

(a,b] { a < x b} 

a 

(a, ) { x x >a} 

( 


a 

[a, ) { x x ≥ a} 

[ 


(-, b) { x < b} 

(-, b] { x b} 

b 

x 

) 


x ≤ b 


] 

(-, ) R Selang terbuka 

1.3.3 Pertidaksamaan linier satu peubah 

Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat satu 

peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda , 

atau . Bentuk umum dari pertidaksamaan linier satu peubah adalah :ax + b (?) 0, 

dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda , atau . 

Contoh 1.5 

Selesaikan pertidaksamaan 7x + 9 < -5 


7x + 9 < -5 semua ruas dikurang 9 7x + 9 – 9 < -5 – 9 7x < -14 

1/7 ( 7x ) < 1/7 ( -14 ) semua ruas dikalikan 1/7 x < -2 

x x

1 + 4x < 2x + 9 

1 + 4x – (1 + 2x)< 2x + 9 – (1 + 2x) semua ruas dikurang (1+2x) 

2x < 8 

1/2 (2x) < 1/2 ( 8 ) semua ruas dikalikan 1/2 

x < 4 

Himpunan penyelesaiannya adalah : { x x < 4 } 

) 

selang terbuka 4 

Gambar 1.4 

Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah dapat 

diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan 

mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada 

ruas yang berbeda tandanya akan berubah! 

Contoh 1.7 

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x -2 8 + 5x 


3x -2 8 + 5x 

3x – 5x 8 + 2 

Pidahkan 5x keruas kiri dan -2 keruas kanan 

Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan 

kelompokkan konstan pada ruas kanan. 

-2x 10 

(-1/2)(-2x)(10)(-1/2) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif maka 

tanda pertidaksamaan harus dibalik (sifat pertaksamaan 

xv) 

x -5 

impunan pen elesaiann a adalah {x x 5 } 

] 

selang tertutup -5 

Gambar 1.5 

Contoh 1.8 

entukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan 4 4 2x 2 1 

5 


4 4 2x 2 1 kalikan semua ruas dengan 5 

5 

(4)(5) (5) 4 2x (5)(2 1) 

5 

20 < 4 – 2x 20 dan 4 – 2x < 10x -5 (perhatikan sifat pertidaksamaan xvii, halamn 5). 

Setelah dipecah menjadi dua pertidaksamaan, selesaikan satu persatu. 

4 – 2x > 20 4 – 2x < 10x -5 

2x < 4 – 20 x < – 8 12x > 9 x > 3/4 

Jadi himpunan pen elesaiann a adalah {x x 8 3/4 } 

) ( 

-8 3/4 

selang terbuka 

Gambar 1.6 

7

Soal-soal 

Selesaikan pertaksamaan : 

1 5x 3x 9 3 

2 

1 

2 

5x 3 5 

x 4 

1 

3 (7x 3) 1 5 2 x 

9 

5 2x 2 x 

1 3 2x 

3 5 

5 7 

5 

1 

1.3.4 Nilai mutlak 

Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan x dan didefinisikan sebagai : 

x = x ika x 0 

x ika x 0 

Teorema-teorema 

Jika a dan b adalah bilangan ril, maka : 

(i) x a 

(ii) x x atau x a 

(iii) x a a x a 

(i ) x a x a atau x a 

( ) x = a x = a atau x = a 

( i) ab = a b Bukti ab = (ab) = a b = a b = a b (terbukti) 

( ii) a b = a 

b , b 0 Bukti 

a 

b = 

a 

b 

= 

a 

b = 

a 

b = a 

b 

(terbukti) 

( iii) a b a b (ketidaksamaan segitiga) 

Bukti : (a b) = a 2ab b a 2 a b b = { a b } 

(a b) { a b } = a b = a b (terbukti) 

(ix) a b a b Bukti a b = a ( b) a b (terbukti) 

(x) a b a b Bukti a = (a b) b a b b 

Jika setiap suku dikurangi dengan b , maka a b a b (terbukti) 

Contoh 1.9 

Selesaikan pertidaksamaan x 5 4, gambarkan garis bilangan dan selangnya 


x 5 4 4 x 5 4 (lihat teorema iii) 

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita 

dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 5 – 4 dan x – 5 4. 

Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut. 

x - 5 -4 x 1 

x – 5 4 x 9 

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah { x 1 x 9} 

[ ] 

1 9 

selang tertutup 

Gambar 1.7 

Contoh 1.10 

Selesaikan pertidaksamaan x 7 

Penyelesaian 

3, gambarkan garis bilangan dan selangnya! 

8

x 7 3 3 7 3 (lihat te rema iii) 

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita 

dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x 7 3 7 3 

Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut. 

x 7 3 x 4 

x 7 3 x 10 

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah { x x 4 10} 

) ( 

4 10 


Gambar 1.8 

Soal-soal 

Selesaikan pertidaksamaan : 

1 x 8 2 3 5 x 12 5 

2 2x 7 4 3x 2 5 

4x 5 

3 

7 x 

4 

3 

1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah 

Bentuk umum pertidaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c (?) 0 ; 

konstanta-konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a 0 . Tanda (?) 

adalah salah satu dari tanda , atau . Untuk membantu mahasiswa dalam 

menggambarkan grafik pertidaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan 

prosedurnya. 

1. Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya 

gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan 

melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis yang membagi bidang 

menjadi dua bagian. 

2. Jika pada pertidaksamaan menggunakan tanda atau berarti garis tersebut 

termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut 

digambarkan secara penuh. Jika pertaksamaan menggunakan tanda < atau > 

berarti garis tersebut tidak termasuk pada grafik yang akan digambarkan. 

Selanjutnya garis tersebut digambarkan putus-putus. 

3. Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian 

substitusikan pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan 

pernyataan yang benar berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah 

bidang yang dimaksud. Sebaliknya jika substitusi menghasilkan pernyataan yang 

salah maka bidang tempat kedudukan titik tersebut bukan bidang yang 

dimaksud. Untuk keseragaman bidang yang memenuhi pertaksamaan diarsir. 

Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat (0,0) asalkan titik 

koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis. 

Contoh 1.11 

Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y 8 


Langkah 1. 

Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan 3x - 2y = 8 

9

Langkah 2. 

Gambarkan grafiknya. 

y 

0 

x 

Gambar 1.9 

3. Memilih titik koordinat. 

Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. 

Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang salah. Berarti bidang 

tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang yang dicari. Sehingga 

bidang disebelahnya merupakan bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut 

diarsir. 

y 

0 

x 

Gambar 1.10 

Contoh 1.12 

Gambarkan grafik pertidaksamaan 5x + 3y < 6 


Langkah 1. 

Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan 5x + 3y = 6 

Langkah 2. 

Gambarkan grafiknya. 

y 

0 

x 

10 

Gambar 1.11

Langkah 3 

Memilih titik koordinat. 

Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata 

substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat 

kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang yang dicari. Sehingga bidang 

disebelahnya bukan bidang yang dicari. Selanjutnya arsir yang dicari tersebut. 

y 

0 

x 

Gambar 1.12 

Soal-soal 

Gambarkan grafik dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! 

1. x + y < 3 2. y + 2x > 4 3. 4x – 5 y 6 4. 5y + 3x 1 

1.3.6 Sistem pertidaksamaan linier 

Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang harus 

diselesaikan secara serentak. Pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dinamakan 

“sistem pertidaksamaan linier” Dalam pembahasan sistem pertidaksamaan linier 

kita hanya akan membahas sistem pertidaksamaan linier yang mempunyai tidak 

lebih dari dua peubah. 

Langkah-langkah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. 

1. Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan. 

2. Gambarkan grafiknya. 

3. Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang 

benar, berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari. 

Contoh 1.13 

Gambarkan grafik sistem pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y 3 


Langkah 1. 

2y + 3x = 5 

x – y = –3 

Langkah 2. 

y 

0 

x 

Gambar 1.13 

11

Langkah 3. 

Periksa koordinat (0,0). Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan y=0 kedalam 

sistem pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang 

tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari. Selanjutnya bidang 

tersebut diarsir. 

y 

0 

x 

Gambar 1.14 

Contoh 1.14 (penerapan sistem pertidaksamaan linier) 

Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan yaitu 

jenis diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. 100 

juta/ kendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 80 juta 

/kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunyai kemampuan produksi 120 kendaraan 

setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut tidak lebih 

dari Rp 10 milyar / bulan, tentukan bentuk pertidaksamaan dari persoalan diatas 

dan gambarkan grafiknya. 

Penyelesaian: 

Diesel (juta rupiah) Bensin (juta rupiah) Nilai batas (juta rupiah) 

Biaya 100 80 10.000 

Jumlah x y 120 

(100 juta)(x) + (80 juta)(y) 10.000 juta atau 100 x + 80 y 10.000 

x + y 120 

x 0 ; y 0 

y 

0 100 120 

x 

Gambar 1.15 

12

Soal-soal 

Gambarkan grafik dari pertaksamaan linier berikut : 

1 

x 3 9 

x 2 

2 

x 2 4 

x 3 

3 

3x 4 

x 2 4 

x 0 

4 

2x 8 

x 

x 0 dan 0 

5. Sebuah industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangnya 1000 buah 

komputer yang terdiri dari dua jenis yaitu jenis PC dan Laptop. Diperkirakan 

biaya untuk memproduksi sebuah PC adalah Rp 4.000.000,00 sedangkan untuk 

memproduksi Laptop adalah Rp 6.000.000,00. Jika dana yang tersedia untuk 

memproduksi kedua jenis komputer tersebut adalah Rp 10 milyar rupiah 

tentukan sistem pertidaksamaan linier dari persoalan diatas dan gambarkan 

grafiknya! 

1.3.7 Pertidaksamaan kuadrat 

Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat adalah : ax 2 + bx + c (?) 0, dimana a, b 

dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a 0 Sedangkan (?) adalah salah satu dari 

tanda , , atau . Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah menentukan hargaharga 

peubah yang memenuhi pertidaksamaan. 

Contoh 1.15 

Selesaikan pertidaksamaan x 2 - 7x + 12 > 0 


Lakukan pemaktoran terhadap pertidaksamaan : 

x 2 - 7x + 12 > 0 (x – 4)(x – 3) > 0 

Titik-titik kritis adalah 3 dan 4 

Grafik pertidaksamaan : 

x – 4 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + 

x – 3 : - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + 

(x – 4)(x – 3) : + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + 

) ( x 

3 4 

Gambar 1.16 

Dari gambar diatas didapat bahwa daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah 

x < 3 atau x > 4. 

Contoh 1.16 

entukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan 


10 

x 2 2(x 2) 10 

x 2 

2(x 2)(x 2) 

10 

(x 2) x 2 

10 

2(x 2) 

x 2 

2(x 4) 

x 2 

10 

x 2 2x 8 

x 2 2x 8 10 

x 2 

0 2x 18 

x 2 

0 2(x 9) 

x 2 

0 

2(x 3)(x 3) 

0 

x 2 

Titik-titik kritis adalah -3, 2 dan 3 

13

Grafik pertidaksamaan : 

x – 3 :- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + 

x + 3 :- - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + ++ + + + + 

x - 2 :- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + 

2(x 3)(x 3) 

x 2 

:- - - - - - - - - - - - 0 + + + + +(-) - - - - - -0 + + + 

[ ) [ 

-3 2 3 

Gambar 1.17 

impunan pen elesaiann a adalah { x 3 x 2 3} 

Soal-soal 

Selesaikan pertidaksamaan berikut dan tentukan selangnya ! 

1. (x + 2)(x – 3) > 0 2. (x - 4)(x + 5) < 0 3. x(x + 6) 0 

4. (x – 7)x 0 5. x 2 + 4x – 5 < 0 6. x 2 >5x – 6 

7. 7x – 12 x 2 8. x 2 + 21 10x 

1.4 Koordinat Kartesius 

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antara satu besaran dan 

besaran lainnya. Contohnya adalah untuk membeli sejumlah barang kita harus 

mengeluarkan sejumlah uang, pengukuran temperatur pada suatu tabung berhubungan 

dengan tekanan didalamnya dan masih banyak contoh lainnya lagi. Contoh-contoh diatas 

adalah hubungan dua besaran yang akan menghasilkan pasangan terurut bilangan ril. Jika 

pasangan terurut bilangan tersebut disimbolkan dengan x (untuk bilangan pertama) dan y 

(untuk bilangan kedua) maka kita dapat menuliskan pasangan bilangan terurut dengan 

(x,y). Setiap pasangan terurut bilangan ril disebut titik dan dinyatakan dengan R. Sedangkan 

himpunan pasangan terurut bilangan ril disebut bidang bilangan dan disimbolkan dengan 

R2. Bidang bilangan dpt. Digambarkan dengan bantuan koordinat Kartesius. Untuk 

menggambarkan koordinat 

y 

sumbu y 

0 

x 

sumbu x 

Gambar 1.18 

Koordinat Kartesius 

Kartesius pertama-tama kita gambarkan dua buah garis yang saling tegak lurus, seperti 

pada Gambar 1.18. Garis tegak lurus adalah sumbu y atau ordinat, sedangkan garis 

horizontal disebut sumbu x atau absis. Titik potong kedua garis tsb. adalah titik asal 

(origin) dan dilambangkan dengan 0. Sumbu x yang berada disebelah kanan titik asal 

menunjukkan arah positif sedangkan disebelah kiri adalah arah negatif. Sumbu y yang 

berada diatas titik asal adalah arah positif sedangkan yang berada dibawahnya adalah arah 

negatif. Pasangan kedua sumbu x dan y adalah koordinat Kartesius. Jika suatu pasangan 

terurut bilangan ril (x 0 , y 0 ) menunjukkan titik A (ditulis A (x 0 , y 0 )), maka (x 0 , y 0 ) 

disebut koordinat titik A.Sebagai contoh bila harga x 0 =3 dan harga y 0 = -4, maka titik A 

dapat ditentukan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.19. 

14

y 

0 

x 

A(3,-4) 

Gambar 1.19 

Titik koordinat 

Kuadran-kuadran 

Bila kita perhatikan koornat Kartesius maka akan terlihat empat buah bidang. Bidangbidang 

tersebut disebut kuadran-kuadran yang terdiri dari kuadran I, II, III dan IV. 

Pembagian dari kuadran-kuadran tersebut dapat dilihat padda Gambar 1.20 dibawah ini. 

y 

kuadran II kuadran I 

( - , + ) ( + , + ) 

0 

kuadran III kuadran IV 

( - , - ) ( + , - ) 

x 

Gambar 1.20 

Kuadran-kuadran 

pada koordinat Kartesius 

Soal-soal 

Tentukan kuadran dari koordinat-koordinat berikut: 

1. (2 , 3 ) 2. (4, - 5) 3. (-5, -6) 

4. (-1, 6) 5. (-3,7) 6. (-3,1) 

1.5 Pertambahan dan jarak 

Jika sebuah partikel bergerak dari suatu titik P 1(x 1 , y 1) ke titik P 2(x 2 , y 2) maka dikatakan 

bahwa koordinat partikel tersebut mengalami pertambahan sebesar x dan y. Sebagai 

contoh, bila suatu partikel bergerak dari titik A( 2,-3 ) ke B(-3 ,1) (lihat Gambar 1.21) maka 

pertambahannya adalah : 

y 

x 

B(-3,1) 

y 

0 

x 

x = x 2 - x 1 = -3 – 2 = -5 

y = y 2 - y 1 = 1 –(-3) = 4 

Gambar 1.21 

Gerak partikel dari titik A ke B 

15 

A(2,-3)

Dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa pertambahan pada suatu koordinat adalah 

perubahan netto, yaitu : 

x = x 

= 

x 

(1.1) 

1.5.1 Jarak antara dua titik 

Apabila sumbu-sumbu koordinat menggunakan satuan pengukuran yang sama maka 

jarak antara dua buah titik pada suatu bidang tertentu dapat ditentukan dengan 

menggunakan kombinasi antara pertambahan-pertambahan koordinat dan teorema 

Pythagoras, seperti yang ditunjukkan Gambar 1.22 berikut. 

y 

h 

P 2(x 2, y 2) 

P 1(x 1, y 1) 

y 

0 

x 

x 

x = x 2 - x 1 = -3 – 2 = -5 

y = y 2 - y 1 = 1 –(-3) = 4 

Dari teorema Pythagoras didapat : 

Gambar 1.22 

Jarak dua titik 

Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 ) = h = ( ) ( ) 2 

Δ x 

2 + Δ y 

( 1.2 ) 

Contoh 1.17 

Tentukan jarak dari pasangan koordinat berikut : 

a) P 1 = (-4,3) dan P 2 = (2,1) 

b) P 1 = (-2,-2) dan P 2 = (5,1) 


a) Δ x = x 2 - x 1 = 2 – (-4) = 6 ; Δ y = y 2 - y 1 = 1 –3 = -2 

Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 )= h = ( ) ( ) 2 

Δ x 

2 + Δ y 

2 2 

= (6) ( 2) 

40 2 10 

b) Δ x = x 2 - x 1 = 5 – (-2) = 7 ; Δ y = y 2 - y 1 = 1 –(-2) = 3 

Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 ) = h = ( ) ( ) 2 

Δ x 

2 + Δ y 

2 2 

= (7) +(3) = 58 

16

1.5.2 Titik tengah 

Jika terdapat sebuah garis l (Gambar 1.23) yang mempunyai titik pangkal P 1(x 1 ,y 1), 

titik ujung P 2(x 2, y 2) dan titik tangah M(x,y), maka koordinat titik tengah garis 

tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. 

y P 2(x 2, y 2) 

M(x,y) 

l 

0 

P 1(x 1, y 1) 

Gambar 1.23 

Titik tengah garis 

x 

d( , ) = d( , ) (x x ) ( ) = (x x) ( ) 

(x x ) ( ) = (x x) ( ) 

x 2xx x 2 = x 2x x x 2 

x x x x = 2x x 2 2xx 2 

x x = 2x x 2 2xx 2 

x x = 2xx 2x x 2 2 

(x x )(x x ) ( )( ) = 2x(x x ) 2 ( ) 

Dari persamaan diatas didapat : 

x x = 2x x = x x 

2 

= 2 = 

2 

Jadi k rdinat titik tengah garis adalah (x, ) = x x 

2 

, 

2 

1 3) 

Soal-soal 

Diketahui koordinat-koordinat : 

1. (2,0) dan (4,5) 2. (5,1) dan (1,3) 

3. (-3,-2) dan (3,3) 4. (-2,1) dan (3,-2) 

Tentukan jarak masing-masing koordinat dan titik tengahnya! 

1.6 Kemiringan garis 

Kemiringan didefinisikan sebagai ukuran laju perubahan koordinat dari titik-titik yang 

terletak pada suatu garis.Misal dua buah titik yaitu P 1 (x 1 ,y 1 ) dan P 2 (x 2 ,y 2 ) terletak pada 

suatu garis l 1 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.24 berikut ini. 

17

y 

P 2 (x 2 ,y 2 ) 

Δ y 

0 

P 1 (x 1 ,y 1 ) 

Δ x 

Gambar 1.24 

Kemiringan garis 

x 

Dari persamaan 1.1 didapat x = x 2 – x 1 dan y = y 2 – y 1. Dengan mengacu pada definisi, 

maka kemiringan garis atau koeffisien arah (sering disimbolkan dgn lambang m) adalah : 

m = 

x = x 

x 

(1 4) 

Contoh 1.19 

Tentukan kemiringan atau koeffisien arah garis yang melalui titik (0,5) dan (6,1). 


m = 

x = x x 

= 1 5 0 = 4 = 2 3 

1.7 Dua garis sejajar 

Dua buah garis dikatakan sejajar bila kedua garis tersebut tidak mempunyai titik potong 

untuk sembarang koordinat (x,y). Misal pada garis l 1 terdapat titik-titik P 1 (x 1,y 1) dan P 

(x 2,y 2) serta pada garis l 2 terdapat titik-titik P 1 

’ (x 1 

’,y 1 

’) dan P 2 

’ (x 2 

’ ,y 2 

’ ) dengan kondisi y 1 = 

y 1 

’ dan 

y 2 = y 2 

’ (lihat Gambar 1.25). Berdasarkan definisi, kita dapat menyimpulkan bahwa jarak 

antara titik P 1 dan P 1 

’ sama dengan jarak P 2 dan P 2 

’. 

Jarak dan = d( , ) = (x x ) ( ) ( ) 

arena = , maka d( , ) = (x x ) = x x ( ) 

Jarak dan = d( , ) = (x x ) ( ) ( ) 

arena = , maka d( , ) = (x x ) = x x ( ) 

Karena jarak P 1 dn P 1 

’ sama dengan jarak P 2 dn P 2 

’ maka persamaan (**) sama dengan 

persamaan (##) atau dapat ditulis sebagai, 

x x = x x atau x x = x x 

18

y 

P 2 (x 2 .y 2 ) P 2 ’ (x 2 ’ , y 2 ’ ) 

P 1 (x 1 .y 1 ) P 1 ’ (x 1 ’ , y 1 ’ ) 

0 

x 

Gambar 1.25 

Dua garis sejajar 

Dari Gambar 1.25 diketahui bahwa : 

emiringan garis adalah m = x x 


arena x x = x x = dan = , 

maka m = x x 

= m 

Jadi dapat dibuktikan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika mempunyai kemiringan atau 

koeffisien arah yang sama dan ditulis dalam bentuk : 

m 1 = m 2 (1.5) 

Contoh 1.20 

Buktikan bahwa garis l 1 yang melalui titik-titik (0,6) dan (4,-2) sejajar dengan garis l 2 yang 

melalui titik (0,4) dan (1,2). 


emiringan garis adalah m = x 

= 2 

x 4 0 = 2 

emiringan garis adalah m = x 

= 2 4 

x 1 0 = 2 

Karena m 1 = m 2 , maka garis l 1 sejajar dengan garis l 2. 

1.8 Dua garis tegak lurus 

Hubungan antara kemiringan dua buah garis yang saling tegak lurus dapat ditentukan 

dengan bantuan Gambar 1.26 berikut ini. 

19

y 

l 1 

l 2 

P 3 (x 3 ,y 3 ) 

0 

P 1 (x 1 ,y 1 ) P 2 (x 2 ,y 2 ) 

P 4 (x 4 ,y 4 ) 

Gambar 1.26 

Dua garis tegak lurus 

x 


= x x 


= x x 

{d(P 1 ,P 3 )} 2 = {d(P 1 ,P 4 )} 2 + {d(P 3 ,P 4 )} 2 = (x 4 -x 1 ) 2 +(y 3 –y 4 ) 2 

{d(P 2 ,P 3 )} 2 = {d(P 2 ,P 4 )} 2 + {d(P 3 ,P 4 )} 2 = (x 4 -x 2 ) 2 +(y 3 –y 4 ) 2 

{d(P 1 , P 2 )} 2 = {d(P 1 , P 3)} 2 + {d(P 2 , P 3)} 2 = {d(P 1 , P 4)+d(P 2 , P 4)} 2 

Jadi : 

(x x ) ( ) (x x ) ( ) = {(x x ) (x x )} 

( ) ( ) = 2(x x )(x x ) 

2( )( ) = 2(x x )(x x ) 

x x 

= (x x ) x x 

arena x 

x 

= 

= m dan x x 

= m , maka 

x 

1 

x 

m = 1 m 

atau m m = 1 (1 ) 

Contoh 1.21 

Buktikan bahwa garis l 1 yang melalui titik-titik (2,-1) dan (5,0) tegak lurus terhadap garis l 2 

yang melalui titik-titik (1,1) dan (2,-2)! 

20

Penyelesaian 



= 0 ( 1) 

5 2 = 1 3 

= 2 1 

2 1 = 3 

1 = 3 

Karena : m 1 .m 2 = -1, maka garis l 1 saling tegak lurus dengan garis l 2 . 

Soal-soal : 

1. Tentukan kemiringan garis yang melalui titik-titik: 

a) P 1(2,3) dan P 2(4,5) c) P 1(-3,-1) dan P 2(3,-4) 

b) P 1(-2,2) dan P 2(1,4) d) P 1(1,2) dan P 2(2,-5) 

2. Tentukan apakah garis-garis l 1 dan l 2 berikut ini sejajar, tegak lurus atau tidak 

keduanya! 

a) Garis l 1 yang melalui titik-titik (1,1) dan (3,3) dan garis l 2 yang melalui titik-titik 

(0,0) dan (2,-2). 

b) Garis l 1 yang melalui titik-titik (1,2) dan (0,0) dan garis l 2 yang melalui titik-titik (0,- 

8) dan (2,-4). 

c) Garis l 1 yang melalui titik-titik (0,0) dan (2,4) dan garis l 2 yang melalui titik-titik (1,- 

2) dan (-2,4). 

21

BAB II 

HIMPUNAN 

2. 1 Definisi 

Himpunan (set) didefefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda. Selain itu 

kita juga sering mendengar definisi lainnya yaitu sebagai kumpulan objek-objek yang 

berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Setiap objek yang terdapat dalam 

himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. Anggota-anggota himpunan ditulis 

dalam tanda kurung kurawal. Untuk menunjukkan bahwa suatu unsur atau elemen 

merupakan anggota dari suatu himpunan tertentu biasanya kita menggunakan lambang 

. Sedangkan lambang untuk menunjukkan bahwa suatu elemen atau unsur bukan 

merupakan anggota suatu himpunan maka kita gunakan lambang . Himpunan tidak 

memperhatikan urutan penulisan dan pengulangan anggota. Sebagai contoh urutan A = 

{1,2,4} adalah sama dengan {2,4,1} atau {1,4,2 }. Sedangkan untuk contoh pengulangan 

himpunan { 3,5,3,7,8} sama dengan {3,5,7,8 }. 

2.2 Penyajian himpunan 

Ada 3 cara untuk menyajikan himpunan, yaitu dengan cara: 

a. tabulasi atau enumerasi 

b. notasi pembentuk himpunan (set builder) 

c. diagram Venn 

a. Tabulasi atau enumerasi 

Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan 

menuliskan semua anggotanya. Jika A adalah himpunan bilangan-bilangan 1, 2, 3 dan 

4 maka himpuan tersebut ditulis dalam bentuk : A = { 1 , 2 , 3 , 4 }. Jika jumlah 

anggotanya terlampau banyak maka kita dapat menggunakan lambang ellipsis, ‘… ‘. 

Contoh 2.1 

Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang tidak lebih dari 1000, maka kita 

dapat menuliskannya menjadi B = {0 , 2 , 4 ,…,1000 }. 

