Appunti su giochi e istituzioni: 4 - Università Cattolica del Sacro Cuore

⊆ p(T*). I nodi appartenenti a p(T*) ma non ad s(M(p 2 (T*))) sono
quelli che non verranno mai raggiunti dal gioco se il giocatore chiamato
a decidere allo stadio N-1 si comporta razionalmente.
La procedura viene reiterata allo stadio N-2. Si costruisce
l’insieme dei predecessori dei predecessori dei nodi appartenenti a
T*, p(p(p(T*))) = p 3 (T*). Si individua l’insieme dei nodi associati ai
nodi terminali che danno le vincite massime al giocatore chiamato a
decidere allo stadio N-2, M(p 3 (T*)) ⊆ p 3 (T*), e così via di stadio in
stadio fino a risalire al primo. Che con questa procedura si arrivi al
primo è garantito dal fatto che M(p 0 (T*)) = T* non è vuoto e che se
M(p j-1 (T*)) non è vuoto, non lo è neppure M(p j (T*)). Inoltre
M(p N (T*)) contiene un unico punto, il nodo iniziale.
Ogni successione di mosse n j tale che, per ogni j, n j ∈
M(p j (T*)) definisce un equilibrio di Nash per il gioco in questione. La
costruzione precedente garantisce che un equilibrio di Nash esiste per
ogni gioco finito ad informazione perfetta e per di più induce a giocare
un equilibrio di Nash in ciascuno dei suoi sottogiochi. Per questa ragione
si dice che l’equilibrio in questione è perfetto nei sottogiochi.
Dimostrare l’esistenza di un equilibrio perfetto nei sottogiochi
ovviamente dimostra che almeno un equilibrio di Nash esista ma,
come si vedrà, non necessariamente un equilibrio di Nash è perfetto
nei sottogiochi, ragion per cui una costruzione come quella appena
esaminata non individua tutti gli equilibri di Nash.
Il concetto di equilibrio perfetto nei sottogiochi può essere
applicato anche ai giochi con informazione imperfetta, ma le estensioni
in questa direzione non verranno esaminate. 35
La tecnica adottata per dimostrare il teorema di Zermelo è
molto importante. Nei giochi finiti ad informazione completa, suggerisce
di partire dallo stadio finale e procedere a ritroso sulla base delle
scelte che stadio dopo stadio devono essere state fatte da giocatori
razionali, che mirano alla massimizzazione dei propri guadagni, guadagni
che, nelle condizioni postulate, sono certi. Essa prende il nome
35 Chi fosse interessato può cominciare, ad esempio, col cap. 9 di MasColell-Whinston-Green
(1995), in cui si trova anche una dimostrazione più
rigorosa e compatta del teorema di Zermelo.
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