Contoh 2.2 

Misal C adalah himpunan yang mempunyai anggota bilangan ganjil positif yang lebih 

kecil dari 100. Jadi C = { 1, 3, 5, … , 97 , 99 }. 

b. Notasi pembentuk himpunan 

Selain cara yang telah disebutkan diatas, kita dapat menuliskan himpunan dengan 

menggunakan notasi pembentuk himpunan ( set builder). Penulisan himpunan 

dengan cara ini adalah dengan cara menuliskan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh 

anggota himpunan. Bentuk bakunya adalah A = { x | sifat-sifat x }. Aturan 

penulisannya adalah sebagai berikut: 

a) Lambang yang terdapat disebelah kiri tanda ‘|’ adalah anggota himpunan 

b) Tanda ‘|’ dibaca sedemikian sehingga. 

c) Lambang disebelah kanan tanda’|’ adalah sifat keanggotaan. 

d) Jika ada tanda ‘,’ dalam sifat keanggotaan dibaca dan. 

Contoh 2.3 

A adalah himpunan bilangan ril lebih kecil dari 100 dan lebih besar dari 1. 

A = { x | x R, 1 < x < 100 } 

22

c. Diagram Venn 

Cara lain untuk menyajikan himpunan adalah dengan menggunakan cara grafis yaitu 

diagram Venn. Biasanya diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunanhimpunan 

yang dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta 

dilambangkan dengan persegi panjang. Jika terdapat himpunan A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = 

{ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, dan himpunan semesta S yang mempunyai anggota bilangan asli 

yang lebih kecil atau sama dengan 10, maka diagram Venn dari dari ketiga himpunan 

tersebut adalah : 

S 

A 

B 

1 3 5 6 

2 4 7 8 

9 10 

Gambar 2.1 Diagram Venn 

2. 3. Kardinalitas 

Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota suatu himpunan. Jika terdapat himpunan A, 

maka kardinal A ditulis dengan lambang n(A) atau |A|. 

Contoh 2.4 

Jika A = { x | x bilangan prima, x 10} 

Agar lebih jelas maka ada baiknya kita tulis himpunan tersebut dalam bentuk 

enumerasi. Jadi A = { 2 , 3 , 5 , 7 } 

Maka |A| = 4 

Contoh 2.5 

Jika B = { x | x 2 – 6x + 9 = 0} 

Maka |B| = 1 

2.4 Himpunan kosong 

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jadi untuk 

hiompunan kosong |A| = 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø atau { }. 

Contoh 2.6 

K = { x | x bilangan ril, x 2 + 1 = 0 } 

Maka |K| = Ø atau { }. 

2. 5. Himpunan bagian (subset) 

Misal terdapat himpunan A dan B. Jika semua anggota himpunan A merupakan anggota 

himpunan B, maka dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B. Himpunan 

bagian dilambangkan dengan lambang ⊆ atau ⊂. Jika kita ingin menuliskan bahwa 

himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B maka A ⊆ B atau A ⊂ B. 

Akan tetapi kita perlu berhati-hati menggunakan kedua lambang tersebut. Pada A ⊆ B 

berarti A = B. Sedangkan A ⊂ B dapat dipastika bahwa A ≠ B. Lambang ⊆ disebut juga 

himpunan bagian tak sebenarnya (improper set), sedangkan lambang ⊂ menunjukkan 

himpunan bagian sebenarnya (proper set). Gambar berikut adalah diagram Venn A⊆B. 

23

S 

B 

A 

Gambar 2.2 Diagram Venn untuk 

Himpunan Bagian 

Perlu untuk diketahui bahwa: 

a) Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. 

Jika terdapat suatu himpunan L, maka berlaku L ⊆ L. 

b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan. 

Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan M, maka berlaku Ø ⊆ M. 

2.6. Kesamaan himpunan 

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan 

bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang 

matematika kita dapat menulisnya dalam bentuk A = B A ⊆ B dan B ⊆ A. 

Contoh 2.7 

L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x 2 – 5x + 6 = 0 } 

Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut diatas dalam bentuk enumerasi. 

L = { 2,3} 

M = { 2,3} 

Jadi L = M 

Contoh 2.8 

A = { 2 } 

B = { x | x 2 = 4 } 

Karena B = { -2 , 2 } 

Maka A ≠ B. 

2.7. Ekivalensi himpunan 

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = 

kardinal B. Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis menjadi A ~ B |A| = |B| 

Contoh 2.9 

Jika A = { x | x = P , 1 x 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } 

Karena |A| = |B|, maka A ~ B . 

2.8. Himpunan saling lepas 

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang 

sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis dengan A//B. Jika digambarkan dengan 

diagram Venn maka bentuknya seperti gambar berikut. 

24

S 

A 

B 

Gambar 2.3 Himpunan Saling Lepas 

Contoh 2.10 

A = { x | 1 x 5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati } 

Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan anggota B, maka A // B. 

2.9. Himpunan kuasa 

Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya 

merupakan semua himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A 

itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan : P(A) atau 2 A . 

Contoh 2.11 

Jika M = { 1,2,3 } 

Maka himpunan kuasa dari M adalah 2 M = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}} 

2.10. Operasi himpunan 

2.10.1 Irisan 

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotaanggotanya 

merupakan anggota himpunan A dan himpunan B. Dalam bentuk 

notasi A B = { x | x A dan x B}. Diagram Venn operasi irisan adalah seperti 

gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah irisan A dan B atau A B. 

S 

A 

B 

Gambar 2.4 Irisan himpunan 

Contoh 2.12 

Jika A = { 2 , 3 , 6 , 7 } dan B = { 2 , 7 , 9 , 10 } 

Maka A B = { 2 , 7 } 

Contoh 2.13 

Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y R } dan L = { x ,y | x y = 2, x,y R } 

Maka K L = { 3 , 1 } 

2.10.2 Gabungan 

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap 

anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis 

sebagai : A B = { x | x A atau x B}. Diagram Venn operasi gabungan adalah 

seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah gabungan A dan B atau A B 

25

S 

A 

B 

Gambar 2.5 Diagram Venn Himpunan Gabungan 

Contoh 2.14 

Jika A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 } dan B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 } 

Maka A B = { 1, 2 , 3 , 4, 6, 7 , 9, 10 }. 

2.10.3 Komplemen 

Komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu 

himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tapi 

bukan anggota himpunan A.. Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x S dan x A}. 

Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah Ā. 

S 

A 

Ā 

Gambar 2.6 Diagram Venn Komplemen Himpunan 

Contoh 2.15 

Jika S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } dan A = { 2 , 3 , 4 , 5 } 

Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }. 

2.10.4 Selisih 

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka A – B adalah himpunan yang 

anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja. Dalam bentuk 

notasi ditulis sebagai : A – B = { x | x A dan x B}. Diagram Venn dari operasi ini 

adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut. 

S 

A 

B 

B 

Gambar 2.7 Diagram Venn Selisih 

Dua Buah Himpunan 

Contoh 2.16 

Jika A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } dan B = { 3 , 4 , 5, 10 } 

Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 }. 

26

2.10.5 Beda setangkup 

Beda setangkup (symmetric difference) himpunan A dan himpunan B adalah 

himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja 

atau himpunan B saja. : A B = (A B) – ( A B) = ( A – B ) ( B – A ) . Diagram 

Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut. 

S 

A 

B 

Gambar 2.8 Diagram Venn 

Himpunan Beda Setangkup 

Contoh 2.17 

Jika A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } dan B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } 

Maka A B = { 1 , 9 , 10 }. 

2.10.6 Perkalian Kartesian 

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian Kartesian A x B adalah 

himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pairs) 

dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal 

dari himpunan B. Dalam bentuk notasi dapat ditulis sebagai : A x B = { (a,b) | a A 

dan b B}. Hal yang perlu diingat : 

a) Jika A dan B Ø, maka A x B B x A 

b) Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø 

c) |A x B| = |A| . |B| 

Contoh 2.18 

Misal C = { 1 , 2 , 3 } dan D = { a , b } 

C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b)} 

2.10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi 

| AB| = |A| + |B| - |AB| 

|ABC| = |A| + |B| + |C| - |AB| - |BC| - |AC| + |ABC| 

|A B| = |A| + |B| - 2|AB| 

2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas 

Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah himpunan dan operasinya, 

maka kita akan mendapatkan dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan 

jalan mengganti: 

a) dengan 

b) dengan 

c) Ø dengan S 

d) S dengan Ø 

Berikut disajikan beberapa sifat dari operasi himpunan dan dualnya. 

27

Hukum 

Dual 

1. Identitas : A Ø = A A S = A 

2. Null : A Ø = Ø A S = S 

3. Komplemen : A Ā = S A Ā = Ø 

4. Idempoten : A A = A A A = A 

5. Penyerapan : A ( A B) = A A ( A B) = A 

6. Komutatif : A B = B A A B = B A 

7. Asosiatif : A ( B C ) = (A B) C A ( B C ) = (A B) C 

8. Distributif : A ( B C) = ( A B) (A C) A ( B C) = ( A B) (A C) 

9. De Morgan : A B = A B A B = A B 

10. 0/1 : Ø = S S = Ø 

2.11. Himpunan ganda (multiset) dan operasinya 

Pada pembahasan terdahulu kita telah membahas himpunan serta operasinya. Akan 

tetapi anggota-anggotanya tidak ada yang ganda. Pada himpunan ganda, setidaktidaknya 

terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Selain itu kita juga 

mengenal istilah multiplisitas, yaitu jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan 

ganda. Sebagai contoh, jika Q = { 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 }, maka multiplisitas 2 

adalah 3, sedangkan multipilisitas 8 adalah 2 dst. 

2.11.1 Operasi Gabungan 

Misal S dan T adalah multiset. Operasi gabungan antara keduanya akan 

menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan 

multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. 

Contoh : Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } 

T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } 

S T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani } 

2.11.2 Operasi Irisan 

Misal S dan T adalah multiset. Operasi irisan antara keduanya akan menghasilkan 

multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas 

minimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T. 

Contoh 2.19 

Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } 


S T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali } 

2.11.3 Operasi selisih 

Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset 

yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara: 

- Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S, maka 

cari S–T 

- Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka 

multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0. 

Contoh 2.20 

Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } 


S – T = { Karim, Karim } 

28

2.11.4 Operasi jumlah 

Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan 

multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari 

multiplisitas masing-masing anggota yang sama. 

Contoh 2.21 

Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali } 

T = { Ani, Ani, Karim, Ali, Ali, Gani } 

S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Ali, Gani } 

2.12. Pembuktian pernyataan himpunan 

Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan diagram Venn, tabel 

keanggotaan, sifat operasi himpunan atau definisi. 

2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn 

Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan 

menggunakan diagram Venn, pertama-tama gambarkan diagram Venn untuk 

ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. Jika ternyata kedua gambar dari diagram 

Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar. 

Contoh 2.21 

Buktikan bahwa : A ( B C) = ( A B) (A C) 

S 

S 

A B A B 

C 

C 

Karena kedua diagram Venn sama hal ini berarti ruas kiri sama dengan ruas 

kanan. Artinya kesamaan diatas benar. 

2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan 

Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan tabel keanggotaan untuk 

membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan. 

Contoh 2.22 

Buktikan bahwa A ( B C) = ( A B) (A C) 

Bukti 

A B C AB AC BC A(BC) (AB) ( AC) 

0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 1 0 1 0 0 0 

0 1 0 1 0 0 0 0 

0 1 1 1 1 1 1 1 

1 0 0 1 1 0 1 1 

1 0 1 1 1 0 1 1 

1 1 0 1 1 0 1 1 

1 1 1 1 1 1 1 1 

29

Perhatikan bahwa kolom 7 dan 8 sama, artinya A(BC) = (AB)(AC) 

(terbukti). 

2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan 

Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan himpunan adalah dengan 

menggunkan sifat operasi himpunan. 

Contoh 2.23 

Buktikan bahwa : (Ā B) (A B) = B 

Bukti : 

(Ā B) (A B) gunakan hukum distributif 

B (Ā A) 

gunakan hukum komplemen 

B 

gunakan hukum identitas 

B 

Soal-soal 

1. Berapakah jumlah anggota dari himpunan : 

a) { 1, 2, 3, 3, 1, 2, 4, 5}? 

b) {1, {1,2}, {1, 2, 3}}? 

2. Tulis himpunan kuasa dari {a, b, c, d} dalam bentuk tabulasi! 

3. Diketahui : 

S = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 

A = {-5, -4, -3, -2, -1} 

B = {-2, -1, 0, 1, 2} 

C = { 1, 2, 3, 4, 5} 

Gambarkan diagram Venn untuk : 

a) A B d) B – (A C) 

b) B C e) (A C) 

c) A B C f) (A B) C 

30

BAB III 

FUNGSI 

3.1 Definisi 

Jika nilai dari suatu besaran, misal y, bergantung pada nilai besaran lainnya, misal x, 

maka kita dapat mengatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Cara lain untuk 

menyatakan ketergantungan y terhadap x adalah dengan cara simbolik yaitu y = 

f(x) (dibaca “y adalah fungsi dari x”). Lambang-lambang lain untuk menyatakan 

fungsi diantaranya adalah : h, F, G, dll. Selanjutnya fungsi dapat 

D K D K 

● 

● 

( a ) ( b ) 

Gambar 3.1 

D 

K 

● 

Gambar 3.2 

didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota 

himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gambar 

3.1). Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu pasangan pada 

himpunan K disebut daerah definisi atau daerah asal (domain). Sedangkan anggotaanggota 

pada himpunan K yang merupakan pasangan anggota-anggota himpunan D 

disebut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang 

merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut 

kodomain. Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi diatas maka 

hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 3.2). Jadi 

31

fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat satu keluaran untuk 

setiap masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses 

yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu. 

3.2. Jenis-jenis fungsi 

Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu 

fungsi ril dan fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini 

hanya mencakup fungsi ril saja. 

3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas 

3.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal 

Fungsi peubah bebas tunggal adalah fungsi yang hanya mempunyai 

satu peubah bebas. 

Contoh 3.1 : a) y = 2x + 3 b) y = x 2 

c) y = sin x d) x 2 + y 2 =r 2 

3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak 

Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang mempunyai lebih 

dari satu peubah bebas. 

Contoh 3.2 : a) w = xy 

b) u = sin (x+y) 

c) v = cos xy d) t = xy+ z 

3.2.2 Menurut cara penyajiannya 

3.2.2.1 Fungsi eksplisit 

Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah bebasnya ditulis atau 

disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah tak bebasnya. 

. a) y x b) y x 

c) y = sin x d) y = (x-1) 2 

Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x) 

3.2.2.2 Fungsi implisit 

Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan tak 

bebasnya ditulis pada ruas yang sama. 

Contoh 3.4 : a) x + y = 0 

b) x 2 + y 2 = r 2 

Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0 

3.2.2.3 Fungsi parameter 

Bentuk umum dari fungsi parameter adalah: 

x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter. 

Contoh 3.5 

x 

y 

Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah 

bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan 

pada Gambar 3.3 berikut. 

32

Fungsi 

Aljabar 

Transenden 

Rasional 

Irrasional 

Bulat 

Pecah 

Logaritma 

Trigonometri 

Invers 

Hiperbolik 

Invers 

Eksponen 

Trigonometri 

Hiperbolik 

Gambar 3.3 

3.2.3 Fungsi aljabar 

Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu 

operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi pangkar 

rasional. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional. 

Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah. 

3.2.3.1 Fungsi rasional 

Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x) 

dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial-polinomial dan Q(x) 0. 

Selanjutnya jika Q(x) konstan maka fungsi rasional disebut juga fungsi 

pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan maka fungsi rasional disebut 

fungsi bulat. 

A. Fungsi bulat 

Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan. 

Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi polinomial karena 

bentuknya sama seperti bentuk polinomial. Suatu fungsi yang 

mempunyai bentuk : 

f(x) a x a x a x a x a ( . ) 

disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien a n, a n-1, a n-2,…, 

, a 1, a 0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan masing-masing 

sukunya disebut monomial. Pangkat n pada fungsi polionomial 

adalah bilangan bulat tak negatif. Fungsi polinomial dapat 

dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. 

Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial. 

33

Berdasarkan 

Polinomial 

Jumlah suku 

Derajad 

x 2 – x – 6 Trinomial 2 (fungsi kuadrat) 

x 3 + 2x 2 - x + 5 Polinomial 3 (fungsi kubik) 

x 5 Monomial 5 

–5 Monomial 0 (fungsi konstan) 

x + 2 Binomial 1 (fungsi linier) 

x 6 –4x 3 – 7x + 5 Polinomial 6 

a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial 

Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari 

fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan adalah 

mengelompokkan suku-suku yang mempunyai faktor/faktorfaktor 

peubah yang sama. Sebagai contoh suku-suku 3xy dan -2xy 

adalah dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku tersebut 

dapat dilakukan operasi penjumlahan dan / atau pengurangan. 

Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut : 

Jenis suku 

ax 3 dan bx 3 

ax 2 dan bx 2 y 

a dan b 

Keterangan 

Mempunyai faktor peubah yang sama 

Mempunyai faktor peubah yang tidak sama 

Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang 

sama, karena masing-masing suku dapat 

ditulis dalam bentuk : ax 0 + bx 0 

Contoh 3.6 

Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi, 

x x xy dan x x x x y xy 


Penjumlahan 

(-2x 2 +5x+7xy)+(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) = 

-2x 2 +5x+7xy-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2 = 

-3x 3 - 6x 2 + 6x - 3x 2 y + 10xy – 2 

Pengurangan 

(-2x 2 +5x+7xy)-(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) = 

-2x 2 +5x+7xy+3x 3 +4x 2 –x+3x 2 y-3xy+2 = 

3x 3 +2x 2 +3x 2 y+4xy+4x+2 

b. Perkalian monomial 

Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut 

diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu : 

Hukum I : a m . a n = a m+n ( 3.2 ) 

Contoh 3.7 

Selesaikan perkalian : 5 2 .5 3 ; x a .x b ; xy 2 .x 3 y 


5 2 .5 3 = 5 2+3 = 5 5 = 3125 

x a .x b = x a+b 

xy 2 .x 3 y = x.x 3 .y 2 .y = x 4 .y 3 

34

Hukum II : [a m ] n = a mn ( 3.3 ) 

Contoh 3.8 

Selesaikan : [4 2 ] 3 dan [x 3 ] 4 


[4 2 ] 3 = 4 6 =4096 

[x 3 ] 4 = x 12 

Hukum III : [a m b n ] k = a mk .b nk ( 3.4 ) 

Contoh 3.9 

Selesaikan : [{7}{5 2 }] 3 dan [x 3 y 2 ] 2 


[{7}{5 2 }] 3 = 7 3 5 6 = 5359375 

[x 3 y 2 ] 2 = x 6 y 4 

c. Perkalian fungsi polinomial 

Proses perkalian dua fungsi polinomial dapat dilakukan dengan 

mengalikan masing-masing monomialnya dengan bantuan hukum 

distributif. 

Contoh 3.10 

Selesaikan perkalian : 2x(x 2 -5x+6) 


2x(x 2 -5x+6) = 2x 3 -10x 2 +12x 

Contoh 3.11 

Selesaikan perkalian : (3x+2)(x 2 -3x+2) 


(3x+2)(x 2 –3x+2) = 3x 3 – 9x 2 +6x+2x 2 – 6x+4=3x 3 –7x 2 +4 

d. Perkalian istimewa polinomial 

Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika 

salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan, 

sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah 

monomial. Sebagai contoh (ax m +by n ) dan (ax m –by n ) adalah 

binomial-binomial konjugat. Hasil perkaliannya adalah : 

(ax m +by n )(ax m – by n ) = (ax m ) 2 – (by) 2 (3.5) 

Contoh 3.12 

Selesaikan perkalian (5x 2 +6) (5x 2 -6) 


(5x 2 +6) (5x 2 –6) = (5x 2 ) 2 –(6) 2 = 25x 4 –36 

e. Pemfaktoran polinomial 

Memaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi 

bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah 

yang harus dilakukan adalah sebagai berikut tentukan 

faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya 

35

keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada 

tabel berikut. 

Polinomial 

Langkah I 

(tentukan faktor 

yang sama) 

Langkah II 

(keluarkan faktor 

yang sama) 

ax 2 +ay 2 a a(x 2 +y 2 ) 

3x 3 +2x+x x x(3x 2 +2x+1) 

3a 2 b+5ab-4b 2 b b(3a 2 +5a-4b) 

f. Pembagian polinomial 

Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan 

mengikuti hukum-hukum berikut ini. 

u um 

x 

x 

x x x ( . ) 

u um 

x 

y 

x 

y 

( . ) 

Hukum VI : ( Pangkat nol) a 0 =1 ; a / 0 (3.8) 

u um ( ang a n ga if) a 

a ( . ) 

Contoh 3.13 

d rhana an fungsi 

Penyelesaian 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

y 

x 

Soal-soal 

1. Selesaikan! 

a) (x+6y) – (2x 2 – 7x+12) c) (x 3 +6x 2 +12x+8) + (2x 2 y+3xy-7) 

b) (x 2 +2xy+y 2 ) – (3x– x 2 y+y) d) (4y 2 – x 2 ) + (2x 2 y– 3xy 2 ) 


a) ( x )( x )( x ) ) ( x y ) 

b) (x 3 y)(xy 3 )(x 2 y 2 ) f ) (–2p 5 q 4 r 3 ) 3 

c) 

x 

y 

g) ( ) 

d) ( x y ) (x y ) h) a a a 

36

3. Selesaikan perkalian polinomial berikut ini! 

a) x(x–2) d) (x 2 – 5)(x 2 – 3x+2) 

b) –2xy(x 2 y–3xy 3 ) e) (2s 2 – t 3 +4s 2 t)(s 2 – 2st+t 2 ) 

c) abc(2a-5b–2c+7) f ) (x 4 +2x 2 )(x 4 –2x 2 ) 

d) 5xy 2 z 3 (2x 2 z-3yz 3 +4xy 2 ) g) (–2m+5n)(2m+5n) 

4. Faktorkan fungsi-fungsi berikut! 

a) 5s – 5t c) 9xy + 12y – 6xz – 8z 

b) 6ab – 12ac + 18ad d) 8ax – 20a + 10 bx – 25b 


a) s s d) ( x y ) g) ( a b ) ( a b ) 

b) (r s )(r s ) ) 

c) (x y ) (x ) f) 

x 

h) ( x ) ( x ) 

y ( x ) 

x y 

x y 

g. Fungsi konstan 

Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial yang 

mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam 

bentuk : 

y = f(x) = a 0 atau y = konstan ( 3.10 ) 

Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 3.4 berikut. 

y 

y = a 0 ; a 0 > 0 

0 

x 

Gambar 3.4 

Grafik fungsi konstan 

y = a 0 ; a 0 < 0 

h. Fungsi linier 

Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi linier 

disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk : 

y f(x) a x a a au y mx n (3.11) 

Persamaan 3.11 adalah persamaan garis yang memotong sumbu x pada saat y 

= 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0. Perhatikan persamaan 3.11. Jika 

x = 0 maka y = n dan jika y = 0 maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa 

persamaan 3.11 menunjukkan sebuah garis yang melalui titik-titik (0,n) dan 

(-n/m,0). Biasanya persamaan 3. dis bu p rsamaan “ rpo ongan- 

Kemiringan sebuah Garis (Slope- n rc p Equa ion of a Lin )”. Grafik 

persamaan 3.11 ditunjukkan pada Gambar 3.5 dibawah ini. 

37

y 

(-n/m,0) 

0 

(0,n) 

x 

Gambar 3.5 

Grafik fungsi linier 

Jika persamaan garis pada persamaan 3.11 melalui titik (x 1,y 1) maka : 

y 1 = mx 1 + n n = y 1 – mx 1 ( 3.12 ) 

Dengan mensubstitusi harga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11 didapat : 

y – y 1 = m(x – x 1) atau y = m(x – x 1) + y 1 ( 3.13 ) 

Biasanya persamaan 3. dis bu p rsamaan “K miringan-Titik sebuah 

Garis (Point- lop Equa ion of a Lin )”. Grafi p rsamaan 3.13 ditunjukkan 

pada Gambar 3.6. 

y 

(x,y) 

0 

(x 1,y 1) 

x 

Gambar 3.6 

Grafik persaman 3.13 

Jika persamaan garis 3.11 melalui titik (x 2,y 2), maka : 

y – y 2 = m(x – x 2) atau y = m(x – x 2) + y 2 (3.14) 

Jika persmaan 3.15 dikurang persamaan 3.13 maka didapat, 

y y m(x x ) a au m y y 

x x 

y 

x 

y 

x 

( . ) 

38

Dengan memasukkan harga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 didapat : 

y y 

y 

x 

y 

x 

(x x ) a au y y y 

x x 

(x x ) y ( . ) 

Persamaan 3.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x 1,y 1) dan 

(x 2,y 2) dan dis bu p rsamaan “Dua i i dari sua u garis ( wo poin 

qua ion of a lin )” s p r i yang di unju an pada Gambar 3.7. 

y 

(x 2,y 2) 

0 

(x 1,y 1) 

x 

Gambar 3.7 

Grafik persaman 3.16 

Kesimpulan : 

Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa : 

1. Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumbu x atau 

sumbu y diketahui maka gunakan adalah persamaan 3.11. 

2. Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut melalui titik 

tertentu, misal (x 1,y 1), maka gunakan persamaan 3.13. 

3. Jika suatu garis melalui titik-titik (x 1,y 1) dan (x 2,y 2) maka gunakan 

persaman 3.16. 

Cara menggambar garis 

Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n 

Buat tabel sebagai berikut : 

Jika n 0 

x y 

0 n 

-n/m 0 

Jika n = 0 

x y 

0 0 

a m.a 

a adalah sembarang bilangan ril 

Contoh 3.14 

Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3 dan memotong 

sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan garis tersebut! 

Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11) 

Persamaan garis y = mx + n 

Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n 

39

Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0. Dengan 

mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat : 

n=1/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = -1/3 x+1/3 

Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. 

x y 

0 1/3 

1 0 

Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0). 

y 

(0,1/3) 

0 

Gambar 3.8 

(1,0) 

x 

Contoh 3.15 

Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan memotong 

sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tersebut ! 

Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11) 

Persamaan garis y = mx + n 

Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n 

Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Dengan 

mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 3.11, didapat n=1. 

Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = 2x+3/2 

Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. 

x y 

0 3/2 

-3/4 0 

Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,3/2) dan (-3/4,0). 

y 

(0,3/2) 

(-3/4,0) 

0 

x 

Gambar 3.9 

Contoh 3.16 

Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1 dan melalui titik 

(-2,3). Tentukan persamaan garis tersebut! 

Penyelesaian (gunakan persamaan 3.13) : 

y = m(x - x 1) + y 1 m = -1 ; x 1 = -2 ; y 1 = 3 

Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1 

40

y 

(0,1) 

0 

(1,0) 

x 

Gambar 3.10 

Contoh 3.17 

Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2).Tentukan persamaan garis tsb.! 

Penyelesaian (gunakan persamaan 3.16): 

y y 

x 

y 

x 

(x x ) y (x ) (x ) 

y x (x ) 

0 

y 

(0,13/4) 

(13,0) 

x 

Gambar 3.11 

Soal-soal 

1. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut ! 

a) Kemiringan (koeffisien arah) = . Memotong sumbu x pada x = -1 

b) Kemiringan (koeffisien arah) = -3/4. Memotong sumbu x pada x = 3 

c) Kemiringan (koeffisien arah) = 1/4. Memotong sumbu y pada y = 1 

d) Kemiringan (koeffisien arah) = 1. Memotong sumbu y pada y = -2 

2. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut ! 

a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2. Melalui titik (-2,-1) 

b) Kemiringan (koeffisien arah) = 2/3. Melalui titik (3,0) 

c) Kemiringan (koeffisien arah) = -4. Melalui titik (-1/2,3) 

d) Kemiringan (koeffisien arah) = -1. Melalui titik (0,3/2) 

3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik berikut dan gambarkan 

grafiknya! 

a) (0,1) dan (2,5) c) (-1,-2) dan -2,2) 

b) (0,-1) dan (3,8) d) ( 2,-1) dan (2,6) 

41

i. Fungsi kuadrat 

- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran 

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua 

dan mempunyai bentuk umum : 

y= f(x) = a 2x 2 + a 1x + a 0 atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) 

dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah 

peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat 

pada persamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga 

persamaan 3.17 menjadi : ax 2 + bx + c = 0. Untuk menentukan titik 

potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama kita 

harus menentukan akar-akarnya. 

Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar 

tersebut. Untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat pertamatama 

kita tulis dalam bentuk : 

ax 2 + bx + c= a(x 2 + a 

b x+ a 

c ) = a(x 2+Bx+C), dengan B = b/a dan C= 

c/a. Memfaktorkan x 2 + a 

b x+ a 

c berarti menuliskannya dalam bentuk : 

(x + m)(x+n), dimana mn = C dan m + n = B ( 3.18 ) 

Akar-akar dari persamaan 3.18 adalah : x 1= -m dan x 2 = -n 

Contoh 3.18 

Faktorkan persamaan kuadrat : x 2 + x – 6 = 0 


B = 1 dan C = –6 

mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3 

Jadi : x 2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya 

adalah : x 1 = 2 dan x 2 = -3 

Contoh 3.19 

Faktorkan persamaan kuadrat : x 2 –4x – 12 = 0 


B = –4 dan C = –12 

mn = –12 dan m + n = –4. Didapat m = –6 dan n = 2 

Jadi : x 2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya 

adalah : x 1 = 6 dan x 2 = –2 

- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat. 

Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa pers. kuadrat yang 

memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax 2 +bx+c = 0 dengan x 

bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk : 

a(x x) c a(x x ) c 

a(x a b ) b 

a 

c (x a b ) b 

a 

c 

a 

x b a 

b 

a 

c 

a 

b 

a 

ac 

a a b ac 

42

x b a a b ac b b ac 

a 

a au 

x 

b b ac 

a 

x 

b b ac 

a 

( . ) 

Persamaan 3.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut digunakan 

untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Besaran b 2 – 4ac 

disebut diskriminan atau disingkat D. 

Contoh 3.20 

Tentukan akar-akar dari persamaan x 2 + 4x - 21 = 0 dengan menggunakan 

persamaan kuadrat! 


Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21 

x 

x 

b b ac 

a 

b b ac 

a 

( )( ) 

( ) 

( )( ) 

( ) 

- Grafik fungsi kuadrat. 

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan 

bentuknya adalah : y = ax 2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah bilanganbilangan 

ril, a 0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik 

persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah tergantung dari 

nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a < 0 maka 

grafik akan membuka kebawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita 

mengenal beberapa istilah penting yaitu : 

i) Verteks 

Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu 

parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari nol 

(negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar 

dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik 

koordinat verteks adalah V(h,k), dimana : 

h 

b a 

dan 

c b a 

( . ) 

ii) Sumbu simetri 

Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian 

yang sama. Sumbu simetri adalah, 

x h 

b a 

( . ) 

iii) Titik potong dengan sumbu x 

Untuk menentukan apakah sebuah parabola memotong sumbu x atau 

tidak, kita perlu memeriksa harga diskriminan. Jika diskriminan (D) = 0 

43

maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya 

menyinggung sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak 

menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x 

pada x 1 dan x 2. 

iv) Titik potong dengan sumbu y 

Titik potong dengan sumbu y pada y = c 

Contoh 3.21 

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –x 2 + 5x -6 

Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y 


Dari soal siketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6 

h b a 

c b a ( ) 

r s (h, ) ( , ). umbu sim ri x h 

Titik potong dengan sumbu x y = 0 

–x 2 + 5x –6 = –(x–3)(x–2) = 0 x 1 = 3 dan x 2 = 2 

Jadi parabola memotong sumbu x pada x =2 dan x = 3 

Titik potong dengan sumbu y x = 0. Didapat :y = –6 

Jadi parabola memotong sumbu y pada y = –6. 

Parabola membuka kebawah karena a < 0 

y 

x = 5/2 

1/4 

0 2 3 

x 

-6 

sumbu 

simetri 

Gambar 3.12 

Soal-soal 

Tentukan verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y dari 

fungsi kuadrat berikut ini! 

1. y = -5x 2 3. y = 3 

2 x 2 – 2x 5. y = x 2 – 3x -4 

2. y= 2 

1 (x + 2 ) 2 5. y =2x 2 + 4x + 5 7. y = 5 

4 x 2 – 7 

44

j. Fungsi pangkat tinggi 

Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial 

derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akar-akar dan menggambarkan 

grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan 

fungsi pangkat tinggi tersebut. 

- Pemfaktoran fungsi pangkat tinggi 

Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan salah 

satu faktor dari f(x) f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu akar dari 

polinomial. Berikut adalah contoh pemfaktoran fungsi pangkat tinggi. 

Contoh 3.22 

Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi : 

f(x) = x 3 - 3x 2 - 10x + 24 


Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error. 

Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 1 3 - 3 2 - 10 + 24 =12. Karena f(1) 0, 

maka x = 1 bukan akar dari f(x). 

Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 2 3 – 3(2) 2 – 10(2) + 24 =0. 

Karena f(2) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x). 

Sehingga (x – 2) adalah salah satu faktor dari f(x). Untuk mencari faktor 

lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah didapat, yaitu 

(x 3 – 3x 2 – 10x + 24) dibagi dengan (x – 2). 

x 2 – x – 12 

x – 2 x 3 – 3x 2 – 10x + 24 

x 3 – 2x 2 

–x 2 – 10x + 24 

– x 2 + 2x 

– 12x + 24 

– 12x + 24 

0 

Hasil bagi x 3 –3x 2 –10x+24 dengan x–2 adalah x 2 –x–12. Berarti, x 2 –x–12 

adalah faktor lain dari x 3 –3x 2 –10x+24. Selanjutnya x 3 –3x 2 –10x+24 dapat 

ditulis dalam bentuk (x–2)(x 2 –x–12). Akan tetapi faktor x 2 –x–12 masih 

mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunyai derajad dua. Persamaan 

dari x 2 –x–12 dapat ditulis dalam bentuk faktor, yaitu (x–4)(x+3). Sehingga 

secara keseluruhan persaman x 3 –3x 2 –10x+24 dapat ditulis dalam bentuk 

(x–2)(x–4)(x+3). Jadi faktor-faktor dari x 3 –3x 2 –10x+24 adalah (x–2), (x–4) 

dan (x+3), sedangkan akar-akarnya adalah x=4, 2 dan –3. 

- Grafik fungsi pangkat tinggi 

Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan 

tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang ditunjukkan 

pada contoh berikut. 

Contoh 3.23 

Gambarkan grafik fungsi f(x) = x 3 – x 


Faktorkan f(x) x 3 – x = x(x – 1)(x + 1). 

45

x : - - - - - - - - - - - - - - - - - -0+ + + + ++ + + + 

x – 1 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - 0 + + + 

x + 1 : - - - - - - - 0 + + + + + + + + ++ + + + + 

x 3 – x : - - - - - - - 0 ++++++ 0 - - - - - - - - - 0 + + + 

-1 0 1 

Grafik dari fungsi f(x) = x 3 – x adalah : 

y 

-1 0 1 

x 

Gambar 3.13 

Soal-soal 

Gambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi berikut! 

1. y = x 3 + 1 3. y = 1/4 + 2x 3 5. y = x 3 + 4x 2 + x – 6 

2. y= 1 – x 4 4. y = x 3 – 2x 2 – 9 

B. Fungsi pecah 

a. Daerah definisi (domain) 

Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x) 

dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x) 0. Dalam bentuk 

formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi : 

f(x) 

(x) 

(x) , (x) ( . ) 

Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama 

kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita dapatkan 

akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua 

bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah. 

Contoh 3.24 

Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut! 

a) 

x 

x 

x 


b) 

46 

x 

x x x 

a) Perhatikan Q(x) : x 2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)

x 

impunan da rah d inisi fungsi 

x x 

x x s mua bilangan ril, x dan x 

b) Perhatikan Q(x) : 4x 3 +4x 2 + x = 4x(x + 1/2) 2 

x 

impunan da rah d inisi fungsi 

x x x adalah 

x x s mua bilangan ril, x dan x 

b. Grafik fungsi pecah 

Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan 

langkah-langkah sebagai berikut : 

i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x). 

ii) Tentukan daerah definisi (domain) dari f(x) dengan cara menentukan 

Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x). 

iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor dari 

P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak kontinu 

dari f(x). 

iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk 

mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0. 

Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x) 

dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y 

tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x) 

dengan sumbu y. Akar atau akar-akar yang berasal dari faktor yang 

bersekutu antara pembilang dan penyebut tidak digunakan untuk 

mencari titik potong. 

v) Coret faktor/faktor-faktor yang bersekutu antara pembilang dan 

penyebut. 

vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot 

tegak jika x – c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v. 

vii) Misal fungsi pecah berbentuk : 

f(x) a x a x a x a 

b x b x b x b 

- Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar. 

- Jika n = m maka garis y = a n/b m adalah asimtot datar. 

- Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar. 

viii) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot 

tegak (positif atau negatif). 

Contoh 3.25 

Gambar an gra i y f(x) 

x 

x 


i) 

x x (x )( x ) 

x x (x )( x ) 

x 

x 

47

ii) Q(x) = (x-1)(2x+1) = 0 x = 1 dan x = -1/2. Jadi daerah definisi 

(domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan -1/2. 

iii) Karena (x - 1) adalah faktor persekutuan dari P(x) dan Q(x), maka 

f(x) tak kontinu pada titik x = 1. 

iv) Titik potong dengan sumbu x. 

P(x) = 3x 2 – x – 2 = 0 (x-1)(3x+2) x = -2/3. 

Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x= –2/3. Sedangkan 

x=1 bukan titik potong pada sumbu x, karena (x–1) merupakan 

faktor persektuan P(x) dan Q(x). 

Titik potong dengan sumbu y. 

x = 0 y = 2. Jadi titik potong dengan sb.y terjadi pada y = 2. 

) 

x 

x 

x 

x 

(x )( x ) 

(x )( x ) 

x 

x 

vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v), 

maka x= –1/2 adalah asimtot tegak. 

vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar 

viii) 

x – 1 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+++++ 

3x 

2x 

2 

2 

3x + 2 : - - - - - 0 +++++++++++++++++++++ 

2x + 1 : - - - - - - - - - - - - 0++++++++ ++++++ 

x 2 

:+++++0 - - - - - - ++++++++?++++++ 

x 1 

-2/3 -1/2 1 

y 

0 1 

x 

Gambar 3.14 

48

Soal-soal 

Gambarkan grafik fungsi pecah berikut! 

. f(x) x 

. f(x) 

. f(x) x 

. f(x) x 

x 

(x ) 

. f(x) x 

. f(x) (x ) 

. f(x) 

x 

. f(x) 

x 

x 

. f(x) x 

. f(x) x 

3.2.3.2 Fungsi irasional 

Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk : 

f(x) g(x) ( . ) 

dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional 

(D f) dapat dijelaskan sebagai berikut : 

D 

D 

x g(x) 

bila n bilangan ganjil 

bila n bilangan g nap 

(3.24) 

Dimana D g adalah daerah definsi dari g. 

Contoh 3.26 

n u an da rah d inisi dan da rah nilai dari y x x 

Penyelesaian 

Kar na n bilangan g nap (dalam hal ini ), ma a x x 

x x x( x) 

x : - - - - - - - - - 0++++++++++++++ 

9 - x :+++++++++++++++0 - - - - - - 

9x-x 2 : - - - - - - - - - 0+++++++0 - - - - - - 

[ ] 

0 9 

adi da rah d inisi a au domain dari x x adalah x 

Da rah nilai dari 

x x dicari d ngan cara 

y x x y x x x x y 

Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = –9, c = y 2 

Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b 2 –4ac 

Selanjutnya kita cari harga diskriminan, yaitu :D = b 2 –4ac 

49

Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga harus 

ril. Artinya D 0. Secara otomatis b 2 –4ac 0. Jika kita masukkan 

nilai a, b dan c maka didapat : 

(-9) 2 -4(1)(y 2 ) 0. 

4y 2 81 -9/2 y 9/2 

Akhirnya didapat dua pertaksamaan, y -9/2 dan y 9/2. 

Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol, 

maka pertaksamaan y -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan 

yang digunakan adalah y 9/2 dan y 0. Jadi daerah nilai untuk 

f(x) x x adalah y 

Soal-soal 

Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari: 

. y x . y x . y x . y x(x ) 

3.2.4 Fungsi komposisi 

Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa 

fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g 

merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis 

dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai, 

(f o g)(x) = f(g(x)) (3.25) 

Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka 

kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai, 

(g o f)(x) = g(f(x)) (3.26) 

Contoh 3.27 

Jika diketahui : f(x) = x 2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 

Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) 


a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3) 2 +2(x+3)+1 = x 2 + 8x + 16 

b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x 2 +2x+1) = (x 2 +2x+1)+3 = x 2 +2x+4 

Soal-soal 

Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi: 

. f(x) x g(x) x . f(x) x 

x 

. f(x) x g(x) x . f(x) x 

x 

g(x) x 

g(x) x 

x 

3.2.5 Fungsi satu ke satu 

Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal 

dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu. 

50

Sebagai contoh f(x) = x 3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi 

untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah 

nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x 3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh 

lainnya, f(x) = x 2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk 

semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh lebih dari satu 

daerah nilai (dalam hal ini dua). Sehingga f(x) = x 2 bukan fungsi satu ke satu. 

3.2.6 Fungsi invers 

Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan 

hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga, 

i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f 

ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku : 

f(x) y g(y) x ( . ) 

Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis, 

g f a au x f (y) ( . ) 

Contoh 3.27 

Tentukan invers dari persamaan : y = x 3 + 2 

Penyelesaian : y = x 3 + 2 x 3 = y – 2 x = ( y–2 ) 1/3 

f (y) (y ) 

f (x) (x ) 

Soal-soal 

Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f -1 (x) ! 

1. y = 3x – 2 3. y = 4 – x 3 x 4 

5. y = 

x 4 

2. y = -3(x+5) 4. y = (7 – x) 5 6. y = 

51 

2x 

3.2.7 Fungsi transenden 

3.2.7.1 Fungsi eksponen 

Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan 

sebagai f(x) = a x disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat a x 

dapat dijelaskan sebagai berikut : 

i) a x > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari a x adalah semua 

bilangan positif. 

ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1 

iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x 

iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari a x 

a a un u a 

v) i a rdapa x , 

( . ) 

a a un u 

x 

3 

3 

3 

8 

Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik a x akan menanjak pada 

arah kanan (Gambar 3.15a). Sedangkan bila a < 1maka grafiknya akan 

menurun kearah sebelah kanan (Gambar 3.15b).

y 

y 

x 

0 0 

x 

(a) 

Gambar 3.15 

(b) 

Fungsi eksponen e x 

Fungsi yang mempunyai bentuk e x disebut fungsi eksponen natural atau 

fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional 

yang b sarnya adalah , … 

Persamaan eksponensial 

isal a . 

a a ma a x 

i a 

a a ma a x 

( . ) 

Contoh 3.28 

i a 

, n u an nilai x 

Penyelesaian 

( ) x x 

x 2 – 3x – 4 = 0 (x–4)(x+1) = 0 

Sehingga didapat x 1 = 4 dan x 2 = –1 

Contoh 3.29 

Tentukan nilai basis a jika f(x) = a x melalui titik (2,9) 


f(x) = a x 9 = a 2 3 2 = a 2 

Jadi a = 3 

Soal-soal 

Tentukan nilai basis a jika f(x) = a x melalui titik : 

i) (3,8) ii) (5,1/25) iii) (-8,1/64) iv) (1/4, 1/81) 

3.2.7.2 Fungsi logaritma 

Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari 

fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a1. 

Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a ditulis 

log y adalah bilangan uni x s d mi ian rupa s hingga a y. adi, 

log y x y a (3.31) 

52

dan dibaca “log y basis a sama d ngan x ji a dan hanya ji a y sama 

dengan a pangkat x”. i a harga y pada p rs. 3.31 sama dengan satu, 

maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi, 

log ( . ) 

log a ( . ) 

Contoh 3.30 

Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi 

bentuk logaritma ! 

a) 10 3 b) 625 1/4 

Penyelesaian 

a) y log y 

b) y log y 

Contoh 3.31 

i ung a) log b) log 

Penyelesaian 

a) y log . adi y 

b) y log . adi y y 

Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a 1 fungsi 

logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, 

f(x) log x un u x . log x 

log x, ma a dari p rs. 

3.31 didapat, 

a x un u x ( . ) 

Jika kita tulis persamaan a x = a x , maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis 

menjadi, 

log a x, un u s iap bilangan x ( . ) 

Hukum-hukum logaritma 

a) log log log 

b) log log log 

c) log n log 

d) log log 

Logaritma natural 

Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma 

natural ditulis sebagai, 

53

Soal-soal 

log x ln x ( . ) 

. log 

mn 

r 

. log 

a 

b 

. log (x y ) . log 

x y 

3.2.7.3 Fungsi trigonometri 

A. Pengukuran sudut 

Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih 

dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu 

bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang 

terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara kedua 

garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas 

sisi ujung 

y 

α 

0 sisi awal 

x 

Gambar 3.16 

pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang 

terletak pada koordinat Kartesius (Gambar 3.16). Biasanya verteks 

sudut diletakkan berimpit dengan titik asal (origin) sedangkan sisi 

awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang digambarkan dengan 

cara diatas disebut sudut dalam posisi standar. 

B. Sudut dalam satuan derajad 

Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita melakukan 

pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari sumbu x positif 

dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka besarnya sudut 

yang diukur adalah 360 0 . Gambar 2.17 adalah contoh pengukuran 

sudut-sudut 360 0 , 180 0 , 90 0 , -90 0 . 

y 

y 

360 0 180 0 

x 

0 0 

x 

y 

y 

90 0 

x 

0 0 

-90 0 

x 

54

Gambar 3.17 

Contoh 3.32 

Gambarkan sudut-sudut -270 0 dan 135 0 


y 

y 

135 0 -270 

x 

0 

0 0 

x 

Gambar 3.18 

C. Sudut dalam satuan radian 

Perhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua buah 

sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong lingkaran dan 

akan menghasilkan panjang busur tertentu pula (lihat Gambar 

2.19a). Jika panjang busur = t maka sudut yang diapit oleh dua sisi 

yang memotong lingkaran adalah t/r radian. 

y 

r 

t 

0 

x 

r radian 

(a) 

y 

r 

0 

2 

x 

(b) 

55

Gambar 3.19 

Selanjutnya perhatikan Gambar 3.19 b. Keliling 

lingkaran adalah 2r Berarti sudutnya (satu putaran) 

adalah 2 radian. Telah kita ketahui bahwa satu 

putaran sama dengan 360 o . Jadi 2 radian = 360 o . 

Selanjutnya didapat, 

radian 

 

( . ) 

radian 

. ( . ) 

 

radian ( . ) 

 

. radian ( . ) 

Contoh 3.33 

Ubah sudut 20 o kedalam satuan radian! 

Penyelesaian 

. 

radian (liha p rsaman . ) 

Contoh 3.34 

Ubah sudut /6 radian kedalam satuan derajad! 

Penyelesaian 

 

. (liha p rsamaan . ) 

Soal-soal 

1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian! 

a. b. c. d. 

2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad! 

a. radian b. radian c. radian d. radian 

D. Fungsi trigonometri sudut lancip 

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi 

sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar 3.20 

adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi siku-siku 

sedangkan c adalah sisi miring. Sudut dan adalah sudut-sudut 

lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 3.20 maka kita dapat 

menyimpulkan bahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan 

56

sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak dihadapan sudut 

siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip pada Gambar 3.20, 

dalam hal ini sudut , maka sisi siku-siku b disebut juga sebagai sisi 

pembatas sudut . Begitu juga jika kita tinjau sudut maka a disebut 

juga sisi pembatas sudut . 

 

c 

a 

 

b 

Gambar 3.20 

Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya kita 

definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut, 

sin 

sisi dihadapan sudu 

sisi miring 

a 

c 

( . a) 

cos 

sisi p mba as sudu 

sisi miring 

b 

c 

( . b) 

an 


sisi p mba as sudu 

a 

b 

( . c) 

co 


sisi dihadapan sudu 

b 

a 

( . d) 

s c 

sisi miring 


c 

b 

( . ) 

csc 

sisi miring 


c 

a 

( . f) 

Dari persamaan 3.41 dapat dibuat hubungan sbb.: 

an sin 

cos 

( . a) 

co cos 

an 

( . b) 

57

s c cos 

( . c) 

csc sin 

( . d) 

Masih tetap mengacu pada Gambar 3.20 dan teorema Pythagoras : 

c 2 = a 2 + b 2 (bagi semua ruas dengan c 2 ) 

c 

c 

a 

c 

b 

c 

a 

c 

b 

c 

(subs. p rs. . a dan . b) 

Didapat 

sin 2 + cos 2 = 1 ( 3.43 ) 

Bagi persamaan 3.43 dengan cos 2 , 

sin 

cos 

cos 

cos 

cos 

Didapat 

tan 2 + 1 = sec 2 ( 3.44 ) 

Jika persamaan 3.43 dibagi dengan sin 2 , 

sin 

sin 

cos 

sin 

sin 

Didapat 

1 + cot 2 = csc 2 ( 3.45 ) 

Persamaan 3.43 s/d 3.45 disebut identitas trigonometri 

Contoh 3.35 

Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika 

harga sin = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya ! 

Penyelesaian 

y 

5 

4 

 

0 x 1 = ? 

x 

Gambar 3.21 

Dari or ma y hagoras, x x 

Didapat, 

cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = 3/4 ; sec = 5/3 ; csc = 5/4 

58

Soal-soal 

1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran 

pertama, lengkapilah tabel berikut. 

Sudut sin cos tan cot sec csc 

1/2 

 

6/7 

 

2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran 

kedua, lengkapilah tabel berikut. 


3/5 

 

2/-3 

-4/5 

E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 30 0 , 45 0 dan 60 0 . 

Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30 o , 45 o 

dan 60 o pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang 

ditunjukkan pada Gambar 3.21. Misal terdapat sebuah segitiga sikusiku 

yang mempunyai sudut-sudut lancip 30 o dan 60 o serta panjang 

sisi miring 1 satuan (Gambar 3.21a). 

30 0 30 0 30 0 

1 b b 

60 0 

60 0 60 0 

a a a 

(a) 

Gambar 3.21 

(b) 

Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun dengan 

segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan maka akan 

terbentuk segitiga baru yang sama sisi (lihat Gambar 3.21b). 

59

Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = 1/2. Untuk menghitung panjang 

sisi b kita gunakan teorema Pythagoras yaitu, 

Jadi, 

a b b a b 


30 0 2 

60 0 2 

Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 45 0 terlebih 

dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai 

1 

45 0 

b 

45 0 

a 

Gambar 3.22 

sudut lancil masing - masing 45 0 . Untuk lebih jelasnya perhatikan 

Gambar 3.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku– 

siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 45 0 disebut 

segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang 

berhadapan dengan sudut 45 0 mempunyai panjang yang sama (a=b). 

Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan bahwa, 


45 0 1 1 

Untuk sudut-sudut 0 0 dan 90 0 dapat dilihat pada tabel berikut. 


0 0 0 1 0 1 

90 0 1 0 0 1 

F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut 

Untuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan 

Gambar 3.22 berikut. 

60

y 

P 

L sinA cosB 

L sin A 

L 

L cos A 

Q 

S 

L sinA sinB 

A 

B 

O R T 

x 

L cos A sin B 

Gambar 3.22 

sin( ) 

L sin cos 

L cos sin 

L 

sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA ( 3.46 ) 

cos( ) 

L 

L cos sin 

L sin cos 

L 

cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB ( 3.47 ) 

an( ) sin( ) 

cos( ) 

sin cos 

cos cos 

cos cos 

cos cos 

sin cos 

cos cos 

sin cos 

cos cos 

sin sin 

cos cos 

sin cos 

sin sin 

an( ) 

an an 

an an 

( . ) 

Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan 

sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat 

digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut 

tumpul seperti 90 0 + atau sudut tumpul lainnya. 

Contoh 3.36 

Tentukan harga sin 135 0 . 


sin 135 0 = sin(90 0 +45 0 ) = sin 90 0 cos45 0 + sin45 0 cos90 0 

( ) ( ) 

61

G. Grafik fungsi trigonometri 

y 

1 

-1 

-2 (-3/2) 

- 

-/2 

0 /2 

 

(3/2) 

2 

x 

Gambar 3.23 

Grafik fungsi sinus 

y 

1 

-1 

-2 

- 

0 

2 

x 

Gambar 3.24 

Grafik fungsi cosinus 

y 

-2 

 

- 

0 

 

2 

x 

Gambar 3.25 

Grafik fungsi tangen 

62

y 

Gambar 3.26 

Grafik fungsi cotangen 

 

- 

0 

-2 2 

 

x 

y 

Gambar 3.27 

Grafik fungsi secant 

1 

-1 

 

 

-2 - 2 

0 

x 

y 

Gambar 3.28 

Grafik fungsi cosecant 

1 

-1 

-2 

 

- 

 

0 

 

 

 

2 

x 

63

Soal-soal 

1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika : 

a. sin = 3/5 ; /2 < < b. cos = -4/5 ; < < 3/2 

c. tan = - 2 ;3/2 < < 2 d. cot = 4/ 6 ; < < 3/2 

e. sec = -6 ; /2 < < f . csc = 5/4 ; 0 < < /2 

2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut : 

a. sin + ½ b. cos - 1/2 c. sin ( - /2) d. cos ( + /2) 

H. Hukum sinus 

Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut. 

C 

b 

 

E 

a 

k 

h 

 

 

A D B 

c 

Gambar 3.29 

Perhatikan segitiga BDC sin = a 

h h = a sin ( * ) 

Perhatikan segitiga ADC sin = b 

h h = b sin ( ** ) 

Dari (*) dan (**) didapat : a sin = b sin 

sin α sinβ 

= 

a b 

( *** ) 

Perhatikan segitiga AEC sin = b 

k k = b sin ( # ) 

Perhatikan segitiga AEB sin = c 

k k = c sin ( ## ) 

Dari (#) dan (##) didapat : b sin = c sin 

Dari (***) dan (###) didapat : 

sin γ sinβ 

= 

c b 

( ### ) 

sinα 

a 

sinβ 

= = 

b 

sin γ 

c 

(3.49) 

Persamaan 3.49 disebut hukum Sinus. 

64

Soal-soal 

Soal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29. 

1. = 60 o ; = 50 o dan b = 10 4. = 35 o ; = 125 o dan c = 7 

2. = 70 o ; = 45 o dan c = 20 5. = 25 o ; = 40 o dan a = 5 

3. = 30 o ; = 115 o dan c = 8 

I. Hukum Cosinus 

Untuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut. 

C 

b 

 

E 

a 

k 

h 

 

 

A D B 

c 

Gambar 3.30 

Perhatikan segitiga ADC h = b sin 

Perhatikan segitiga BDC (CD) 2 = (BC) 2 – (BD) 2 = (BC) 2 – (AB - AD) 2 

h 2 = a 2 – (c - b cos ) 2 

b 2 sin 2 = a 2 – c 2 + 2bc cos - b 2 cos 2 

b 2 sin 2 + b 2 cos 2 = a 2 – c 2 + 2bc cos 

b 2 (sin 2 + cos 2 ) = a 2 – c 2 + 2bc cos 

b 2 = a 2 – c 2 + 2bc cos 

Sehingga, 

a b c bc cos a au cos 

b c a 

bc 

( . ) 

Perhatikan segitiga BDC h = a sin 

Perhatikan segitiga ADC (CD) 2 = (AC) 2 – (AD) 2 = (AC) 2 – (AB - BD) 2 

h 2 = b 2 – (c - a cos ) 2 

a 2 sin 2 = b 2 – c 2 + 2ac cos - a 2 cos 2 

a 2 sin 2 + a 2 cos 2 = b 2 – c 2 + 2ac cos 

a 2 (sin 2 + cos 2 ) = b 2 – c 2 + 2ac cos 

a 2 = b 2 – c 2 + 2ac cos 

Sehingga, 

b a c ac cos a au cos 

a c b 

ac 

( . ) 

65

Perhatikan segitiga AEC k = b sin 

Perhatikan segitiga AEB (AE) 2 = (AB) 2 – (BE) 2 = (AB) 2 – (BC - CE) 2 

k 2 = c 2 – (a - b cos ) 2 

b 2 sin 2 = c 2 – a 2 + 2ab cos - b 2 cos 2 

b 2 sin 2 + b 2 cos 2 = c 2 – a 2 + 2ab cos 

b 2 (sin 2 + cos 2 ) = c 2 – a 2 + 2ab cos 

b 2 = c 2 – a 2 + 2ab cos 

Sehingga, 

c a b ab cos a au cos 

a b c 

ab 

( . ) 

Persamaan 3.50 s/d 3.52 adalah hukum Cosinus. 

Soal-soal 

1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut , dan jika 

panjang sisinya adalah : 

i) a = 5 ; b = 7 ; c = 8 iv) a = 7 ; b = 5 ; c = 4 

ii) a = 4 ; b = 8 ; c = 9 v) a = 9 ; b = 4 ; c = 8 

iii) a = 6 ; b = 9 ; c = 7 vi) a = 8 ; b = 6 ; c = 7 

2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika diketahui : 

i) = 45 o ; b = 5 ; c = 4 iii) = 120 o ; a = 6 ; c = 9 

ii) = 60 o ; b = 9 ; c = 10 iv) = 90 o ; a = 8 ; c = 4 

3.2.7.4 Fungsi trigonometri invers 

Kita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika fungsi 

tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai nilai tunggal 

untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x 3 + 1 adalah fungsi satu ke satu 

kareba untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan f(x) yang tunggal 

pula. Sehingga dikatakan bahwa, f(x) = x 3 + 1 mempunyai invers. Akan tetapi 

f(x) = x 2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga x yang berbeda 

akan menghasilkan harga f(x) yang r=tunggal. Sehingga dikatakan bahwa f(x) 

= x 2 tidak mempunyai invers. 

Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk 

dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk harga x 

= 0, x = dan x = 2 akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0. Begitu juga 

dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Akan tetapi jika kita batasi domain 

fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi trigonometri menjadi 

fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu ke satu jika - < x < . 

Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. 

Definisi-definisi : 

i) Fungsi sinus invers (ditulis sin -1 atau arcsin) didefinisikan sebagai : 

y = sin -1 x x = sin y , untuk -1 x 1 dan -/2 y /2. 

ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos -1 atau arccos) didefinisikan sebagai : 

y = cos -1 x x = cos y , untuk -1 x 1 dan 0 y . 

66

iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan -1 atau arctan) didefinisikan sebagai : 

y = tan -1 x x = tan y , untuk setiap harga x dan -/2 y /2. 

iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot -1 atau arccot) didefinisikan 

sebagai :y = cot -1 x x = cot y , untuk setiap harga x dan 0 y . 

v) Fungsi secant invers (ditulis sec -1 atau arcsec) didefinisikan sebagai : 

y = sec -1 x x = sec y , untuk setiap harga x 1 dan 0 y , kecuali y = 

/2. 

vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec -1 atau arccosec) didefinisikan sebagai 

y = cosec -1 x x = cosec y , untuk setiap harga x 1 dan 0 y /2. 

y 

y 

 

-1 1 

0 

x 

 

 

 

Grafik sin -1 x 

-1 0 1 

Grafik cos -1 x 

x 

Gambar 3.31 

Sifat-sifat fungsi trigonometri invers 

i) arcsin(sinx) = x untuk -/2 x /2 

sin(arcsinx) = x untuk 1 x 1 

ii) arccos(cosx) = x untuk 0 x 

cos(arccosx) = x untuk -1 x 1 

iii) arctan(tanx) = x untuk -/2 x /2 

tan(arctanx) = x untuk semua harga x 

Contoh 3.37 

Tentukan harga y jika, 

a. y sin ( ) un u 

b. y sin ( ) un u 

 

 

y 

y 

Penyelesaian 

a. y sin ( ) siny . adi y 

b. y sin ( ) siny . adi y 

67

y 

/2 

/4 

-1 

0 

1 

x 

-/4 

-/2 

Soal-soal 

Tentukan harga dari: 

1. arcsin 1 7. arcsin (sin /3) 13. arcsin (cos /3) 

2. arcsin (-1) 8. arcsin (sin /6) 14. arccos (/4) 

3. arccos 0 9. arccos (cos ) 15. arctan (/2) 

4. arccos (-1) 10. arccos (cos 2/3 ) 16. arctan (cos 4) 

5. arctan 0 11. arctan (tan /3 ) 17. sin (arcsin 1/2) 

6. arctan 1 12. arctan (tan -5/6 ) 18. sin(arccos 1/2) 

3.2.7.5 Fungsi hiperbolik 

A. Definisi 

Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa dengan 

fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut dapat dilihat 

dari definisi yang diberikan berikut ini. 

sinh x ( . a) 

cosh x ( . b) 

anh x ( . c) 

co h x ( . d) 

s ch x 

cosh x 

( . ) 

68

cos ch x 

sinh x 

( . f) 

B. Identitas hiperbolik 

Dari persamaan 3.53a dan b didapat: 

sinh x 

cosh x 

hingga cosh x sinh x 

cosh x sinh x ( . ) 

Dengan membagi persamaan 3.54 dengan cosh 2 x didapat, 

1 – tanh 2 x = sech 2 x (3.55) 

Selanjutnya jika persamaan 3.54 dibagi dengan sinh 2 x didapat, 

coth 2 x –1 = cosech 2 x (3.56) 

Persamaan 3.54 s/d 3.56 adalah Identitas hiperbolik. Selain identitas 

tersebut diatas masih terdapat identitas hiperbolik lainnya seperti 

yang terdapat pada soal-soal. 

Soal-soal 

Buktikan identitas hiperbolik berikut : 

. sinhx coshx 

. coshx sinhx 

3. sinh (–x) = – sinh x 

4. cosh (–x) = cosh x 

5. sinh 2x = 2 sinh x cosh x 

6. cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x 

7. sinh (x+y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x 

8. sinh (x–y) = sinh x cosh y – sinh y cosh x 

9. cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 

10. cosh (x–y) = cosh x cosh y – sinh x sinh y 

11. (sinhx coshx) sinh nx cosh nx 

12. (sinhx coshx) sinh nx cosh nx 

anhx anhy 

. anh(x y) 

anhx anhy 

. anh(x y) 

anhx anhy 

anhx anhy 

69

. sinh x coshx 

. cosh x coshx 

anhx 

. anh x 

anh x 

. anh x sinhx 

coshx 

3.2.7.6 Fungsi hiperbolik invers 

Pada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan 

dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers 

dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural. 


Bukti, 

sinh x ln(x x ) ( . ) 

y sinh x x sinhy 

x . lanju nya ali an s mua ruas d ngan , didapa 

x a au x 

D ngan m ngguna an p rs. uadra , 

x x 

x x 

rar i m mpunyai dua nilai, yai u x x a au x x 

Perlu diperhatikan bahwa, 

nilai dan x s lalu posi if un u s mbarang nilai x 

nilai x 

s lalu l bih b sar dari x un u s mbarang nilai x 

Dari dua fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan 

bahwa x x . hingga y ln(x x ( rbu i) 

y 

sinh x 

sinh -1 x 

0 

x 

Gambar 3.32 

Gra i sinhx dan sinh x 

70

cosh ln(x x ), x y ( . ) 

Bukti, 

y cosh x x cosh y 

x 

lanju nya ali an s mua ruas d ngan didapa , 

x a au x 

D ngan m ngguna an p rs. uadra , 

x x 

x x 

rar i m mpunyai dua nilai yai u x x dan x x . 

Perlu diperhatikan bahwa, 

nilai s lalu posi if un u x 

x 

un u x 

nilai x s lalu l bih cil dari x un u x 

Dari tiga fakta tersebut diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa, 

x x a au x x 

Selanjutnya perhatikan bahwa, 

x x (x x ) x x 

x x 

x x 

x x x x 

( ) 

adi x x a au (x x ) 

y ln(x x ) a au y ln(x x ) 

Disini dapat kita lihat bahwa untuk setiap satu nilai x (peubah bebas) 

berpasangan dengan dua nilai y (peubah tak bebas). Hal ini melanggar 

definisi fungsi ; yaitu setiap satu nilai x tepat berpasangan dengan satu nilai 

y. Berdasarkan hal tersebut diatas maka y diambil harga positifnya saja, 

yaitu , y cosh x ln(x x ) , y dan x ( rbu i) 

y 

cosh x 

1 

cosh -1 x 

0 1 

Gambar 3.33 

Gra i coshx dan cosh x 

x 

71

Bukti 

anh x 

ln 

x 

x , x ( . ) 

y anh x x anh y 

x x ali an d ngan 

x x (x ) (x ) 

Kar na 

a au y 

x 

x 

x 

x 

s lalu posi if, ma a 

ln 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

, x ( rbu i) 

un u x 

, x 

co h x 

ln x 

x , x ( . ) 

Bukti 

y co h x x co h y 

x x ali an d ngan 

x x (x ) (x ) 

Kar na 

a au y 

x 

x x 

x 

x 

x 

x 

s lalu posi if, ma a 

x 

ln x 

x , x ( ) 

un u x 

, x 

s ch x ln 

x 

x 

, ( . ) 

Bukti 

y s ch x x s ch y 

x cosh y 

cosh y x 

y cosh 

x 

adi s ch x cosh ln( x ), 

x x x 

x 

s ch x ln 

, x 

x 

Kar na s ch hanya m mpunyai sa u nilai un u s iap sa u nilai x, ma a 

72

s ch x ln 

x 

x 

, ( rbu i) 

cos ch 

ln 

x 

x 

, x ( . ) 

Bukti 

y cos ch x x cos ch y 

x sinh y y sinh 

sinh y x x 

adi cos ch x ln( x ) ln 

x x 

x 

x 

, x ( rbu i) 

3.2.8. Fungsi genap dan ganjil 

Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi : 

f(x) = f(–x) ( 3.63 ) 

dan dikatakan ganjil jika memenuhi : 

f(–x) = –f(x) (3.64 ) 

Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 3.63 dan 3.64 maka persamaan 

tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil. 

Contoh 3.38 

Diketahui 

i) f(x) = x 3 ii) f(x) = x 2 + 3 iii) f(x) = x – 2 

Tentukan apakah fungsi tsb. termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya? 

Penyelesaian 

i) f(x) = x 3 

f(-x) =(–x) 3 = –x 3 =–f(x) 

Karena f(–x) = –f(x), maka x 3 adalah fungsi ganjil. 

ii) f(x) = x 2 + 3 

f(–x) = (–x) 2 + 3 = x 2 + 3 = f(x) 

Karena f(–x) = f(x), maka x 2 + 3 adalah fungsi genap. 

iii) f(x) = x – 2 

f(–x) = –x – 2 = – (x+2) 

Karena f(x) f(–x) –f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil. 

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga, 

a au 

f(x) g(x). h(x) ( ) 

f( x) g( x). h( x) ( ) 

Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil, maka berlaku 

g(–x)=–g(x) dan h(–x)=–h(x). 

Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x) (***) 

Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x) 

73

Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi 

ganjil menghasilkan fungsi genap 

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga, 

a au 

f(x) g(x). h(x) ( ) 

f( x) g( x). h( x) ( ) 

Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = 

h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat : 

f(–x) = g(x) . h(x) (***) 

Substitusi (*) ke (***) didapat : f(–x) = f(x) 

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga : 

atau 

Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi 

genap menghasilkan fungsi genap 

f(x) = g(x) . h(x) ( * ) 

f(–x) = g(–x) . h(–x) ( ** ) 

Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya 

maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = –h(x). Dengan melakukan substitusi ke 

(**) didapat :f(-x) = g(x) .{ –h(x)} = –{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan 

mensubstitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = - f(x). 

Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil 

atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil 

Soal-soal 

Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut dan tentukan fungsi-fungsi apakah 

genap, ganjil atau tidak keduanya! 

. f(x) x . f(x) x x . f(x) x x 

. f(x) x x . f(x) sinh x . f(x) cosh x 

x 

. f(x) 

. f(x) x 

. f(x) sin(cos x) 

x 

x 

. f(x) cos x 

3.2.9 Fungsi Periodik 

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk 

semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga : 

f( x + p ) = f ( x ) ( 3.64 ) 

dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang 

termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan 

74

fungsi-fungsi x, x 2 , x 3 , e x dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak 

memenuhi persamaan 3.64. Dengan mengacu pada persamaan 3.64 kita 

dapatkan bahwa : 

f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) 

f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x) 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . . ( 3.65 ) 

Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gambar 3.34 dibawah ini. 

y 

0 

x 

p 

Gambar 3.34 

Grafik fungsi priodik 

Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi yang 

didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah konstanta, maka 

berlaku : 

f(x+p) = ag(x+p) + bh(x+p) ( 3.66 ) 

Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x) juga 

mempunyai periode p. 

Contoh 3.39 

Tentukan periode dari f(x) = sin x 


sin (x+p) = sin x 

sin x cos p + cos x sin p = sin x didapat p = 2 

Soal-soal 

Tentukan periode positif terkecil dari fungsi periodik berikut, 

x 

a) sin x d) cos 

b) cos x ) sin x 

c) sin nx 

75

BAB IV 

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN 

4.1 Pendahuluan 

Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati 

perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal 

terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan 

ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 4.1 

berikut. 

x f(x) x f(x) 

1,9 

1,99 

1,999 

1,9999 

5,9 

5,99 

5,999 

5,9999 

2,1 

2,01 

2,001 

2,0001 

6,1 

6,01 

6,001 

6,0001 

0,0001 

6,0001 

y 

6 

0,0001 

5,9999 

0 

2 

0,0001 

1,9999 2,0001 

Gambar 4.1 

0,0001 

x 

Dari Tabel atau Gambar 4.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah 

kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang 

76

mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan 

fungsi x lainnya yaitu, 

untuk x ≠ –3 

Artinya f(x) = x 2 + 1 tak terdefinisi untuk x = –3. Untuk mengamati perilaku fungsi 

disekitar titik x = –3 berikut perhatikan Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x 2 + 1 untuk x – 

3 (Gambar 4.2). 

x f(x) x f(x) 

-3,1 

10,61 

-2,9 

9,41 

-3,01 

10,0601 

-2,99 

9,9401 

-3,001 

10,006001 

-2,999 

9,994001 

-3,0001 

10,00060001 

-2,9999 

9,99940001 

y 

10,0006000 

1 

° 

o 

9,99940001 

0,0001 

-3 

0,0001 

0 

x 

-3,0001 

-2,9999 

Gambar 4.2 

Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk 

harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat 

disimpulkan bahwa: 

1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c 

tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan 

77

2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat 

ditulis, 

c “ h c” “ 

c” 

3.2 Definisi limit 

Perhatikan Gambar 4.3 berikut! 

y 

L + 

 

 

f(x) 

f(x) - L 

L 

f(x) - L 

f(x) 

L - 

0 

c - x c x c + 

c-x x-c 

 

 

x 

Gambar 4.3 

Untuk x < c , maka : 0 < c – x < atau 0 > x – c > - 

Untuk x > c , maka : 0 < c – x < 

Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < atau f(x) – L > - 

Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < 

h (4.3) 

Dari Gambar 4.3 dan persamaan 4.1 s/d 4.3 maka didapat definisi sebagai berikut, 

c 

 

 

h c (4.4) 

 

78

4.3 Limit fungsi 

Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian 

limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L 

adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril 

positif. 


c 

Bukti : 

Untuk setiap > 0 maka terdapat > 0 sedemikian rupa sehingga, 

c c 

c 

Contoh 4.1 

c 

Bukti : 

Untuk setiap > 0 maka terdapat > 0 sedemikian rupa sehingga, 

c 

definisi terpenuhi 

Contoh 4.2 

Bukti 

Dari definisi, untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian rupa sehingga, 

c 

 

Dari ketidaksamaan segitiga didapat, 

 

 

h c 

79


h c 

Dari (*), (**) dan (***) didapat, 

 

 

 

Contoh 4.3 

Bukti, ikuti pembuktian teorema 3 

Contoh 4.4 

Bukti 


Untuk setiap 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa, sehingga 

c 

 

 

 


c 

80


c 

 

 

 

Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat 

 

Dengan memilih = min ( 1 , 2 , 3 ) akan didapat pernyataan, 

Contoh 4.5 

c 

 

Bukti 

Untuk 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa sehingga, 

c 

 

 

 

h 

Untuk 2>0 terdapat 2 sedemikian rupa sehingga, 

c 

81

Dengan mengambil = min ( 1, 2 ) akan didapat pernyataan, 

c h 

Contoh 4.6 

Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) 

Contoh 4.7 

Bukti 

[f(x)] n … h h 

Dari persamaan (3.9) didapat, 

Contoh 3.8 

9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) 

Misal terdapat f(x) h(x) g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang 

terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. 

82

Bukti : 

Untuk setiap > 0 terdapat 1>0 dan 2>0 sedemikian rupa sehingga, 

c 

c 

Untuk = min( 1, 2) dan 0< x c

Soal-soal 

4.4 Limit fungsi trigonometri 

Bukti : 

Perhatikan Gambar 3.4 berikut! 

y 

Q 

T 

r 

0 

P 

x 

Gambar 4.4 

Luas OPQ < Sektor OPQ < OPT (*) 

 

 

Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat, 

84

Gunakan teorema apit! 

c 

c 

2. lim cos x = 1 

( 4.16 ) 

x→ 0 

3. lim sin x = 0 

( 4.17 ) 

x→ 0 

4. lim tan x = 0 

x→0 

Bukti : lim tan x = lim 

0 x→0 

tan x 

5. lim = 1 

x→0 x 

Bukti : 

tan x 

= 

x 

lim 

x→0 

sin x 

cos 

= 

x→ x 

lim sin x 

x→0 

lim 1 

x→0 

= lim sin x . = 

x→ 0 lim cos x 

x→0 

sin x 

lim 

x→0 

x 

1 

. 

cos x 

= 

sin x 

lim 

x→0 x 

. lim 

x→0 

1 

cos x 

1 

(0) = 0 

1 

(terbukti) 

1 

. lim = 1 . 1 = 1 (terbukti) 

x→0 cos x 

( 4.18 ) 

( 4.19 ) 

x 

6. lim = 1 

x→0 tan x 

Bukti : 

x 

= 

tan x 

lim 

x→0 

1 

lim 

x→0 

sin x 

x 

.cosx = 1 . 1 = 1 (terbukti) 

( 4.20 ) 

cos x -1 

7. lim = 0 

( 4.21 ) 

x→ 0 x 

Bukti : 

2 1 2 1 

cos x - sin x -1 

cos x -1 

lim = lim 

2 2 

= 

x→0 x x→ 0 

x 

2 1 

1 1 

1 

-2sin 

x -2sin 

x . sin x 

sin x 

1 

lim 

2 

= lim 

2 2 

= lim -sin x 

2 

= 0(1)= 0 

x→0 

x 

x→0 

1 

x→0 

2 1 

2( x) 

x 

2 

2 

(terbukti) 

85

4.5 Limit fungsi trigonometri invers 

c 

Bukti 

c 

c 

c 

Bukti 

c 

c 

c 

c 

Bukti 

Bukti 

c 

c 

cc 

cc 

c 

cc 

c 

Bukti 

Bukti 

c 

c 

cc 

cc 

c 

cc 

c 

Soal-soal 

Hitung limit berikut, jika ada! 

86

c c c c 

4.6 Limit tak hingga 

Jika kita lakukan pengamatan terhadap 

mungkin akan 

didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat 


y 

0 

2 

x 

Gambar 4.5 

x f(x) x f(x) 

10 

1,9 

100 

1,99 

1.000 1,999 

10.000 1,9999 

100.000 1,99999 

1.000.000 1,999999 

2,1 

2,01 

2,001 

2,0001 

2,00001 

2,000001 

-10 

-100 

-1000 

-10000 

-100000 

-1000000 

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan 

maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ). Sedangkan pada saat x mendekati 2 

dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju –). Selanjutnya dikatakan 

bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah atau 

h h – 

 

Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut! 

h 

87

Bukti: 

 

 

Jika semua suku dibagi dengan x m maka, 

 

Jika m < n, maka 

 

 

Jika m = n, maka 

 

 

Jika m > n, maka 

 

Contoh 4.11 

Penyelesaian 

4.7 Asimtot 

Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut 

ada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, 

maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 

88

4.7.1 Asimtot tegak 

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis 

tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat 

dilihat pada Gambar 4.6 berikut. Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan 

sebagai berikut. 

y 

0 

x 

x = – a 

Gambar 4.6 

x = a 

h 

4.7.2 Asimtot datar 

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis 

tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat 


y 

y = a 

0 

x 

Gambar 4.7 

 

kurva f(x). 

h 

89

4.7.3 Asimtot miring 

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis 

tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat 

silihat pada Gambar 4.8 berikut. 

y 

y=ax+b 

0 

x 

Gambar 4.8 

miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring. 

h 

Contoh 4.12 

Penyelesaian 

h 

 

h 

asimtot miring 

y 

0 

x 

x = –4 

Gambar 4.9 

90

Contoh 4.13 

Penyelesaian 

h 

 

h 

 

asimtot miring 

Contoh 4.14 

Penyelesaian 

h 

 

Jadi asimtot miring adalah y = x +2 

 

Soal-soal 

Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada! 

4.8 Kekontinuan 

Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. 

91

Contoh 4.15 

Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 

Penyelesaian 

h 

Soal-soal 

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 

, a = 3 

c 

, a = –2 

4.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus 

Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu 

fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak 

terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak 

terpenuhi, tetapi 

ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a 

dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = 

maka f(x) menjadi 

kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan 

tidak ada 

maka ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan. 

Contoh 4.16 

h 

Tentukan ketak-kontinu-an fungsi tersebut! 

Penyelesaian 

f(-2) tak terdefinisi 

92

Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat 

dihapuskan karena 

Selanjutnya lakukan definisi ulang seperti, 

sehingga f(x) dapat 

ditulis menjadi, 

Contoh 4.17 

h 

Penyelesaian 

dapat dihapuskan 

Soal-soal 

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak 

kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak. 

93

BAB V 

DIFFERENSIASI 

5.1 Garis singgung 

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. 

Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.1. Akan tetapi jika 

terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang 

menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih 

jelasnya dapat dilihat pada Gambar 5.2 

A 

l 

Gambar 5.1 

A 

B 

l 

Gambar 5.2 

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu 

mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x 1,f(x 1)) yang terletak pada 

94

grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika 

kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l 1 yang mempunyai kemiringan 

m 

= 

f(x ) − f(x) 

x − x 

(5.1) 

y 

l 1 

A 

l 

B 

Kemiringan garis l 1 = m 1 

Kemiringan garis l = m 

0 

x x 1 

h 

x 

Gambar 5.3 

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A 

dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x 1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat 

ditulis dalam bentuk, 

f(x ) − f(x) 

lim m = lim 

(5.2) 

® ® x − x 

Persaman (5.2) adalah kemiringan garis l 1 jika x mendekati x 1. Jika kita perhatikan 

Gambar 5.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l 1 jika x mendekati x 1 

adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi 

f(x ) − f(x) 

lim m = lim 

® ® x − x 

f(x ) − f(x) 

Sehingga m = lim 

® x − x 

= m 

(5.3) 

95

f(x + h) − f(x) 

Karena x − x = h, maka m = lim 

® h 

Jika dimisalkan h = Dx, maka m = lim 

D ® 

f(x + Dx) − f(x) 

Dx 

Persamaan 5.3 s/d 5.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) 

(5.4) 

(5.5) 

Contoh 5.1 

Diketahui f(x) = 3x 2 + 5 

Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a 2 ) 

Penyelesaian 

m = lim 

D ® 

= lim 

D ® 

= lim 

D ® 

f(x + Dx) − f(x) 

Dx 

3(x + Dx) + 5 − 3x − 5 

Dx 

6x + 3Dx = 6x 

= lim 

D ® 

Jadi m = 6x (*) 

Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) 

Karena garis singgung melalui titik (a,a 2 ) maka : 

persamaan (*) menjadi :m = 6a 

persamaan (**) menjadi : a 2 = 6a 2 + n. Sehingga n = -5a 2 

Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a 2 

3x + 6x Dx + 3(Dx) + 5 − 3x − 5 

Dx 

5.2 Turunan 

Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan 

pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut. 

Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) 

menjadi turunan f(x) atau f’(x). 

f(x) 

Differensiasi 

f’(x) 

Gambar 5.4 

Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva 

f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan 

dapat ditulis dalam bentuk, 

f(x ) − f(x) 

f'(x) = lim 

, jika nilai limitnya ada (5.6) 

® x − x 

Jika persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan 

(differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. 

Contoh 4.2 

Jika f(x) = 2x 2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) 

Penyelesaian 

96

f(x) = 2x 2 + 5x – 7 

f(x+x) = 2(x+x) 2 + 5(x+x) – 7 = 2x 2 + 4xx +2(x) 2 + 5x + 5x – 7 

f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x) 2 + 5x 

f'(x) = lim 

D ® 

Jadi f'(x) = 4x + 5 

f'(c) = 4c + 5 

f(x + Dx) − f(x) 

Dx 

f'(3) = 4(3) + 5 = 17 

= lim 

D ® 

= lim 

D ® 

4x Dx + 2(Dx) + 5Dx 

Dx 

4x + 2Dx + 5 = 4x + 5 

5.3 Notasi turunan 

Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu 

lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh 

matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih 

terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat 

menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubahpeubah 

bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan 

yang disebut diatas adalah sebagai berikut, 

Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x). 

5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas 

Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. 

Bukti : 

Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable 

jika memenuhi persamaan 4.6 yaitu, 

f(x + Dx) − f(x) 

f(x + Dx) − f(x) 

Jika lim 

ada, maka f'(x) = lim 

D ® Dx 

D ® Dx 

f(x + Dx) − f(x) 

f(x + Dx) − f(x) = (Dx) 

Dx 

f(x + Dx) − f(x) 

lim (f(x + Dx) − f(x)) = lim 

. lim Dx = f'(x).0 = 0 

D ® D ® Dx D ® 

Sehingga 

lim 

D ® 

f(Dx + x) = lim 

D ® 

f(x)® lim 

D ® 

f(x) = f(x) (terbukti) 

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f 

differensiable pada x. 

5.5 Teorema 

5.5.1 Turunan bilangan konstan 

Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai, 

y = f(x) = c, maka dy = f'(x) = 0 (5.7) 

dx 

Bukti 

97

f(x) = c ; f(x+x) = c 

dy 

f(x + Dx) − f(x) 

= f'(x) = lim 

dx D ® Dx 

= lim 

D ® 

c − x 

Dx 

= 0 (terbukti) 

5.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y 

didefinisikan sebagai, 

y = f(x) = kx 

Bukti 

f(x) = kx 

; f(x + Dx) = k(x + Dx) 

Dengan mengunakan teorema binomial didapat, 

k(x + Dx) = 

= kx 0! 

+ 

dy 

= f'(x) = lim 

dx D ® 

, maka dy = f'(x) = knx (5.8) 

dx 

knx Dx kn(n − 1)x (Dx) 

+ 

1! 

2! 

f(x + Dx) − f(x) 

Dx 

Contoh 5.3 

Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x 7 

Penyelesaian, 

dy 

= f'(x) = (5)(7)x 

dx = 35x 

k(n − 1)! Dx 

+ ⋯ + 

(n − 1)! 

= knx (terbukti) 

kn! Dx 

+ 

n! 

5.5.3 Aturan penjumlahan 

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan 

sebagai, 

y = h(x) = f(x) + g(x), maka dy = f'(x) + g'(x) (5.9) 

dx 

Bukti : 

h(x) = f(x) + g(x) 

h(x+x) = f(x+x) + g(x+x) 

h(x + Dx) − h(x) 

h'(x) = lim 

D ® Dx 

f(x + Dx) − f(x) 

= lim 

+ lim 

D ® Dx 

D ® 

= lim 

D ® 

g(x + Dx) 

Dx 

f(x + Dx) + g(x + Dx) − f(x) − g(x) 

Dx 

= f'(x) + g'(x) (terbukti) 

Contoh 5.4 

Diketahui y = 5x 

Tentukan dy 

dx 

+ 2x 

98

Penyelesaian: f(x) = 5x g(x) = 2x 

f'(x) = 30x 

g'(x) = −6x 

dy 

= f'(x) + g'(x) = 30x 

dx − 6x 

5.5.4 Aturan perkalian 


sebagai, 

y = h(x) = f(x). g(x), maka dy = f'(x). g(x) + f(x). g'(x) (5.10) 

dx 

Bukti 

h'(x) = lim 

D ® 

= lim 

D ® 

= lim 

D ® 

f(x + Dx). g(x + Dx) − f(x). g(x) 

Dx 

f(x + Dx). g(x + Dx) − f(x + Dx). g(x) + f(x + Dx). g(x) − f(x). g(x) 

Dx 

g(x + Dx) − g(x) 

f(x + Dx) − f(x) 

f(x + Dx) + lim g(x) 

Dx 

D ® 

Dx 

= f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti) 

Contoh 5.5 

Diketahui y = (3x + 2x )(7x + 3). Tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

f(x) = 3x + 2x g(x) = 7x + 3 

f'(x) = 15x − 4x g'(x) = 7 

dy 

= f'(x). g(x) + g'(x). f(x) = (15x 

dx 

− 4x )(7x + 3) + (3x + 2x )(7) 

= 105x − 28x + 45x − 12x + 21x + 14x 

= 126x + 45x − 14x − 12x 

5.5.5 Aturan pembagian 


sebagai, 

y = h(x) = f(x) dy f'(x). g(x) − f(x). g'(x) 

, maka = 

g(x) dx {g(x)} 

(5.11) 

Bukti 

h(x) = f(x) 

g(x) ; 

h'(x) = lim 

D ® 

f(x + Dx) 

h(x + Dx) = 

g(x + Dx) 

h(x + Dx) − h(x) 

Dx 

= lim 

D ® 

f(x + Dx) 

g(x + Dx) − f(x) 

g(x) 

Dx 

99

= lim 

D ® 

= lim 

D ® 

g(x). f(x + Dx) − g(x + Dx). f(x) 

Dx. g(x + Dx). g(x) 

g(x). f(x + Dx) − f(x). g(x) − g(x + Dx). f(x) + f(x). g(x) 


= lim g(x) f(x + Dx) − f(x) 

D ® Dx. g(x + Dx). g(x) − lim D ® 

g(x + Dx) − g(x) 

f(x) 


f(x + Dx) − f(x) 

= lim g(x) Dx 

D ® g(x + Dx). g(x) 

g(x + Dx) − g(x) 

− lim f(x) Dx 

D ® g(x + Dx). g(x) 

= 

g(x). f'(x) − g'(x). f(x) 

[g(x)] 

(terbukti) 

Contoh 5.6 

Tentukan turunan h'(x) jika h(x) = 2x − 3x 

4x 


f(x) = 2x 4 – 3x 2 f’(x) = 8x 3 – 6x 

g(x) = 4x 3 g’(x) = 12x 2 

h'(x) = 

= 

f'(x). g(x) − f(x). g'(x) 

[g(x)] 

= 

32x − 24x − 24x − 35x 

16x 

(8x − 6x)(4x ) − (2x − 3x )(12x ) 

(4x ) 

= 

12x − 60x 

15x 

= 

3x − 15 

4x 

5.5.6 Turunan fungsi komposisi 

y = f(u) dan u = g(x), maka dy 

dx = dy 

du . du 

dx 

(5.12) 

Bukti : 

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk 

komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). 

u = g(x) 

u= g(x+x) – g(x) g(x+x) = g(x) + u = u + u 

Jika u 0 maka x 0 

y = f(g(x)) 

y = f(g(x+x)) – f(g(x)) 

Dy f(g(x + Dx)) − f(g(x)) f(g(x + Dx)) − f(g(x)) Du 

= = 

Dx Dx 

Dx Du 

Dy f(u + Du) − f(u) Du 

= 

Dx Du Dx ® lim Dy 

D ® Dx = lim 

D ® 

f(u + Du) − f(u) 

Du 

Du 

Dx = dy 

dx 

100

dy 

dx = lim 

D ® 

f(u + Du) − f(u) 

. lim 

Du D ® 

Persamaan 5.12 disebut aturan rantai 

Du 

Dx = dy du 

dx dx (terbukti) 

Contoh 5.7 

dy 

Tentukan jika y = (4x 3 + 5x 2 – x + 4) 3 

dx 


Misal u = 4x 3 + 5x 2 – x + 4 y = u 3 

du 

dx = 12x + 10x − 1 dy 

du = 3u 

dy 

dx = dy du 

= 3u (12x + 10x − 1) 

du dx 

= 3(12x + 10x − 1)(4x + 5x − x + 4) 

Soal-soal 

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 

1. f(t) = at − bt + 7 6. f(x) = 5 4x 

− √3x 

4x 5 + 1 x 

3 

2. f(x) = 3x + 5x 

3. g(x) = 2 x + x 2 

4. h(x) = 4x 

5 + 1 x 

7. g(t) = (at + bt + c) (3at − 7) 

8. h(w) = b − aw 

w + c 

(at − bt) 

9. v(t) = 

(ct − d) 

5. w(x) = 7 (2t + 3) 

− √2x + 3 10. g(t) = t 

4x t − 3 

5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri 

y = f(x) = sin x , maka dy = f'(x) = cos x (5.13) 

dx 

Bukti 

dy 

= f'(x) = lim 

dx D ® 

= lim 

D ® 

= lim 

D ® 

f(x + Dx) − f(x) 

Dx 

= lim 

D ® 

sin x cos Dx + cos x sinDx − sin x 

Dx 

sin x (cos Dx − 1) + cos x sinDx 

Dx 

sin(x + Dx) − sin x 

Dx 

= lim 

D ® 

(cos Dx − 1) sin Dx 

sin x + cos x 

Dx 

Dx 

101

= sin x lim 

D ® 

cos Dx − 1 

+ cos x lim 

Dx 

D ® 

sin Dx 

Dx 

= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cos x (terbukti) 

Jika y = sin u dan u = f(x) , maka dy du 

= cos u 

dx dx 

(5.14) 

Bukti 

y = sin u 

u = f(x) 

dy 

dx = dy 

du 

du dx 

dy 

du = cos u 

du 

dx = f'(x) 

= cos u 

du 

dx (terbukti) 

Jika y = f(x) = cos x , maka dy = f'(x) = −sin x (5.15) 

dx 

Bukti 

dy 

f(x + Dx) − f(x) cos(x + Dx) − cos x 

= f'(x) = lim 

= lim 

dx D ® Dx 

D ® Dx 

cos x cos Dx − sin x sinDx − cos x 

= lim 

D ® 

Dx 

cos x (cos Dx − 1) − sinx sinDx 

= lim 

D ® 

Dx 

(cos Dx − 1) sin Dx 

= lim cos x − sin x 

D ® Dx 

Dx 

cos Dx − 1 

sin Dx 

= cos x lim 

− sin x lim 

D ® Dx 

D ® Dx 

= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti) 

Jika y = cos u dan u = f(x) , maka dy 

du 

= −sin u 

dx dx 

Bukti 

y = cos u 

u = f(x) 

dy 

dx = dy 

du 

du dx 

dy 

du = −sin u 

du 

dx = f'(x) 

= −sin u 

du 

dx (terbukti) 

(5.16) 

102

Contoh 5.8 

Jika y = sin(p − 2x), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misa u = –2x y = sin u 

du 

dx = −2 

dy 

dx = dy du 

du dx 

dy 

du = cos u 

= (cos u)(−2) = −2cos(p − 2x) 

Contoh 5.9 

Jika y = cos x dy 

, tentukan 

2 dx 

Penyelesaian 

Misal u = x y = cos u 

2 

du 

dx = dy du 

du dx = (−sin u)(1 2 ) = − 1 2 sin x 2 

Contoh 5.10 

Jika y = sin2x cos 3x, tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misa u = sin2x v=cos3x 

du 

dx = 2cos2x dv 

dx = −3sin3x 

dy 

dx = du 

dx . v + u dv = (2cos2x)(cos3x) + (sin2x)(−3sin3x) 

dx 

= 2cos2x cos3x − 3sin2x sin3x) 

Contoh 5.11 

Jika y = sin3x 

cos4x 

Penyelesaian 

Misal u = sin 3x 

du 

dx = 3cos3x 

, tentukan 

dy 

dx 

du dv 

dy 

dx = . v − u. 

dx dx 

v 

= 

v = cos 4x 

dv 

dx = −4sin4x 

(3cos3x)(cos4x) − (sin3x)(−4sin4x) 

= 

(cos4x) 

3cos3x cos4x + 4sin3x sin4x) 

cos 4x 

Jika y = f(x) = tan x , maka dy = f'(x) = sec x (5.17) 

dx 

103

Bukti 

y = tan x = sinx 

cosx 

u = sin x 

du 

dx = cos x 

du dv 

dy 

dx = . v − u. 

dx dx 

v 

= 

cos x + sin x 

cos x 

= 

v = cos x 

dv 

dx = −sin x 

(cosx)(cosx) − (sinx)(−sinx) 

cos x 

= 1 = sec x (terbukti) 

cos x 

Jika y = tan u , maka dy 

du 

= (sec u) 

dx dx 

(5.18) 

Bukti 

y = tan u 

u = f(x) 

dy 

dx = dy 

du 

du dx 

dy 

du = sec u 

du 

dx = f'(x) 

= (sec u) 

du 

dx (terbukti) 

Contoh 5.12 

Jika y = 5 tan3x, tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = 3x y = 5 tan u 

du 

dx = 3 

dy 

dx = dy du 

du dx 

dy 

du = 5 sec u 

= (5 sec u)(3) = 15 sec 3x 

Jika y = f(x) = cot x , maka dy = f'(x) = −csc x (5.19) 

dx 

Bukti 

y = cot x = cosx 

sinx 

u = cos x 

du 

dx = −sin x 

v = sin x 

dv 

dx = cos x 

du dv 

dy 

dx = . v − u. 

dx dx (−sinx)(sinx) − (cosx)(cosx) 

= 

v 

sin x 

104

= 

−sin x − cos x 

sin x 

= 

−(sin x + cos x) 

sin x 

= −1 

sin x = −csc x 

(terbukti) 

Jika y = cot u , maka dy 

du 

= (−csc u) 

dx dx 

(5.20) 

Bukti 

y = cot u 

u = f(x) 

dy 

dx = dy 

du 

du dx 

= (−csc u) 

du 

dx 

dy 

du = −csc u 

du 

dx = f'(x) 

(terbukti) 

Contoh 5.13 

Jika y = 1 2 cot 1 dy 

x, tentukan 

3 dx 

Penyelesaian 

Misal u = 1 3 x 

y = 1 2 cot u 

du 

dx = 1 dy 

3 

du = − 1 2 csc u 

dy 

dx = dy du 

du dx = (− 1 2 csc u) 1 3 = − 1 6 csc 1 3 x 

Jika y = f(x) = sec x , maka dy = f'(x) = secx tanx (5.21) 

dx 

Bukti 

y = secx = 1 

cosx 

Misal u = 1 

du 

dx = 0 

v = cosx 

dv 

dx = −sinx 

du dv 

dy 

dx = . v − u. 

dx dx (0)(cosx) − (1)(−sinx) 

= = sinx = secx tanx (terbukti) 

v 

cos x 

cos x 

Jika y = sec u , maka dy 

du 

= (sec u tan u) 

dx dx 

Bukti 

(5.22) 

105

y = sec u 

u = f(x) 

dy 

dx = dy 

du 

du dx 

dy 

= secu tanu 

du 

du 

dx = f'(x) 

= (secu tanu) 

du 

dx 

(terbukti) 

Jika y = f(x) = csc x , maka dy = f'(x) = −cscx cotx (5.23) 

dx 

Bukti 

y = cscx = 1 

sinx 

Misal u = 1 

du 

dx = 0 

v = sinx 

dv 

dx = cosx 

du dv 

dy 

dx = . v − u. 

dx dx (0)(sinx) − (1)(cosx) 

= = −cosx = −cscx cotx (terbukti) 

v 

sin x 

sin x 

Jika y = csc u , maka dy 

du 

= −cscu cotu) 

dx dx 

Bukti 

y = csc u 

u = f(x) 

dy 

dx = dy 

du 

du dx 

dy 

= −csc u cot u 

du 

du 

dx = f'(x) 

= (−cscu cotu) 

du 

dx 

(terbukti) 

(5.24) 

Contoh 5.15 

Jika y = 1 dy 

csc(p − x), tentukan 

3 dx 

Penyelesaian 

Misal u = p − x 

du 

dx = −1 

dy 

dx = dy du 

du 

y = 1 3 cscu 

dy 

du = − 1 cscu cotu 

3 

dx = (− 1 3 cscu cotu)(−1) = 1 3 cscu cotu = 1 csc(p − x) cot(p − x) 

3 

106

Soal-soal 

Tentukan turunan pertma dari fungsi-fungsi berikut! 

1. f(x) = sin x 2 − p 3 

6. f(x) = csc 

p 

3 − x 

2. f(x) = cos p 2 − x 3 

7. g(t) = 1 sin2t cospt 

2 

3. g(x) = tan x 

sin(aw − p) 

8. h(w) = 

cos(p − bw) 

4. h(x) = cot x 9. v(t) = 

5. w(x) = sec 

x 

2 − p 3 

at − sin2t 

cos(b − t) 

10. g(t) = sint cos2t 

sin3t 

5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers 

Jika y = f(x) = arcsinx, maka dy 

dx = f'(x) = 1 

√1 − x 

Bukti 

y = arcsin x ® sin y = x 

cos y dy 

dx = dx 

dx = 1 ® dy 

dx = 1 

cos y 

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! 

(5.25) 

sin y = x 

cos y = 1 − x 

dy 

dx = 1 

(terbukti) 

√1 − x 

1 x 

y 

1 − x 

Jika y = arcsin u dan u = f(x), maka dy 

dx = 1 

√1 − u 

Bukti 

y = arcsin u ® dy 

du = 1 

√1 − u 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 du 

√1 − u dx (terbukti) 

du 

dx 

(5.26) 

Contoh 5.16 

Jika y = 3 8 arcsin − 1 dy 

x , tentukan 

3 dx 

107

Penyelesaian 

Misal u = − 1 3 x 

y = 3 8 arcsin u 

du 

dx = − 1 dy 

3 

du = 3 1 

8 √1 − u 

dy 

dx = dy du 

du dx = 3 1 

8 √1 − u − 1 3 = − 1 

8 1 − 1 9 x 

Jika y = f(x) = arccos x, maka dy 

dx = f'(x) = − 1 

√1 − x 

(5.27) 

Bukti 

y = arccos x ® cos y = x 

−sin y dy 

dx = dx 

dx = 1 ® dy 

dx = − 1 

sin y 


cos y = x 

sin y = 1 − x 

dy 

dx = − 1 

√1 − x 

(terbukti) 

1 

1 − x 

y 

x 

Jika y = arccos u dan u = f(x), maka dy 

dx = − 1 

Bukti 

y = arccos u ® dy 

du = − 1 

√1 − u 

dy 

dx = dy du 

du dx = − 1 du 

√1 − u dx (terbukti) 

√1 − u 

du 

dx 

(5.28) 

Contoh 5.17 

Jika y = −3 arccos 2x, tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = 2x 

du 

dx = 2 

dy 

dx = dy 

du 

du 

y = −3 arccos u 

dy 

du = 3 1 

√1 − u 

dx = 3 1 

√1 − u (2) = 6 

1 − (2x) = 6 

√1 − 4x 

108

Jika y = f(x) = arctan x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 

1 + x 

Bukti 

y = arctan x ® tan y = x 

sec y dy 

dx = dx 

dx = 1 ® dy 

dx = 1 

sec y 


tan y = x 

sec y = 1 + x 

dy 

dx = 1 (terbukti) 

1 + x 

1 + x x 

(5.29) 

y 

1 

Jika y = arctan u dan u = f(x) , maka dy 

dx = 1 

1 + x 

du 

dx 

(5.30) 

Bukti 

y = arctan u ® dy 

du = 1 

1 + u 

dy 

dx = dy 

du 

du 

dx = 1 

1 + u 

du 

dx (terbukti) 

Contoh 5.18 

Jika y = 3 5 arctan 1 dy 

x, tentukan 

3 dx 

Penyelesaian 


du 

dx = 1 3 

dy 

dx = dy du 

du dx = 3 1 

5 1 + u 

y = 3 5 arctan u 

dy 

du = 3 1 

5 1 + u 

1 

3 = 1 

1 

5 1 + 1 = 

3 x 5 1 + 1 9 x 

Jika y = f(x) = arccot x , maka dy 

dx = f'(x) = − 1 

1 + x 

Bukti 

y = arccot x ® cot y = x 

−csc y dy 

dx = dx 

dx = 1 ® dy 

dx = − 1 

csc y 

(5.31) 

109


cot y = x 

csc y = 1 + x 

dy 

dx = − 1 (terbukti) 

1 + x 

1 + x 

1 

y 

x 

Jika y = arctan u dan u = f(x) , maka dy 

dx = 1 du 

1 + x dx 

Bukti 

y = arccot u ® dy 

du = − 1 

1 + u 

dy 

dx = dy du 


1 + u dx (terbukti) 

Contoh 5.19 

Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = 3x 

y = 2arccot u 

du 

dx = 3 

dy 

du = −2 1 

1 + u 

dy 

dx = dy du 

du dx = −2 1 

1 + u (3) = −6 1 

(1 + (3x) ) = − 6 

(1 + 9x ) 

Jika y = f(x) = arcsec x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 

x√x − 1 

Bukti 

y = arcsec x ® sec y = x 

sec y tan y dy 

dx = dx 

dx = 1 ® dy 

dx = 1 

sec y tan y 


sec y = x 

sec y tan y = x x − 1 

dy 

dx = 1 

x√x − 1 (terbukti) x x − 1 

(5.32) 

(5.33) 

y 

1 

110

Jika y = arcsec u dan u = f(x) , maka dy 

dx = 1 du 

u√u − 1 dx 

Bukti 

y = arcsec u ® dy 

du = 1 

u√u − 1 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 du 

u√u − 1 dx (terbukti) 

(5.34) 

Contoh 5.20 

Jika y = arcsec p 2 − x 

Penyelesaian 

Misal u = p 2 − x 

du 

dx = −1 

dy 

dx = dy 

du 

du 

dy 

, tentukan 

dx 

y = arcsec u 

dy 

du = 1 

u√u − 1 

dx = 1 

u√u − 1 (−1) = − 1 

p 

2 − x p 

2 − x − 1 

Jika y = f(x) = arccsc x , maka dy 

dx = f'(x) = − 1 

x√x − 1 

(5.35) 

Bukti 

y = arccsc x ® csc y = x 

−csc y cot y dy 

dx = dx 

dx = 1 ® dy 

dx = − 1 

csc y cot y 


csc y = x 

csc y cot y = x x − 1 

dy 

dx = − 1 

x√x − 1 (terbukti) 

x 

1 

y 

x − 1 

Jika y = arccsc u dan u = f(x) , maka dy 

dx = − 1 du 

u√u − 1 dx 

Bukti 

y = arccsc u ® dy 

du = − 1 

u√u − 1 

(5.36) 

111

dy 

dx = dy du 


u√u − 1 dx (terbukti) 

Contoh 5.21 

Jika y = arccsc x − p 2 

Penyelesaian 

Misal u = x − p 2 

du 

dx = 1 

dy 

dx = dy du 

du 

, tentukan 

dy 

dx 

y = 2arccot u 

dy 

du = − 1 

u√u − 1 

dx = − 1 

u√u − 1 (1) = − 1 

u√u − 1 = − 1 

x − p 2 

x − p 2 − 1 

Soal-soal 

Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut! 

1. y = arcsin(p − x) 3. y = cos2x 

arccos x 

2. y = −3arccos 4x 4. y = arctan x − sin3x 

5.8 Turunan fungsi eksponen 

Jika y = f(x) = e , maka dy = f'(x) = e (5.37) 

dx 

Bukti 

e dide inisikan sebagai lim ® 

1 + x n 

Dengan menggunakan teorema binomial didapat, 

1 + x n 

= 1 0! 

x 

n + (n). 1 

1! 

x 

n 

+ 

n(n − 1). 1 

2! 

x 

n + 

n(n − 1)(n − 2). 1 

3! 

x 

n 

+ ⋯ 

= 1 + x + 1 − 1 n 

2! 

. x + (1 − 1 n )(1 − 2 n ) 

. x + ⋯ 

3! 

lim ® 

1 + x n 

= lim ® 

1 + x + 1 − 1 n 

2! 

. x + (1 − 1 n )(1 − 2 n ) 

. x + ⋯ 

3! 

e = 1 + x + x 2! + x 3! + ⋯ (5.38) 

112

e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + ⋯ (5.39) 

Jika y = f(x) = e x 

Maka dy = f'(x) = lim 

dx D ® 

f(x + Dx) − f(x) 

Dx 

= lim 

D ® 

e D − e 

Dx 

= lim 

D ® 

e (e D − 1) 

Dx 

Karena e = 1 + x + x 2! + x 3! + ⋯ , maka eD − 1 = Dx + Dx 2! 

+ Dx 3! 

+ ⋯ 

Sehingga lim 

D ® 

e (e D − 1) 

Dx 

= lim 

D ® e 

1 + Dx 

2! + Dx 3! 

+ ⋯ = e (terbukti) 

Jika y = e 

dan u = f(x), maka dy 

dx = e 

du 

dx 

(5.40) 

Bukti 

y = e 

u = f(x) 

dy 

dx = dy 

du 

du 

dy 

du = e 

du 

dx = f'(x) 

dx = e du 

dx (terbukti) 

Contoh 5.22 

Jika y = −2e 

Penyelesaian 

Misal 

, tentukan dy 

dx 

u = a – bx 

du 

dx = −b 

dy 

= 

dx 

e (−b) = −be 

5.9 Turunan fungsi logaritma 

Jika y = f(x) = ln x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 x 

(5.41) 

lim 

D ® 

1 Dx 

ln 1 + 

Dx x 

= 1 x lim D ® 

= 1 ln lim 

x D ® 

x Dx 

ln 1 + 

Dx x 

1 + Dx 

x 

D 

= 1 x lim D ® 

Dx D 

ln 1 + 

x 

Jika Dx 

x = u, maka x Dx = 1 u , sehingga 

113

1 

x ln 

lim D ® 

1 + Dx 

x 

D 

= 1 x ln lim ® [1 + u] = 1 x ln e = 1 x (terbukti) 

Jika y = ln u dan u = f(x) , maka dy 

dx = 1 du 

u dx 

(5.42) 

Bukti 

y = ln u 

u = f(x) 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 du 

u dx 

dy 

du = 1 u 

du 

dx = f'(x) 

(terbukti) 

Contoh 5.23 

Jika y = e ln 1 dy 

x, tentukan 

3 dx 

Penyelesaian 

Misal u = e 

du 

dx = 2e 

dy 

dx = du 

dx 

v = ln 1 3 x 

dv 

dx = 1 x 

. v + u. 

dv 

dx = 2e . ln 1 3 x + e . 1 x = e ln 1 3 x + 1 x 

Jika y = f(x) = log 

x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 

(ln a)x 

(5.43) 

Bukti 

y = log x ® a = x 

y ln a = lx ® y = 1 

ln a ln x 

dy 

dx = 1 

(ln a)x (terbukti) 

Jika y = log 

Bukti 

y = log 

dy 

dx = dy 

u ® dy 

du = 1 

(ln a)u 

dx = 1 du 

(ln a)u dx (terbukti) 

du 

du 

u dan u = f(x) , maka dy 

dx = 1 du 

(ln a)u dx 

(5.44) 

114

Contoh 5.24 

Jika y = log (3 − 5x), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Diketahui a = 7. Misal u = 3 − 5x ® 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 du 

(ln a)u 

dx = 1 

(ln 7)u (−5) = 

= −5 

−5 

(ln 7)(3 − 5x) 

Soal-soal 


1. y = xe 6. y = 2ln3x 

5 − 6x 

2. y = 3x 

7. y = e 

2e 

ln4x 

3 log (1 − x) 

3. y = x ln2x 8. y = 

e 

4. y = x ln3x 

9. y = x e 

e 

log 4x 

5. y = x(ln4x + e ) 

e 

10. y = xln5x − e 

e lnx 

5.10 Turunan fungsi hiperbolik 

Jika y = f(x) = sinhx , maka dy = f'(x) = coshx (5.45) 

dx 

Bukti 

y = f(x) = sinhx = 1 2 (e − e ) 

dy 

dx = f'(x) = 1 (e + e ) = coshx (terbukti) 

2 

Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka dy 

du 

= cosh u 

dx dx 

(5.46) 

Bukti 

y = sinh u ® dy 

du = cosh u 

dy 

dx = dy du du 

= cosh u 

du dx dx (terbukti) 

Contoh 5.25 

Jika y = 3sinh 1 dy 

x, tentukan 

5 dx 

Penyelesaian 

115


y = 3sinh u 

du 

dx = 1 dy 

5 

du = 3cosh u 

dy 

dx = dy du 

du dx = (3cosh u)(1 5 ) = 3 5 cosh 1 5 x 

Jika y = f(x) = coshx , maka dy = f'(x) = sinhx (5.47) 

dx 

Bukti 

y = f(x) = sinhx = 1 2 (e + e ) 

dy 

dx = f'(x) = 1 (e − e ) = sinhx (terbukti) 

2 

Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka dy 

du 

= cosh u 

dx dx 

(5.48) 

Bukti 

y = cosh u ® dy 

du = sinh u 

dy 

dx = dy du du 

= sinh u 


Contoh 5.26 

Jika y = cosh(1 − 2x), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = 1–2x 

y = sinh u 

du 

dx = −2 

dy 

du = coshu 

dy 

dx = dy du 

= (coshu)(−2) = −2cosh(1 − 2x) 

du dx 

Jika y = f(x) = tanh x , maka dy = f'(x) = sech x (5.49) 

dx 

Bukti 

y = f(x) = tanhx = sinhx 

coshx 

dy 

(coshx)(coshx) − (sinhx)(sinhx) 

= f'(x) = = 

dx (coshx) 

= 1 = sech x (terbukti) 

cosh x 

cosh x − sinh x 

cosh x 

116

Jika y = tanh u dan u = f(x) , maka dy du 

= sech u 

dx dx 

(5.50) 

Bukti 

y = tanh u ® dy 

du = sec u 

dy 

dx = dy du du 

= sech u 


Contoh 5.27 

Jika y = tanh(a + bx), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = a+bx y = tanh u 

du 

dx = b 

dy 

du = sech u 

dy 

dx = dy du 

= (sech u)(b) = b sech (a + bx) 

du dx 

Jika y = f(x) = coth x , maka dy = f'(x) = −csch x (5.51) 

dx 

Bukti 

y = f(x) = cothx = coshx 

sinhx 

dy 

(sinhx)(sinhx) − (coshx)(coshx) 

= f'(x) = = 

dx (sinhx) 

= −1 = −csch x (terbukti) 

sinh x 

sinh x − cosh x 

sinh x 

Jika y = coth u dan u = f(x) , maka dy 

du 

= −csch u 

dx dx 

(5.52) 

Bukti 

y = tanh u ® dy 

du = −csch u 

dy 

dx = dy du 

du 

= −csch u 


Contoh 5.28 

Jika y = coth(a + bt), tentukan dy 

dt 

Penyelesaian 

Misal u = a+bt 

y = coth u 

du 

dx = b 

dy 

du = −csch u 

117

dy 

dx = dy du 

= (−csch u)(b) = −b csch (a + bt) 

du dx 

Jika y = f(x) = sech x , maka dy = f'(x) = −tanhx sechx (5.53) 

dx 

Bukti 

y = f(x) = sechx = 1 

coshx 

Misal u = 1 v = coshx 

du 

dy 

dx = dx 

du 

dx = 0 

dv 

dx = sinhx 

dv 

. v − u. 

dx (0)(coshx) − (1)(sinhx) 

= = −sinhx = −tanhx sechx (terbukti) 

v 

cosh x 

cosh x 

Jika y = sech u dan u = f(x) , maka dy 

du 

= −tanhu sechu 

dx dx 

(5.54) 

Bukti 

y = sech u ® dy = −tanhu sechu 

du 

dy 

dx = dy du 

du 

= −tanhu sechu 


Contoh 5.29 

Jika y = 2 sech( 1 3 − 1 dy 

x), tentukan 

5 dt 

Penyelesaian 

Misal u = 1 3 − 1 5 x 

y = 2 sechu 

du 

dx = − 1 dy 

= −2 tanhu sechu 

5 

du 

dy 

dx = dy du 

du dx = (−2 tanhu sechu)(− 1 5 ) = 2 tanhu sechu 

5 

= 2 5 tanh 1 3 − 1 5 x sech 1 3 − 1 5 x 

Jika y = f(x) = csch x , maka dy = f'(x) = −cschx cothx (5.55) 

dx 

Bukti 

y = f(x) = cschx = 1 

sinhx 

Misal u = 1 v = sinhx 

du 

dx = 0 

dv 

dx = coshx 

118

du dv 

dy 

dx = . v − u. 

dx dx (0)(sinhx) − (1)(coshx) 

= = −coshx = −cschx cothx (terbukti) 

v 

sinh x 

sinh x 

Jika y = csch u dan u = f(x) , maka dy 

du 

= −cothu cschu 

dx dx 

Bukti 

y = csch u ® dy = −cothu cschu 

du 

dy 

dx = dy du 

du 

= −cothu cschu 


(5.56) 

Contoh 5.30 

Jika y = −3 csch( 1 5 + 1 dy 

x), tentukan 

2 dx 

Penyelesaian 

Misal u = 1 5 + 1 2 x 

y = −3cschu 

du 

dx = 1 dy 

= 3cothu cschu 

2 

du 

dy 

dx = dy du 

du dx = (3 cothu cschu)(1 2 ) = 3 2 coth 1 5 + 1 2 x 

csch 1 5 + 1 2 x 

Soal-soal 


1. y = sinh(2 − 3x) 6. y = 

ax + bx + c 

coth(1 + 2x) 

2. y = cosh(ax − b) 7. y = e 

sech2x 

3. y = x sinh5x 8. y = sech3x 

ln(4 − 5x) 

4. y = e cosh2x 9. y = 1 x csch(x − 1) 

5 

5. y = ln(2 − x) tanh3x 10. y = e csch(a − bx) 

5.11 Turunan fungsi hiperbolik invers 

Jika y = f(x) = sinh 

Bukti 

x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 

√x + 1 

y = f(x) = sinh x = ln(x + x + 1) 

x 

1 + 

dy 

dx = √x + 1 

x + √x + 1 = √x + 1 + x 1 

√x + 1 x + √x + 1 = 1 

√x + 1 (terbukti) 

(5.57) 

119

Jika y = sinh 

Bukti 


dx = f'(x) = 1 du 

√u + 1 dx 

y = sinh u ® dy 

du = 1 

√u + 1 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 du 

√u + 1 dx (terbukti) 

(5.58) 

Contoh 5.31 

Jika y = −3 sinh 

Penyelesaian 

1 

dy 

x, tentukan 

2 dx 

Misal u = 1 2 x y = −3sinh u 

Bukti 

du 

dx = 1 2 

dy 

dx = dy du 

du 

Jika y = cosh 

dx = 1 

√u + 1 

dy 

du = 1 

√u + 1 

1 

2 = 1 

2√u + 1 = 1 

2 

= 

1 

2 x + 1 

1 

2 1 4 x + 1 

x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 

√x − 1 , x > 1 (5.59) 

y = f(x) = cosh x = ln(x + x − 1) 

x 

1 + 

dy 

dx = √x − 1 

x + √x − 1 = √x − 1 + x 1 

√x − 1 x + √x − 1 = 1 

√x − 1 , x > 1 ( ) 

Jika y = cosh 

u dn u = f(x) , maka dy 

dx = 1 du 

√u − 1 dx , x > 1 (5.60) 

Bukti 

y = cosh u ® dy 

du = 1 

√u − 1 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 du 

√u − 1 dx (terbukti) 

Contoh 5.32 

Jika y = cosh 

Penyelesaian 

3 

dy 

x, tentukan 

4 dx 

Misal u = 3 4 x y = cosh u 

120

du 

dx = 3 4 

dy 

dx = dy du 

du 

dx = 1 

√u − 1 

dy 

du = 1 

√u − 1 

3 

4 = 3 

4√u − 1 = 3 

4 

= 

3 

4 x − 1 

3 

4 9 

16 x − 1 

Jika y = f(x) = tanh 

x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 

1 − x 

, |x| < 1 (5.61) 

Bukti 

y = f(x) = tanh x = 1 2 ln 1 + x 

1 − x , |x| < 1 

dy 

dx = 1 2 1 − x 

2 (1 − x) 1 + x = 1 

1 − x , |x| < 1 ( ) 

Jika y = tanh 

Bukti 

y = tanh 

dy 

dx = dy 

u ® dy 

du = 1 

1 − u 

dx = 1 

1 − u 

du 

du 

Contoh 5.33 


dx = 1 

1 − u 

du 

dx , |u| < 1 ( ) 

Jika y = tanh (2x − 1), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = 2x − 1 y = tanh u 

du 

dx = 2 

dy 

du = 1 

1 − u 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 

2 

(2) = 

1 − u 1 − (2x − 1) 

du 

dx 

, |u| < 1 (5.62) 

Jika y = f(x) = coth 

Bukti 

x , maka dy 

dx = f'(x) = 1 , |x| > 1 (5.63) 

x − 1 

y = f(x) = coth x = 1 2 ln x + 1 

x − 1 , |x| > 1 

dy 

dx = 1 −2 1 − x 

2 (1 − x) 1 + x = − 1 

1 − x = 1 

x − 1 , |x| > 1 ( ) 

Jika y = coth 


dx = 1 

u − 1 

du 

, |u| > 1 (5.64) 

dx 

121

Bukti 

y = coth u ® dy 

du = 1 

u − 1 

dy 

dx = dy du 

du dx = 1 du 

u − 1 dx , |u| > 1 ( ) 

Contoh 5.34 

Jika y = 3 coth 

(2 − 3x), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = 2 − 3x y = 3coth u 

du 

dx = −3 

dy 

du = 3 

u − 1 

dy 

dx = dy du 

du 

dx = 3 

u − 1 (−3) = −9 

(2 − 3x) − 1 

Jika y = f(x) = sech 

Bukti 

y = f(x) = sech x = ln 1 + √1 − x , 0 < < 1 

x 

dy 

dx = − 1 

x√1 − x , 0 < < 1 ( ) 

Jika y = sech 

Bukti 

y = sech 

dy 

dx = dy 

u ® dy 

du = − 1 

u√1 − u 

dx = − 1 

u√1 − u 

du 

du 

Contoh 5.35 

x , maka dy 

dx = f'(x) = − 1 

x√1 − x , 0 < < 1 (5.65) 


dx = 1 

u√1 − u 

du 

dx , 0 < < 1 ( ) 

Jika y = −2 sech (1 − x), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = 1 − x y = −2 sech u 

du 

dx = −1 

dy 

du = −2 

u√1 − u 

dy 

dx = dy du 

du dx = −2 

u√1 − u (−1) = 2 

(1 − x) 1 − (1 − x) 

du 

dx , 0 < < 1 (5.66) 

122

Jika y = f(x) = csch 

Bukti 

y = f(x) = csch 

dy 

dx = − 1 

|x|√1 + x 

x , maka dy 

dx = f'(x) = − 1 

|x|√1 + x 

x = ln 1 + √1 + x 

x 

(terbukti) 

(5.67) 

Jika y = csch 

Bukti 

y = csch 

u ® dy 

du = − 1 

|u|√1 + u 

dy 

dx = dy du 

du dx = − 1 

|u|√1 + u 


dx = − 1 

|u|√1 + u 

du 

dx (terbukti) 

du 

dx 

(5.68) 

Contoh 5.36 

Jika y = csch (sinx), tentukan dy 

dx 

Penyelesaian 

Misal u = sin x y = csch u 

du 

dx = cos x 

dy 

du = − 1 

|u|√1 + u 

dy 

dx = dy 

du 

du 

dx = − 1 

|u|√1 + u 

Soal-soal 

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi: 

cos x 

(cos x) = − 

|sin x| 1 + (sin x) = cos x 

|sin x|√1 + sin x 

1. y = sinh (cos x) 2. y = cosh (sin 2x) 3. y = tanh (3x + p) 

4. y = x coth x 5. y = sech (x sinx) 6. y = e csch (1 − 2x) 

5.12 Turunan tingkat tinggi 

Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan 

pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita 

dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke 

(n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. 

Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat 

tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang: 

dy 

dx , d y 

dx 

dan d y atau f'(x), f''(x) dan f'''(x). Sedangkan untuk turunan ke n, dengan n³4, 

dx 

kita gunakan lambang d y 

dx 

atau f ( ) (x). 

123

Contoh 5.37 

Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x − 4) 

Penyelesaian 

dy 

= f'(x) = 3(x 

dx 

− 4) (2x) = 6x(x − 4) 

d y 

dx 

= f''(x) = 6(x − 4) + 6x(2(x − 4)(2x)) = 6(x − 4) + 24x (x − 4) 

d y 

dx 

= f'''(x) = 12(x − 4)(2x) + 48x(x − 4) + 24x (2x) = 120x − 208x 

d y 

dx = f ( ) (x) = 360x − 208 

Soal-soal 

Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi, 

1. f(x) = 2xe 2. f(x) = ln(a − bx) 3. f(x) = x 

x + 1 

4. f(x) = x + 4 5. f(x) = sin (a − bx) 6. f(x) = cos (mx + n) 

1 − x 

5.13 Differensial 

Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx 

sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x. 

Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal 

terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 5.5 

y 

dy 

f(x + x) 

f(x) 

y 

l 1 

f(x) 

l 

x = dx 

0 

x 

x+x 

x 

Gambar 5.5 

didapat Dy = 

Dy 

Dx 

Dx (5.69) 

124

Jika harga x sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 

5.68 dapat ditulis menjadi, 

dy = f'(x) dx (5.70) 

Pada persamaan 5.70 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y 

atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada 

peubah x atau dx. 

Contoh 5.38 

Jika y = x 2 - 2x – 3, tentukan differensial y 


f(x) = x 2 - 2x – 3 

f’(x) = 2x – 2 

Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx 

Contoh 5.39 

Volume sebuah silinder adalah V = r 2 h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1% 

dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. 


f(r) = r 2 h 

f’(r) = 2rh 

dV = f’(r) dr = 2rh (0,01r) = 0,02 r 2 h 

Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 r 2 h 

Soal-soal 

1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur maka 

jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah perubahan volume 

bola tersebut ? 

2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb adalah 

sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman = 3 meter. 

Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98 m. Berapakah 

volume air yang menguap ? 

5.14 Turunan fungsi implisit 

Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, 

yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi 

mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang 

mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan 

aturan sebagai berikut. 

1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x) maka, 

d 

g(x) = g'(x) (5.71) 

dx 

125

2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y) maka, 

d 

dy 

h(y) = h'(y) 

dx dx 

(5.72) 

3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y) maka, 

d 

[ ( ) 

dx 

( )] = u'(x) v(y) + u(x) v'(y) (5.73) 

Contoh 5.40 

Tentukan dy dari x 

dx 

Penyelesaian 

− 3xy + y = 4 

x − 3xy + y = 4 ® x − 3xy + y − 4 = 0 

2x − 3y − 3x dy dy 

+ 2y 

dx dx − 0 = 0 

(2y − 3x) dy 

dy 3y + 2x 

= 3y − 2x ® = 

dx dx 2y − 3x 

Contoh 5.41 

Tentukan dy dari x y + xy = 6 pada titik (1,2) 

dx 

Penyelesaian 

x y + xy = 6 ® x y + xy − 6 = 0 

2xy + x 

dy 

dx + y 

dy 

+ 2xy 

dx = 0 

(x + 2xy) dy 

dy 

= −(2xy + y ) ® 

dx dx = −(2xy + y ) 

(x + 2xy) 

dy 

dx 

= − 8 5 

Soal-soal 

1. Tentukan dy 

dx dari: 

i) x + y = sin xy ii) xy = cos(x + y) 

iii) y = e iv) y = ln(xy) 

2. Tentukan nilai dy pada titik (1,0) dari: 

dx 

i) 3xy + e = e ii) x + y + xy = 1 

126

5.15 Turunan fungsi parameter 

Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk, 

x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter (5.74) 

Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih 

dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Selanjutnya dy/dx dicari dengan rumus: 

dy 

dx = dy/dt 

dx/dt 

(5.75) 

Soal-soal 

Tentukan dy dari fungsi parameter berikut. 

dx 

1. 

2. 

3. 

4. 

x = (t + 3) 

y = (t − 4) 

x = e 

y = ln(5t − 7) 

x = sin(t − p) 

y = cos2t 

⎧x = t + 1 

t + 1 

⎨ 

⎩ 

y = 1 − t 

t 

127

BAB VI 

PENERAPAN DIFFERENSIASI 

6.1 Persamaan garis singgung 

Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah 

atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1. 

y 

dy 

f(x + x) 

f(x) 

y 

l 1 

f(x) 

l 

x = dx 

0 

x 

x+ x 

x 

Gambar 6.1 

Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y) pada f(x) 

adalah 

Jika garis tersebut menyinggung titik P(x 1,y 1) maka kemiringannya adalah 

128

Contoh 6.1 

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x 2 + x -3 di titik P(2,3) 

Penyelesaian 

Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah 

Persamaan garis : y = mx + n. Karena menyinggung titik P(2,3) maka 

3 = 5(2) + n n = –7. 

Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah 

y = 5x – 7 

6.2 Persamaan garis normal 

Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan 

terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika 

perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis 

menjadi, 

dimana m 1 adalah kemiringan garis singgung dan m 2 adalah kemiringan garis 

normalnya. 

Contoh 6.2 

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva 

y = 3x 2 – 2x + 5 

Penyelesaian 

Jadi, 

Persamaan garis singgung y 1 = m 1x 1 + n 1 y 1 = 4x 1 + 2 

Contoh 6.3 

Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2 

Penyelesaian 

Titik singgung untuk t = 2 adalah (–2,12) 

129

Persamaan garis singgung y = 12x + 36 

Soal-soal 

1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva: 

2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari fungsi 

parameter 

6.3 Kelengkungan (Curvature) 

Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatnya 

perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu kurva di titik 

tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar. 

Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak maka kelengkungannya 

kecil. 

6.3.1 Jari-jari kelengkungan 

y 

C 

 

R 

R 

Q 

s 

0 

 

P 

+ 

x 

Gambar 6.2 

130

Pada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di 

titik C. Panjang busur PQ = s. Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP 

= CQ = R dan panjang busur s 0. Telah diketahui bahwa panjang busur 

suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut adalah R. Sehingga panjang busur, 

 

 

 

 

 

s 

x 

y 

Gambar 6.3 

Perhatikan Gambar 6.3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah 

Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x 1,y 1) adalah 

131

Contoh 6.4 

Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 si titik (3,3) 

Penyelesaian 

6.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature ) 

y 

C 

 

k 

R 

L 

P(x,y) 

0 

h 

 

x 

x 1 

Gambar 6.4 

132

Dari Gambar 6.4 didapat 

LC = R cos 

LP = R sin 

h = x 1 – LP 

k = y 1 + LC 

Sehingga, 

 

 

Contoh 6.5 

Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4 

Penyelesaian 

 

 

Soal-soal 

1. Tentukan jari-jari kelengkungan dan pusat kelengkungan untuk kurva : 

a) y = x 2 + lnx–24 di titik (1,–23) 

c) y 2 = –x 2 +4x – 3 di titik (1,0) 

2. Tentukan jari-jari dan pusat kelengkungan dari fungsi parametrik 

 

 

 

6.4 Nilai ekstrim 

Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan pada Gambar 6.5. 

Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau 

pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika kita 

perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran meningkat pada [x 0,x 1], menurun pada 

[x 1,x 2] dan seterusnya hingga konstan pada selang [x 6 , x 7]. 

Definisi 6.4.1 

Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x 1 dan x 2 adalah dua buah bilangan yang 

terletak pada selang I, maka : 

i) fungsi f naik pada selang I, jika x 1 < x 2 menghasilkan f(x 1) < f(x 2) 

ii) fungsi f naik pada selang I, jika x 1 < x 2 menghasilkan f(x 1) > f(x 2) 

iii) fungsi f konstan selang I jika f(x 1) = f(x 2) untuk setiap harga x 1 dan x 2 

133

y 

0 x 0 = a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 

x 

Gambar 5.5 

Teorema 6.4.2 

Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya mempunyai 

satu nilai maksimum dan minimum [a,b]. 

Contoh 6.6 

Jika diketahui f(x) = x 2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut : 

a) [-2,0] b) (-3, 1) c) [-3,-2) d) (-1,1] 


y 

y 

x 

-2 0 -3 0 1 

(a) 

(b) 

x 

y 

y 

x 

-3 -2 0 -1 1 

(d) 

( c ) 

Gambar 5.6 

x 

134

a) Pada selang [-2,0] 

Maksimum =f(0)=6 

Minimum = f(-2) = 0 

b) Pada selang (-3,1) 

Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3) 

Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1) 

c) Pada selang [-3,-2) 

Maksimum =f(-3)=0 

Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2) 

d) Pada selang (-1,1] 

Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1 

Minimum = f(1) = 12 

6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal 

Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang 

terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai 

nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang 

mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal. 


Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka 

i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang 

mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada 

(a,b). 

ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang 

mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada 

(a,b). 

y 

Maksimum 

lokal 

Minimum 

lokal 

0 a x b x 1 c 

x 

Gambar 6.7 

Teorema 6.4.4 

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f 

j ’ 

Teorema 6.4.5 

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f 

j ’ 

sama dengan 0. 

135

Teorema 6.4.6 

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f 

j ’ 

Teorema 6.4.7 

’ 

6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak 

Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat 

menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. 

Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) 

merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum 

sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f. 

Teorema 6.4.8 

Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada 

S, maka : 

i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang 

terletak dalam S. 

ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang 

terletak dalam S. 

Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada 

selang tertutup [a,b] : 

1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b) 

2. Tentukan titik ujung 

a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah 

a dan b. 

b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunyai 

titik ujung. 

c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik 

ujungnya adalah b. 

d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik 

ujungnya adalah a. 

3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1 

diatas. 

4. Hitung harga f pada setiap titik ujung. 

5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil 

yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas. 


selang terbuka (a,b) : 

1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b). 

2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis. 


yang dihitung pada nomor 2 diatas. 


selang setengah terbuka [a,b) : 



136

3. Hitung nilai f(a) 




selang setengah terbuka (a,b] : 



3. Hitung nilai f(b) 



Contoh 5.7 

Jika diketahui f(x) = 2x 3 - 3x 2 – 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan 

minimum f pada selang tertutup [-4,3] 


Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7) 

f(x) = 2x 3 - 3x 2 – 12x + 10 

’ 2 – 6x – 12 = 0 

6x 2 – 6x – 12 = 0 6(x 2 – x – 2) = 0 6(x-2)(x+1) = 0 

x 1 = 2 ; x 2 = -1 

f(x 1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = -10 

f(x 2) = f(-1) = -2 – 3 + 12 + 10 = 17 

Titik ujung : -4 dan 3 

f(-4) = -64 – 48 + 48 + 10 = -54 

f(3) = 54 – 27 -36 + 10 = 1 

Jadi : f(2) adalah minimum lokal 

f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak 

f(-4) adalah minimum mutlak 

y 

17 

-4 -3 -2 -1 1 2 3 

0 

x 

Gambar 6.8 

137

Soal-soal 

1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan grafiknya! 

a) f(x) = 1 x 2 2x 

; [2,5] c) f(x) = 3x 

2 

10x 7 ; [-1,3) 

2 

b) f(x) = 5 6x 

2 

2x 

3 ; (-3,1] d) f(x) = x 

4 

5x 

2 

4 ; (-2,2) 

2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini! 

a) f(x) = 4x 

2 

3x 2 c) f(x) = 2x 

3 

x 

2 

20x 4 

b) f(x) = 2x + 5 d) f(x) = 4x 

3 

5x 

2 

42x 7 

6.5 Kecekungan dan kecembungan 

Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 , maka persamaan tersebut dapat 

ditulis menjadi 

atau 

y 

y 

-r r 

x 

-r 0 r 

x 

(a) 

(b) 

Gambar 6.9 

Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung yang 

menyinggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas kurva pada 

selang terbuka (–r,r). Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang 

menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada selang terbuka (–r,r). 

Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung keatas atau cekung kebawah dan 

Gambar 6.7 (b) biasanya disebut cembung kebawah atau cekung keatas. 


Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis 

singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu 

terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas 

(cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik 

pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f. 

138

Kurva f pada Gambar 5.10 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung kebawah 

pada selang (b,c). 

y 

cembung ke bawah 

cembung keatas 

0 a b c 

x 


Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril x o dan harga turunan kedua f 

pada x = x o ’’ o) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau 

cembung keatas. Jika pada selang (a,b) ’’ o) > 0, maka kurva f pada selang 

tersebut cekung keatas atau cembung kebawah. 


Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = x o ’’ o) = 0 

dan disekitar x = x o ’’ > < o ’’ < 0 untuk x>x o atau berlaku 

’’ < < o ’’ > > o, maka titik (x o,f(x o)) merupakan titik 

belok dari kurva tersebut. 

Contoh 6.8 

Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui : 

f(x) = 6 – 5x + x 2 . 


f(x) = 6 – 5x + x 2 ’ - ’’ 

’’ > o, maka kurva f cembung kebawah. 

Contoh 6.9 

Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x 2 -x 3 , tentukan daerah pada kurva f yang 

merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari 

kurva yang dimaksud ! 


f(x) = 2+x+3x 2 -x 3 

’ – 3x 2 

’’ – 6x 

Daerah cembung keatas : ’’ – 6x < 0 x>1 

Daerah cembung kebawah : ’’ – 6x > 0 x

Soal-soal 

Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan titik belok kurva dari 

fungsi berikut jika ada! 

6.6 Kecepatan dan percepatan sesaat 

6.6.1 Kecepatan 

Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan sesaat, kiranya kita perlu 

mengetahui apa yang dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-rata. 

Kecepatan rata-rata pada bidang datar didefinisikan sebagai, 

dimana s 2 dan s 1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik 

acuan. Sedangkan t 2 dan t 1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai 

posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu ( t) yang cukup besar, maka 

persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata 

saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk suatu saat 

tertentu. Sebetulnya persamaan 6.8 dapat digunakan untuk menentukan 

kecepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam 

bentuk rumus, 

dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan pertama dari 

lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau dapat ditulis dalam bentuk s = 

s(t). 

6.6.2 Percepatan 

Percepatan rata-rata ( a ) pada bidang datar didefinisikan sebagai berikut. 

dimana v 2 dan v 1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik 

acuan. Sedangkan t 2 dan t 1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai 

posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu ( t) yang cukup besar, maka 

persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan percepatan rata-rata 

saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung percepatan untuk suatu saat 

tertentu. Sebetulnya persamaan 6.10 dapat digunakan untuk menentukan 

percepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam 

bentuk rumus, 

140

dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan pertama dari 

kecepatan. 

Contoh 6.10 

Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t 2 – 5t + 2, dimana t 

dalam detik dan s dalam satuan meter. Tentukan panjang lintasan, kecepatan 

dan percepatan pada saat t = 15 detik. 

Penyelesaian 

Untuk t = 15 detik : 

Didapat : s = 15(45 – 5) = 600 meter 

v = 90 – 5 = 85 m/detik 

a = 6 m/detik 2 

Soal 

Berikut adalah lintasan partikel yang bergerak dengan percepatan konstan. 

Tentukan panjang lintasan dan kecepatan partikel pada waktu t = 50 detik! 

s (meter) 

240 

110 

0 10 15 

t (detik) 

141

BAB VII 

INTEGRAL TAK TENTU 

7.1 Anti turunan dan integral tak tentu 

Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui 

f(x) maka proses differensiasi dari f(x) akan menghasilkan turunan f(x) dan ditulis 

dengan f’(x). Pada bab ini kita akan membahas kebalikan dari proses differensiasi atau 

lebih dikenal dengan proses integrasi . Jika pada proses differensiasi menghasilkan 

turunan maka pada proses integrasi akan menghasilkan anti turunan. Misal diketahui 

fungsi f maka proses integrasi adalah proses menentukan F(x) sedemikian rupa 

sehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunan dari f(x). Sebagai contoh F(x) = x 3 

adalah anti turunan f(x) = 3x 2 , karena 

F (x) = dF(x) 

dx = d(x ) 

dx 

= x = f(x) 

Akan tetapi masih terdapat banyak anti turunan dari x 3 , seperti : x 3 + 1, x 3 + , x 3 – e 

dll. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap (x 3 + bilangan konstan) merupakan anti 

turunan ( disebut juga primitif ) dari 3x 2 . Jika bilangan konstan kita lambangkan 

dengan C maka anti turunan dari 3x 2 adalah x 3 + C. Proses untuk menentukan anti 

turunan dari f(x) disebut proses integrasi dan ditulis dalam bentuk, 

f(x) dx = F(x) ( . ) 

Simbol “∫” disebut tanda integral dan persamaan 7.1 dibaca “integral tak tentu dari 

f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangan konstan”. f(x) adalah integran, F(x) + C 

adalah anti turunan dari f(x), C adalah konstanta integrasi, sedangkan faktor dx 

menunjukkan bahwa peubah integrasi adalah x. 

7.2 Rumus-rumus integral tak tentu 

. 

. f (x) dx = 

d 

dx 

f (x) dx = f(x) 

df(x) 

dx = f(x) 

dx 

. kf(x) dx = k f(x) dx k adalah bilangan konstan 

. f(x) g(x) dx = f(x)dx g(x)dx 

V. Rumus-rumus teknis 

Berikut diberikan rumus-rumus teknik integral yang bersifat standar dan dapat 

dipakai langsung untuk menentukan anti turunan (primitif) dari suatu fungsi. 

142

. du = u . cscu du = ln cscu cotu 

. k u du = k 

n 

. 

u n . sec u du = tanu 

u du = ln u . csc u du = cotu 

. ke du = k n e . secu tanu du = secu 

. ka du = k a 

n lna 

. sinu du = cosu . 

. cosu du = sinu . 

. tanu du = ln cosu . 

. cotu du = ln sinu . 

. secu du = ln secu tanu . 

. cscu cot du = cscu 

a u du = sin u 

a 

a u du = a tan u 

a 

u u a du = a sec u 

a 

a u du = a ln u a 

u a 

u a du = ln u u a 

Contoh 7.1 

Selesaikan 

. x dx . 

Penyelesaian 

x dx . x dx . 

tanx 

secx dx 

. x dx = x = x 

. 

x dx = x dx = x = x = 

x 

. x dx = x dx = x = x 

. 

tanx 

secx dx = 

sinx 

. cosx dx = 

cosx 

sinx dx = cosx 

Contoh 7.2 

Selesaikan ( x cosx) dx 

Penyelesaian 

( x cosx) dx = x dx cosx dx = x sinx 

= x sinx 

143

Contoh 7.3 

( ) 

Pen elesaian 

( ) 

= = ( ) 

= x x x = x x 

x 

7.3 Integrasi dengan substitusi 

Rumus-rumus integral tak tentu yang telah dijelaskan pada pasal 7.2 hanya dapat 

digunakan untuk mengevaluasi integral-integral dari fungsi yang sederhana saja. 

Sehingga tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi integral seperti ∫ dx atau 

∫sin3x dx. Pada pasal ini kita akan menggunakan metode untuk mngubah variabel dari 

integran agar menjadi bentuk standar. Dari rumus terdahulu telah diketahui bahwa, 

d 

dx h(x) dx = d h(x) dx 

dx 

Jika h(x) adalah fungsi komposisi Fog maka h(x) = F(g(x)). Sehingga, 

d 

dx F(g(x)) dx = d d 

F(g(x)) dx = F(g(x)) 

F(g(x)) = F (g(x)). g (x) 

dx 

dx 

arena F = f maka d F(g(x)) = f(g(x)). g (x) 

dx 

d 

Sehingga didapat F(g(x)) dx = f(g(x)). g (x) ( ) 

dx 

Jika u = g(x) du = g’(x)dx (**) 

Substitusi (*) ke (**) didapat, 

d 

F(g(x)) dx = 

dx 

f(u) du = F(u) ( . ) 

Contoh 7.4 

Selesaikan 

Penyelesaian 

Misal u = 1–2x 

x dx 

du = –2 dx 

x dx = u du = u = u = ( x) 

Contoh 7.5 

x 

Selesaikan 

x 

Penyelesaian 

Misal u = x 2 – 1 

x 

dx = 

x 

dx 

du = 2x dx 

du 

u = ln u = ln(x ) 

144

Soal-soal 

Selesaikan 

. x x dx . 

. e cosx dx . (tan x ) ln(tanx) dx 

x 

x 

x 

dx 

7.4 Integrasi bagian demi bagian (Integration by parts) 

Dalam mengevaluasi integral sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk 

perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah 

dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan 

istilah integral parsial. Pada saat kita mempelajari turunan, kita telah mengetahui 

bahwa, 

ika f(x) = g(x). h(x) maka df(x) 

dx 

= dg(x) 

dh(x) 

. h(x) g(x). 

dx dx 

df(x) 

dg(x) 

ntegrasikan semua suku dx = h(x) dx g(x) dh(x) dx 

dx dx 

dx 

Misal u = g(x) dan v = h(x) 

aka 

d(u ) 

dx 

dx = 

u = du u d 

du 

dx dx 

u d 

dx dx 

u d = u du ( . ) 

Persamaan 7.3 digunakan untuk menyelesaikan integral bagian demi bagian atau 

integral parsial. 

Dalam membuat permisalan u, biasanya kita tentukan prioritas-prioritas agar 

penyelesaian menjadi lebih sederhana. Prioritas tersebut adalah sebagai berikut. 

i) ln x 

ii) x n n = bilangan bulat positif 

iii) e kx 

Contoh 7.6 

Selesaikan 

x e dx 

Penyelesaian 

Misal u = x du = dx 

v = e x dv = e x 

adi x e dx = u d = u du 

Contoh 7.7 

= xe ∫ e dx = xe ∫ e = xe e = e (x ) 

Selesaikan (x ) ln( x) dx 

Penyelesaian 

145

Misal u = ln2x dv= (x-1)dx 

du = x 

dx = x x 

adi (x ) ln( x) dx = u d = u du 

Contoh 7.8 

Selesaikan 

= (ln x)( x x) ( x x)( x 

) dx 

= (ln x)( x x) ∫( x ) dx = ( x x) ln( x) x x 

x sinx dx 

Penyelesaian 

Misal u = x 2 dv = sinx dx 

du = 2x dx v = –cosx 

x sinx dx = u d = u du = (x )( cosx) ( cosx)( x) dx 

Perhatikan x cosx dx pada ( ) 

Misal u = 2x 

du = 2 dx 

= x cosx x cosx dx ( ) 

dv = cosx dx 

v= sin x 

x cosx dx = u d = u du = x sinx sinx dx 

Substitusi (**) ke (*) didapat 

= 2x sinx + 2 cosx +C (**) 

x sinx dx = u d = u du = x cosx x sinx cosx 

Contoh 7.9 

Selesaikan 

e cosx dx 


Misal u = e x dv = cosx dx 

du = e x dx v = sinx 

e cosx dx = u d = u du = e sinx sinx e dx 

Perhatikan e sinx dx pada ( ) 

Misal u = e x 

du = e x dx 

dv = sinx dx 

v = –cos x 

= e sinx e sinx dx ( ) 

e sinx dx = u d = u du = e cosx e cosx dx 

Substitusi (**) ke (*) didapat, 

= e cosx e cosx dx ( ) 

146

e cosx dx = e sinx ( e cosx e cosx dx) 

e cosx dx = e sinx e cosx e cosx dx 

e cosx dx = e sinx 

e cosx 

e cosx dx = (e sinx e cosx) 

Soal-soal 

Selesaikan integral berikut. 

. x ln( x) dx . ( x )e dx 

. ( x) sin x dx . e sin( x)dx 

7.5.Integrasi fungsi pecah 

Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) 

dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x) 0. Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat 

ditulis dalam bentuk, 

f(x) = P(x) (x) 

(x) 

Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka gunakan metode 

pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 

1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka 

cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke 

nomor 2. 

2. Faktorkan Q(x) 

a. Untuk faktor ax n pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, 

ax ax ax 

b. Untuk faktor (ax+b) n pecahan parsialnya adalah, 

ax b (ax b) (ax b) 

c. Untuk faktor (ax 2 +bx+c) n pecahan parsialnya adalah, 

x 

x 

x 

ax bx c (ax bx c) (ax bx c) 

Koeffisien-koeffisien A 1, A 2, A 3 … n dapat diganti dengan A, B, C dst. 

Contoh 7.10 

x x 

Selesaikan 

x x x dx 

Penyelesaian 

Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x). 

x x 

x x x = x x 

x(x )(x ) 

147

x x 

x(x )(x ) = x x x 

= 

(x )(x ) (x)(x ) ((x)(x ) 

x(x )(x ) 

= x x x x x x 

x(x )(x ) 

= ( )x ( )x 

x x x 

Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan 

pembilang pada soal, sehingga didapat, 

A+B+C = 1 

–A+2B-3C = 5 

–6A = –12 

Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5 

Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat, 

x x 

x(x )(x ) = x (x ) (x ) 

adi 

x x 

x(x )(x ) dx = x (x ) (x ) dx 

( ) 

( ) 

= 

x dx (x ) dx (x ) dx 

= ln x ln(x ) ln x 

= ln x (x ) 

x 

= ln x (x ) 

(x ) 

Contoh 7.11 

Selesaikan 

x x x x 

x x x 

dx 

Penyelesaian 

Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian. 

x+1 

x 3 + 6x 2 +5x – 12 x 4 + 7x 3 +12x 12 – 10x –7 

x 4 + 6x 3 + 5x 2 – 12x 

adi 

x x x x 

x x x 

x 3 + 7x 2 + 2x – 7 

x 3 + 6x 2 + 5x – 12 

x 2 – 3x + 5 

dx = (x 

) dx 

x x 

x x x 

dx 

= (x ) dx 

(x ) dx (x ) dx (x ) 

148

= x x ln x ln x ln x 

Soal-soal 

Selesaikan integral berikut 

. 

. 

dx . 

x x 

( x x ) 

dx . 

x x x 

x x x 

x ( x ) 

x x x 

x x 

dx 

dx 

7.6. Integrasi fungsi trigonometri 

7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu 

sinu du = cosu ( . ) 

Bukti 

Pada pasal terdahulu telah di elaskan bah a 

arena sinu = 

d( cosu) 

du 

maka sinu du = 

df(u) 

du = f(u) 

du 

d( cosu) 

du = cosu 

du 

cosu du = sinu ( . ) 

Bukti 

arena cosu = d(sinu) 

du 

maka cosu du = 

d(sinu) 

du 

du = sinu 

tanu du = ln cosu ( . ) 

Bukti 

tanu du = 

sinu 

cosu du = 

d( cosu) 

cosu 

= ln cosu 

cotu du = ln sinu ( . ) 

Bukti 

cotu du = 

cosu 

sinu du = 

d(sinu) 

sinu 

= ln sinu 

secu du = ln secu tanu ( . ) 

149

Bukti 

secu du = 

= 

cosu 

cosu du = cos u du = 

cosu 

( sinu)( sinu) du 

cosu 

sin u du 

isal = sinu d = cosu du 

d 

( ) 

secu du = 

= ln = ln 

( )( ) ( 

= ln = ln 

= ln 

sinu sin u 

cos u 

= ln sec u tanu secu tan u 

= ln (secu tanu) 

sinu sin u 

sin u 

= ln (secu tanu) = ln secu tanu (terbukti) 

Bukti 

cscu du = ln cscu cotu ( . ) 

cscu du = 

= 

sinu 

sinu du = sin u du = 

sinu 

( cosu)( cosu) du 

sinu 

cos u du 

isal = cosu d = sinu du 

d 

( ) 

cscu du = 

= ln = ln 

( )( ) ( 

= ln = ln 

= ln 

cosu cos u 

sin u 

= ln csc u cotu cscu cot u 

= ln (cscu cotu) 

cosu cos u 

cos u 

= ln (cscu cotu) = ln cscu cotu (terbukti) 

7.6.2 Integrasi fungsi sin m u dan cos m u 

Langkah untuk menyelesaikan ∫sin m u du dan∫cos m u du adalah sebagai berikut. 

150

1. Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka 

sin u ditulis dalam bentuk sin u sinu. Sedangkan cos u ditulis dalam 

bentuk cos u cosu. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, 

sin 2 u + cos 2 u = 1 dan metode substitusi. 

2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka 

sin u ditulis dalam bentuk (sin u) . Sedangkan cos u ditulis dalam 

bentuk(cos u) . Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, 

sin u = cos u atau cos u = cos u 

Contoh 7.12 

Selesaikan 

Penyelesaian 

sin x dx 

sin x dx = sin x sinx dx = ( cos x) sinx dx 

Misal u = cosx 

–du = sinx dx 

adi sin x dx = ( u )( du) = (u ) du 

= u u = cos x cosx 

Contoh 7.13 

Selesaikan cos x dx 

Penyelesaian 

cos x dx = cos x cosx dx = ( sin x) cosx dx 

Misal u = sinx du = cosx dx 

adi cos x dx = ( u )(du) = u u = sinx sin x 

Contoh 7.14 

Selesaikan sin x dx 

Penyelesaian 

sin x dx = (sin x) dx = ( cos x) dx = ( cos x cos x)dx 

= ( cos x cos x)dx = ( cos x cos x) dx 

= x sin x sin x 

Contoh 7.15 

Selesaikan cos x dx 

Penyelesaian 

151

cos x dx = (cos x) dx = ( cos x) dx = ( cos x cos x)dx 

= ( cos x cos x)dx = ( cos x cos x) dx 


7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sin m u cos n u 

Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sin m u cos n u berikut 

diberikan langkah-langkah penyelesaian. 

1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil 3, maka 

a. sin x cos x ditulis dalam bentuk sin x sinx cos x 

b. anti sin x dengan menggunakan identitas sin x = cos x 

c. Lakukan substitusi u = cosx 

2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil 3, maka 

a. sin x cos x ditulis dalam bentuk sin x sinx cos x cosx 

b. anti cos x dengan menggunakan identitas cos x = sin x 

c. Lakukan substitusi u = sinx 

3. Jika m dan n adalah bilangan genap 2, maka 

a. sin x cos x ditulis dalam bentuk (sin x) (cos x) 

b. Gunakan identitas trigonometri, 

sin x = cos x atau cos x = cos x 

Contoh 7.16 

Selesaikan sin x cos x dx 

Penyelesaian 

sin x cos x dx = sin x cos x sinx dx = ( cos x) cos x sinx dx 

Misal u = cosx 

= ∫(cos x cos x cos x) sinx dx 

–du = sinx dx 

sin x cos x dx = (u u u )du = u u u 

= u u u = cos x cos x cos x 

Contoh 7.17 

Selesaikan sin x cos x dx 

Penyelesaian 

sin x cos x dx = (sin x) (cos x) dx = ( cos x) ( cos x) dx 

152

= ( cos x) dx = ( cos x cos x) dx 

= ( cos x cos x cos x 

= cos x cos x 


Soal-soal 

Selesaikan 

. sin x dx . cos x dx . sin x cos x dx . sin x cos x dx 

7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tan m u sec n u 

Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tan u sec u berikut 

diberikan langkah-langkah penyelesaian. 

1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil 3, maka 

a) tan x sec x ditulis dalam bentuk tan x sec x secx tanx 

b) unakan identitas trigonometri tan x = sec x 

c) Lakukan substitusi u = secx 

2. Jika n adalah bilangan bulat genap 2, maka : 

a) tan x sec x ditulis dalam bentuk tan x sec x sec x 

b) Gunakan identitas trigonometri sec 2 x = tan 2 x + 1 

c) Lakukan substitusi u = tanx 

d) Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil, 

berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial. 

Contoh 7.18 

Selesaikan tan x sec x dx 

Penyelesaian 

tan x sec x dx = tan x sec x tanx secx dx = (sec x )sec x tanx secx dx 

Misal u = sec x du = secx tanx dx 

Sehingga (u )u du = (u u ) du = u u 

= sec x sec x 

Soal-soal 

Selesaikan 

. tan x sec x dx . tan x sec x dx 

. tan x sec x dx . tan x sec x dx 

153

7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers 

sin du = u sin u u ( . ) 

Bukti 

isal = sin u d = du u 

dw = du w = u 

Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv 

u 

adi sin u du = d = u sin u 

u du 

= u sin u u (terbukti) 

Contoh 7.19 

Selesaikan sin x dx 

Penyelesaian 

isal u = x du = dx 

sin x dx = sin u du = x sin x x 

Bukti 

cos du = u cos u u ( . ) 

isal = cos u d = 

dw = du 

w = u 

Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv 

u 

adi cos u du = d = u cos u 

u du 

= u cos u u (terbukti) 

du 

u 

Bukti 

tan u du = u tan u ln u ( . ) 

isal = tan u d = du u 

d = du = u 

unakan rumus integral parsial d = d 

154

u 

tan u du = d = u tan u 

u du 

= u tan u ln u (terbukti) 

cot u du = u cot u ln u ( . ) 

Bukti 

isal = cot u d = 

d = du = u 

du 

u 


cot u du = d = u cot u 

u 

u du 

= u cot u ln u (terbukti) 

sec u du = u sec u ln u u ( . ) 

Bukti 

isal = sec u d = 

du 

u u 

d = du = u 


sec u du = d = u sec u 

u du 

u u 

= u sec u ln u u (terbukti) 

Bukti 

csc u du = u csc u ln u u ( . ) 

isal = sec u d = 

d = du = u 

u u 


csc u du = d = u csc u 

u du 

u u 

= u csc u ln u u (terbukti) 

du 

155

7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri 

7.8.1 Integrasi fungsi irrasional 

Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan 

mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya 

untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. Pada pasal ini 

akan dibahas beberapa fungsi irrasional. 

Bukti 

dx 

a x = sin x 

a 

( . ) 

a 

x 

u 

a 

x 

Dari gambar diatas didapat 

sinu = x x 

u = sin 

a 

a 

a sinu = x a cos u du = dx 

dx 

adi 

a x = a cosu du 

a cosu = du = u = sin x 

a 

(terbukti) 

a dx 

x x a = sec x 

a 

( . ) 

Bukti 

x 

x 

a 

u 

a 


secu = x x 

u = sec 

a 

a 

a secu = x a secu tanu du = dx 

a dx 

adi 

x x a = a secu tanu du 

a secu tanu = du = u = sec x 

a 

(terbukti) 

dx 

x a = ln x x a ( . ) 

156

Bukti 

x a x 

Dari gambar diatas didapat, 

tanu = x x 

u = tan 

a 

a 

a tanu = x a sec 2 u du = dx 

a sec u du 

a secu 

= ln x a 

a 

u 

a 

= secu du = ln secu tanu 

x 

a 

= ln x x a 

a 

= ln x x a (terbukti) 

Bukti 

dx 

x a = ln x x a ( . ) 

x 

x 

a 

u 

a 


secu = x x 

u = sec 

a 

a 


dx 

adi 

x a = a secu tanu du 

= secu du = ln secu tanu 

a tanu 

= ln x a 

x 

a 

a 

= ln x x a 

a 

= ln x x a (terbukti) 

x a dx = a sin 

x 

a 

x 

a a x ( . ) 

Bukti 

157

a 

x 

u 

a 

x 

u 


sinu = x x 

u = sin 

a 

a 

a sinu = x a cos u du = dx 

adi x a dx = a cosu (a cos u du) = a cos u du 

= a ( cos u) du = a (u sin u) 

= a x 

(sin 

a 

= a x 

sin 

a 

sinu cosu) = a x 

(sin 

a 

x a x (terbukti) 

x 

a 

a 

a 

x 

Bukti 

a x dx = a ln x x a 

x 

a a x ( . ) 

x a x 


tanu = x x 

u = tan 

a 

a 

a tanu = x a sec du = dx 

a 

a x dx = a sec u du = a 

cos u du = a cosu 

cos u du 

Misal v = sinu dv = cosu du 

a x dx = a sec u du = a 

cos u du = a cosu 

cos u du 

= a 

d 

( ) = a d d 

( ) 

d d 

( ) 

= a ln( ) ( ) ln( ) ( ) 

158

= a ln = a ln ( ) 

= a ln ( sinu) 

sin u 

sinu 

sin u 

= a ln ( sinu) 

cos u 

sinu 

cos u 

= a ln x x a 

x x a (terbukti) 

x a dx = x x a 

a 

ln x x a ( . ) 

Bukti 

x 

x 

a 

u 

a 


secu = x x 

u = sec 

a 

a 


adi x a dx = (a tanu)(a secu tanu du) = a tan u secu du 

= a (sec u ) secu du = a (sec u secu) du 

= x x a 

a 

ln x x a (terbukti) 

7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x 2 +a 2 ) 

dx 

x a = a tan x 

a 

( . ) 

Bukti 

x a x 

Dari gambar diatas didapat, 

u 

a 

159

tanu = x x 

u = tan 

a 

a 

a tanu = x a sec du = dx 

dx 

x a = a sec u 

a sec u du = a du = a u = a tan x 

a 

(terbukti) 

Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa : 

a) Jika integran mengandung a x maka substitusi x = a sinu 

b) Jika integran mengandung a x maka substitusi x = a tanu 

c) Jika integran mengandung x a maka substitusi x = a secu 

d) Jika integran mengandung a 2 + x 2 maka substitusi x = a tanu 

Soal-soal 

. 

x x dx . x x dx . x x 

. 

x dx 

. . 

Jika ax 2 +bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax 2 +bx+c) (Ax+B)dx, maka 

x 

ax bx c dx = a ln x b 

a x 

c 

a 

a a 

a 

c a 

b 

tan 

b 

a 

x 

c 

a 

b 

a 

( . ) 

b 

a 

Bukti 

ax bx c = a x 

b 

a x 

c 

a = a x ba 

c 

a 

b 

a 

x 

= x 

x 

ax bx c dx = a 

x 

b 

a 

x 

c 

a 

b 

a 

dx 

Misal, 

u = x 

du = dx 

m = 

b 

a 

b 

a 

x = u 

b 

a 

n = c a 

b 

a 

160

x 

ax bx c dx = (u m) 

a u n du = u 

a u n du a 

m 

= ln u n 

a a n tan un 

Substitusi nilai u, m dan n, didapat, 

x 

ax bx c dx = a ln x b 

a x 

Contoh 7.20 

Selesaikan 

x 

Penyelesaian 

x 

x 

dx 

c 

a 

a a 

A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5 

x 

x 

dx = ln x x tan 

x x 

a 

c a 

b 

tan 

b 

a 

u 

m 

n du 

x 

c 

a 

b 

a 

b 

a 

7.8.4 Integrasi fungsi irrasional yang sejenis 

Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya 

f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u = f(x), dimana n adalah 

kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-panglat akar. 

Contoh 7.21 

Selesaikan 

Penyelesaian 

u = x = x 

Sehingga 

x 

x dx 

u = x 

u du = dx 

x 

x dx = u 

u ( u du) = 

= u du u du 

= u du u du 

u 

u du 

u 

u du 

u 

(u )(u u ) du 

= u u ln u ln u u tan 

u 

= x x ln x ln x x tan 

x 

161

7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran. 

Jika ax bx c adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka 

kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut, 

b 

ax bx c = a x 

a x c 

a = a x b ac 

ba 

a 

b 

Substitusi ang digunakan adalah u = x 

a 

Contoh 7.22 

dx 

Selesaikan 

(x ) x x 

Penyelesaian 

dx 

dx 

= 

(x ) x x (x ) (x ) 

Misal u = x – 3 → du = dx 

dx 

du 

= 

= 

(x ) x x u u 

x 

= sec 

du 

= sec 

u 

u u 

. . 

ika 

x a 

x b 

adalah satu satun a bentuk irrasional pada integran maka kita 

dapat melakukan substitusi u = 

x 

x 

a 

b 

Contoh 7.23 

Selesaikan 

Penyelesaian 

isal u = 

x 

x 

x 

x 

dx 

u = x (x ) = 

x 

u 

(x ) (x ) 

u du = dx = 

(x ) dx = (u ) 

dx 

(x ) 

u 

dx = 

(u ) du 

162

adi 

x 

x 

dx = 

u 

(u ) du 

= 

du 

u 

du 

du 

(u ) u 

du 

(u ) 

= ln u 

= ln u 

u 

u 

(u ) ln u (u ) 

u 

= ln x x x x 

x 

Soal-soal 

Selesaikan 

. x x dx . (x ) x dx . 

. 

x 

x dx . (x ) x 

dx . 

x 

x 

x 

x 

dx 

dx 

. 

x 

x x dx . x 

x 

x 

dx 

163

BAB VIII 

INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA 

8.1 Integral tentu 

Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan 

luas bidang pada koordinat Kartesius. Menentukan luas bidang tsb. sesederhana 

seperti kita menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang, segitiga atau 

bangun-bangun sederhana lainnya. Cara yang sederhana untuk menentukan luas 

bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x=x 1 dan x=x 2 kita harus membagi 

bidang tersebut menjadi beberapa bagian. Makin banyak pembagian bidang tersebut 

akan semakin akurat pula hasilnya. 

y 

y=f(x) 

y 

y=f(x) 

0 

a 

(a) 

b 

x 

0 a b 

(b) 

x 

Bidang yang terletak 

dibawah grafik f 

Gambar 8.1 

Sejumlah persegi panjang 

yang terletak dibawah grafik 

f 

Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat berupa Gambar 8.1(a) 

atau (b). Pada analisa berikut kita akan membagi bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal 

terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis 

x=a, garis x=b, sumbu x dan grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup 

[a,b]. Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A yang mendekati 

harga sebenarnya adalah dengan jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa 

persegi panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)). Misal luas 

seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah A i. Jika lebar setiap persegi 

panjang sangat kecil, maka luas A i A. 

Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar x maka akan 

didapat x = (b-a)/n. Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang : x 0, x 1, x 2, x 0, … 

x n dengan x 0 = a dan x n = b, maka 

, , , , 

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut. 

164

y 

y=f(x) 

x 

f(u k) 

0 x 0=a x 1 x 2 x k-1 u k x k x n=b 

x 

Gambar 8.2 

Sehingga : x 0=a ; x 1=a+x ; x 2=a+2x ; x 3=a+3x 

x k-1=a+(k-1)x ; x k=a+kx ; x n=a+nx 

Luas persegi panjang adalah 

A i = f(u 1) x + f(u 2) + … + f k) x + f(u n) x 

Ji me gg o si pe j ml h “”, m 

f 

 

Persamaan 9.2 disebut jumlah Riemann dan f(u k) adalah harga minimum f pada 

sub-selang tertutup [x k-1,x k]. Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka 

x menjadi sangat kecil. Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x 0 = a 

dan x n = b sama dengan luas persegi panjang A i bila x sangat kecil (atau n 

sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis, 

lim 

 

f 

 

Definisi 

Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]. Integral 

tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau, 

f 

lim 

 

f 

 

Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat 

 

+ 

165

f 

lim 

 

f + 

8.2 Sifat-sifat integral tentu 

Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat utama integral tentu yaitu, 

f 

F(x) adalah anti turunan f(x) 

Sifat-sifat integral tentu lainnya 

Ji , f f 

Ji f , m f 

Ji l h il g il, m 

4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang bilangan ril, maka cf 

terintegralkan pada [a,b]. 

f 

f 

5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g juga terintegralkan pada [a,b]. 

f + g f + g 

f g f g 

6. Jika a

Contoh 8.1 

Selesaikan 

+ + 

Penyelesaian 

+ + + + 

+ + 

+ + + + 

+ + + + 

is l 

Soal-soal 

Selesaikan 

e l e + 

8.3 Luas Bidang 

Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius dibatasi oleh y 1= f(x), y 2= 

g(x), x 1 = a dan x 2 = b. Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada 

Gambar 8.3. Luasnya adalah 

f 

g 

167

y 

f(x) 

g(x) 

0 x 1=a x 2=b 

x 

Gambar 8.3 

Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang seperti yang terlihat pada 

Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi oleh y 1=f(x), y 2 = 0, x 1 =a dan x 2 = b. Luasnya 

adalah 

f 

y 

f(x) 

f(u k ) 

0 x 1=a x 2=b 

x 

Gambar 8.4 

Contoh 8.2 

e l s i g g i si oleh , , 

Penyelesaian 

168

y 

x 2 

¼x 2 

0 x=1 x=3 

x 

f 

g 

Contoh 8.3 

Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh x 2 +1, ¼x 2 +4, x=0 dan x=3. 

Penyelesaian 

y 

x 2 + 1 

¼ x 2 + 4 

0 x=2 x=3 

x 

+ + + + + 

+ + + + 

+ + + + 

169

Soal-soal 

Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh : 

3 

1. y= x + 3 , y = x 2 , sumbu y dan x = 2 

4 

2. y = x+6, sumbu y, y= - x 2 +4, sumbu x dan x = 4 

3. y = 1/x , y = x 2 dan sumbu x 

4. y = 1/x , y = x 2 , y = -x 2 + 8, x = 1 dan x=5/2 

8.4 Volume dan luas kulit benda putar 

Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu 

benda putar yang mempunyai volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga 

diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang 

diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar seperti 

Gambar 8.5 b. 

y 

y=f(x) 

0 x=a x=b 

(a) 

x 

y 

f(x) 

0 

x 

x 

x 1 =a 

x i 

(b) 

Gambar 8.5 

x n=b 

Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara menganalisa elemen tipis yang 

mempunyai ketebalan x. 

170

Luas kulit elemen (A) = 2[f(x i)].x 

s li e p lim 

 

Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar dapat ditulis menjadi 

f 

 

f 

Volume elemen (V) = [f(x)] 2 .x 

ol me e p lim 

 

Jadi volume benda putar adalah 

f 

 

f 

Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk bangun seperti Gambar 

8.6 berikut. 

y 

y 2=b 

f(y) 

y 1= a 

0 

Gambar 8.6 

x 

Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit benda putar yang 

diputar mengelilingi sumbu y adalah 

f 

Sedangkan volumenya adalah 

f 

171

Contoh 8.4 

Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y= 1 4 x 

3 diputar mengelilingi 

a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3 

b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2 

Penyelesaian 

Grafik y = ¼ x 3 

y 

0 

x 

a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3 

y 

x 

0 

x=1 

x=3 

s li f 

 

 

ol me e p f 

 

 

172

) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2 

y 

y=2 

y=1 

0 

x 

f 

f 

s li f 

 

 

, 

ol me f 

 

 

, 

Soal-soal : 

1. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu , y = 2 

dan x = 0 yang berputar pada : 

a) Sumbu y 

b) Garis y = 2 

2. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis 

y = 4 yang berputar pada : 

a) Sumbu y 

b) Sumbu x 

c) garis x = 2 

a) garis y = 4 

173

BAB IX 

MATRIKS DAN DETERMINAN 

9.1 Matriks 

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa 

besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu 

atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. 

Matematika 

Diskrit (M) 

Struktur 

Data (S) 

Pemrograman 

(P) 

Basis Data 

(B) 

Teknik Informatika 40 42 29 29 

Sistem Informasi 45 35 30 40 

Teknik Komputer 42 31 22 37 

Manaj. Informatika 37 40 45 30 

Komp. Akuntasi 39 26 35 27 

Dalam bentuk matriks tabel diatas dapat dibuat menjadi, 

Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa 

sehingga membentuk baris dan kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua buah 

kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang 

terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah, 

Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m dan kolom n. Pada matriks diatas 

ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij 

adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i dan kolom ke j. Umumnya suatu matriks 

ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal. Selain cara penulisan diatas, matriks 

dapat juga ditulis sebagai A = [aij]. Jika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujur 

sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebut diagonal matriks. 

9.2 Matriks Bentuk Khusus 

Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matriks, maka terdapat beberapa matriks 

yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu, 

9.2.1 Vektor Kolom 

Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut 

adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom). 

12 

40 

32 

25 

174

9.2.2 Vektor Baris 

Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1 

x 4 atau 1 baris dan 4 kolom adalah [ 4 2 5 1 ] 

9.2.3 Matriks Persegi 

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. 

Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom). 

9.2.4 Matriks Segitiga 

Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas 

dan segitiga bawah. Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai 

nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠ 0, maka 

matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i j, a ij = 0 

9.2.5 Matriks Diagonal 

Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama dengan 0 dan setidak-tidaknya ada 

satu entri pada diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk 

setiap i ≠ j, a ij =0. 

9.2.6 Matriks Skalar 

Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika 

matriks diagonal adalah matriks D, maka d 11 = d 22 = d .. ..= d nn 

9.2.7 Matriks Identitas 

Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-entri baik diatas maupun 

dibawah diagonal sama dengan nol dan entri pada diagonal sama dengan 1. 

9.2.8 Matriks 0 

Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan 0. 

175

9.2.9 Matriks Transpose 

Matriks transpose adalah matriks yang didapat dengan cara menukar posisi setiap entri 

dari baris menjadi kolom dan dari kolom menjadi baris. Jika terdapat matriks A = [a ij], 

maka transpose dari A (ditulis A T ) adalah A T = [a ji]. 

Contoh 9.1 

Jika A = , maka A T = 

9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri 

Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = A T ) maka matriks tersebut adalah 

matriks simetri. 

Contoh 9.2 

Jika A = , maka A T = 

Karena A = A T , maka A adalah matriks simetri. Sedangkan matriks skew- simetri adalah 

matriks yang memenuhi –A = A T . 

Contoh 9.3 

Misal A = , maka A T = , –A = 

Karena –A = A T , maka A adalah matriks skew-simetri. 

9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks 

Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, perkalian skalar dengan matriks, 

perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks. 

9.3.1 Penjumlahan 

Misal terdapat matriks A = [a ij] dan B = [b ij] yang masing-masing berukuran m x n. 

Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [c ij], dengan [c ij] = [a ij] + [b ij]. Perlu diingat, 

bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama. 

Contoh 9.4 

Misal A = B = 

Maka A + B = C = 

9.3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks 

Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [a ij], maka perkalian antara skalar c 

dengan matriks A adalah cA = [c.a ij], atau dapat ditulis dalam bentuk: 

cA = c = 

176

Contoh 9.5 

Jika A = maka 3A = = 

9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks 

Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama 

dan jumlah baris matriks kedua sama. Misal matriks A = [a ij] berukuran m x n dan 

matriks B = [b ij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B, ditulis AB, 

adalah sebuah matriks C = [c ij] yang berukuran m x p. Nilai dari cij adalah, 

Contoh 9.6 

Diketahui : 

A = B = 

Jika terdapart matriks C = A.B, maka 

C = 

C = 

9.3.4 Kombinasi linier matriks 

Jika A 1 , A 2, , A p adalah matriks yang mempunyai ukuran yang sama dan k 1, k 2 , k p 

adalah skalar, maka k 1A 1 + k 2A 2 + + k pA p disebut kombinasi linier dari A 1 , A 2, , A p 

Contoh 9.7 

Jika , 

A 1 = A 2 = A 3 = , 

tentukan A 1 + 3A 2 – 2A 3 

Penyelesaian 

A 1 + 3A 2 – 2A 3 = + 3 –2 

177

9.3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks 

Jika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks, maka berlaku: 

i) A + B = B + A hukum komutatif penjumlahan 

ii) A + (B + C) = (A + B) + C hukum asosiatif penjumlahan 

iii) A(BC) = (AB)C 

hukum asosiatif perkalian 

iv) A(B ± C) = AB ± AC 

hukum distributif kiri 

v) (B ± C)A = BA ± CA huklum distributif kanan 

vi) a(B ± C) = aB ± aC 

vii) (a ± b)C = aC ± bC 

viii) (ab)C = a(bC) 

ix) a(BC) = (aB)C = B(aC) 

x) (A T ) T = A 

xi) (A + B) T = A T ± B T 

xii) (cA) T =cA T 

xiii) (AB) T = B T A T 

9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix) 

Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan dengan penyajian sebuah sistem 

persamaan linier. Misal terdapat sistem persamaan linier, 

Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan matriks koeffisien, 

9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris 

Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika memenuhi: 

i) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan pada bagian bawah matriks 

ii) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol (disebut leading coefficient atau pivot ) 

harus terletak disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumnya. 

Contoh 9.8 

Matriks dalam bentuk eselon baris 

Contoh 9.9 

Matriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris 

Matriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang mempunyai bentuk eselon baris. 

178

9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi 

Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika: 

i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris 

ii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1 (selanjutnya disebut leading 1) dan 

satu-satunya elemen matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan. 

Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusus dari matriks eselon baris 

tereduksi 

Contoh 9.10 

Matriks dalam bentuk eselon tereduksi 

Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat ditransformasikan kedalam 

bentuk matriks eselon tereduksi dengan cara melakukan operasi baris elementer terhadap 

matriks tersebut. 

9.7 Operasi Baris Elementer 

Operasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu matriks adalah: 

i) Perkalian sembarang baris dengan skalar 

ii) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu 

iii) Penjumlahan antara a) dan b). 

Ketiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE) 

Contoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris dan kolom: 

i) R 3 2R 3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kali baris ke tiga 

ii) R 1 R 2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertukarkan. 

iii) R 2 R 2 + 3R 3 artinya baris kedua diganti dengan baris kedua ditambah dengan tiga kali 

baris ketiga 

Contoh 9.11 

Lakukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matriks eselon baris tereduksi. 

Penyelesian 

Elemen pivot 

2 1 -1 

A = 

5 3 4 

4 7 5 

Elemen dieliminasi 

Langkah pertama 

Ubah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris pertama dengan 1/2. 

179

9.8 Determinan 

Determinan adalah besaran atau nilai yang berhubungan dengan matriks persegi. Jika 

determinan suatu matriks persegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi tersebut 

mempunyai balikan (inverse). Sebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sama 

dengan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan. 

, maka determinan matriks A adalah 

Contoh 9.12 

Penyelesaian 

9.8.1 Sifat-sifat determinan 

i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama atau 

det A = det A T 

ii) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B) 

iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnya 

iv) Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari mempertukarkan dua buah baris 

matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A 

v) Jika matriks A = 

180

a) 

b) 

vi) Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama dengan nol, maka 

determinan matriks tersebut sama dengan nol. 

9.8.2 Kofaktor 

Misal A = [a ij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang 

diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A. 

Determinan dari M disebut minor dari a ij (selanjutnya ditulis M ij). Sedangkan c ij adalah 

kofaktor a ij dan didefinisikan sebagai, 

Contoh 9.9 

Diketahui 

Tentukan minor dan kofaktor dari a 11dan a 13 

Penyelesaian 

9.8.3 Determinan dari matriks n x n 

Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai 

berikut. 

Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah 

atau 

Contoh 9.10 

Penyelesaian 

Karena A adalah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara 1, 2, atau 3. Kita tentukan i=1 

Dari rumus 9.4a didapat, det A = 

181

det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) = –8 + 9 – 30 = –29 

Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2. 

Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan matriks orde 3 dapat juga 

menggunakan cara Sarrus. 

–( ) –( ) –( ) 

Maka det A = 

a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 

a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 

+( ) +( ) +( ) 

A =a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 34 + a 13 a 21 a 32 – a 31 a 22 a 13 – a 32 a 23 a 11 – a 33 a 21 a 12 

9.9 Adjoin Matriks 

 

Contoh 9.11 

, tentukan adjoin A 

Penyelesaian 

182

9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix) 

Jika matriks A = [a ij] adalah matriks persegi n x n, maka balikan (inverse) dari A 

dilambangkan dengan merupakan matriks n x n sedemikian, sehingga memenuhi, 

Salah satu cara untuk menentukan balikan matriks adalah dengan mencari adjoin dan 

determinan dari matriks yang dicari balikannya terlebih dahulu. Setelah itu gunakan 

Contoh 9.12 

Penyelesaian 

, tentukan 

9.10.2 Balikan matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan 

Untuk menentukan balikan matriks A dengan eliminasi Gauss-Jordan berarti kita harus 

melakukan eliminasi matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi. 

183

Misal A adalah matriks non-singular n x n. 

AB = I jika dan hanya jika B = 

Bukti 

AB = I 

 

atau AB I 

Berarti, jika kita berhasil mengeliminasi menjadi , maka kita dapat memastikan 

bahwa X = 

Contoh 9.13 

Dari contoh 9.12, tentukan 

Penyelesaian 

dengan metode eliminasi Gauss-Jordan 

R 2 –2/3 R 1 

R 3 –R 1 

R 3 –6/7 R 2 

R 1 + 2/3R 2 

R 2 +4/7R 3 

R 1–9/7R 3 

Soal-soal 

1. Diketahui matriks-matriks : 

a) Tentukan: 

i) A + B iv) 2A + 3B – 2C 

ii) A – B 

v) C T – B 

iii) 3(A – B) 

vi) A + B T 

184

) Lakukan operasi baris berikut ini pada matriks A (soal nomor 1) 

 

 

2. Jika matriks-matriks, 

Tentukan 

a) K x L T 

b) L x K T 

4. Dari matriks-matriks berikut, tentukan matriks-matriks yang mempunyai bentuk eselon 

baris yang tereduksi! Berikan alasan! 

5. Ubah matriks , sehingga menjadi bentuk eselon baris yang tereduksi! 

185

BAB X 

SISTEM PERSAMAAN LINIER 

10.1 Definisi 

Sebelum membahas sistem persamaan linier, perlu dijelaskan kembali bahwa yang 

dimaksud persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih 

peubah. Sebagai contoh persamaan ax + by + cz + dw = h adalah persamaan linier yang 

terdiri dari empat peubah, yaitu x, y, z, dan w. Sedangkan a, b, c, dan d adalah koefisienkoefisien. 

Jika nilai h pada persamaan tersebut sama dengan nol, maka persamaan linier 

tersebut dikatakan persamaan linier homogen. Apabila nilai h tidak sama dengan nol, maka 

dikatakan persamaan linier tak homogen. 

Jika persamaan linier adalah persamaan seperti tersebut diatas, maka sistem persamaan 

linier terdiri dari beberapa persamaan linier seperti yang ditunjukkan berikut ini. 

b 

b 

Jika seluruh nilai b 1, b 2, … , b m sama dengan nol, maka persamaan 10.1 disebut sistem 

persamaan linier homogen. Akan tetapi, jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b 1, 

b 2, … , b m tidak sama dengan nol, maka persamaan 10.1 disebut sistem persamaan linier tak 

homogen. 

Persamaan 10.1 dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut. 

b 

b 

b 

(10.2) 

b 

Contoh 10.1 

Berikut diberikan beberapa contoh sistem persamaan linier 

b 

Contoh 10.2 

Tulis contoh 10.1 dalam bentuk matriks 

Penyelesaian 

b 

10.2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier 

10.2.1 Penyelesaian dengan Balikan Matriks 

Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks. 

Jika dimisalkan, 

186

b 

, maka Ax = b 

b 

Sehingga, 

Persamaan 10.3 digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan linier dengan 

cara menentukan balikan matriks A terlebih dahulu. 

Contoh 10.3 

Selesaikan sistem persamaan linier berikut! 

Penyelesaian 

10.2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss 

Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem 

persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 

10.1 ditulis dalam bentuk matriks yang diperluas (augmented matrix). 

b 

b 

b 

Untuk melakukan eliminasi Gauss, kita harus mereduksi matriks A menjadi bentuk 

eselon baris atau matriks segitiga atas. 

Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi 

Gauss: 

1. Jika a 11 ≠ 0, maka a 11 merupakan elemen pivot. Jika a 11 = 0, lakukan pertukaran 

baris. 

2. Eliminasi a 21 dengan menggunakan rumus R 2 – (a 21/a 11)R 1 

a 31 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 31/a 11)R 1 

a m1 dengan menggunakan rumus R m – (a m1/a( m-1)1)R (m-1) 

3. Eliminasi a 32 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 32/a 22)R 2 

a 42 dengan menggunakan rumus R 4 – (a 42/a 22)R 2 

a m2 dengan menggunakan rumus R m – (a m2/a 22)R 2 

187

4. dst. sampai baris m dan kolom ke (n–1) 

Contoh 10.3 

Selesaikan sistem persamaam linier berikut! 

Penyelesaian: 

R 2 – ½ R 1 

R 3 – 3R 1 

R 3 – (–16/3)R 2 

11/3 x 3 = –64/3 x 3 = –64/11 

Untuk menentukan nilai x 1 dan x 2 lakukan substitusi balik! 

3/2 x 2 +1/2x 3 = –5/2 3/2 x 2 = 32/11 – 5/2 x 2 = 3/11 

x 1 + 3/2x 2 + 1/2x 3 = 5/2 x 1 = – 9/22 +32/11+ 55/22 x 1 = 110/22 = 5 

10.2.3 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan 

Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan metode 

eliminasi Gauss-Jordan. Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk [A|b]. 

Selanjutnya lakukan transformasi sehingga matriks A menjadi matriks eselon baris 

yang tereduksi atau matriks identitas [I]. 

Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi 

Gauss-Jordan: 

1. Jika a 11 ≠ 0, maka a 11 merupakan elemen pivot. Jika a 11 = 0, lakukan pertukaran 

baris. 

2. Jika a 11 ≠ 1, bagi elemen a 11 dengan a 11, sehingga a 11=1 

3. Eliminasi a 21 dengan menggunakan rumus R 2 – a 21 R 1 

a 31 dengan menggunakan rumus R 3 – a 31 R 1 

a m1 dengan menggunakan rumus R m – a m1R m– 1 

4. Jika setelah langkah 3, a 22 ≠ 0, maka a 22 merupakan elemen pivot. Jika a 22 = 0, 

lakukan pertukaran baris. 

5. Jika a 22 ≠ 1, bagi elemen a 22 dengan a 22, sehingga a 22=1 

6. Eliminasi a 12 dengan menggunakan rumus R 1 – a 12 R 2 

a 32 dengan menggunakan rumus R 3 – a 32 R 2 

a m2 dengan menggunakan rumus R m – a m2 R 2 

7. dst. sampai seluruh elemen di luar diagonal terleliminasi, sehingga matriks A 

berhasil ditransformasikan menjadi matriks identitas. 

188

Contoh 10.4 

Selesaikan sistem persamaam linier berikut! 

Penyelesaian: 

, , 

10.2.4 Penyelesaian dengan Aturan Cramer 

Selain metode penyelesaian yang telah dijelaskan terdahulu, sistem persamaan 

linier dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Aturan Cramer. 

Telah dijelaskan terdahulu bahwa sistem persamaan linier dapat ditulis dalam 

bentuk matriks berikut. 

Aturan Cramer 

b 

b 

b 

x n = Nilai variabel yang akan dicari 

, b 

189

Dari persamaan (10.4) secara tersirat diketahui bahwa Aturan Cramer hanya dapat 

digunakan jika Artinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier 

harus sama dengan jumlah variabel. 

Contoh 10.5 

Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan menggunakan Aturan Cramer! 

Penyelesaian 

10.3 Soal-soal 

Diketahui sistem persamaan linier 

Tentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan metode: 

a. Balikan matriks 

b. Gauss 

c. Gauss-Jordan 

d. Cramer 

10.4 Ringkasan 

b 

b 

b 

190

Jika seluruh nilai b 1, b 2, … , b m = 0 maka sistem persamaan linier disebut homogen. 

Jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b 1, b 2, … , b m 0 sitem persamaan linier 

disebut tak homogen. 

Sistem persamaa linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. 

b 

b 

Jika 

Maka Ax = b 

b 

b 

b 

b 

Penyelesaian dengan Balikan Matriks 

Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks. Jika 

dimisalkan, 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss 

Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier 

dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 10.1 ditulis dalam bentuk 

matriks yang diperluas (augmented matrix). 

b 

b 

b 

C adalah matriks segitiga atas. 

191

Download (3918Kb)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?