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Tecniche di classificazione e predizione delle attività motorie per telemonitoraggio e teleriabilitazione Al passaggio successivo associa ogni punto d'ingresso al cluster il cui centroide è più vicino ad esso ed identifica iterativamente i K cluster S1, S2, …, SK che minimizzano il funzionale sum-of-squared error (SSE): K ∑∑ SSE = || x − z || i= 1 x∈S Quindi vengono ricalcolati i centroidi per i nuovi cluster e così via, finché l'algoritmo non converge. Si dimostra che l’algoritmo converge sempre in un numero finito di passi, ossia che, dopo un certo numero i di iterazioni, i centri-cluster non si spostano più (coincidono con quelli dell’iterazione precedente). Il numero i di iterazioni necessario a raggiungere la convergenza dipende dai dati e dalla scelta dei centri-cluster iniziali (schema dell’algoritmo in figura 8): Figura 8 – Procedimento dell’algoritmo del “k-means” i i 2 32
Tecniche di classificazione e predizione delle attività motorie per telemonitoraggio e teleriabilitazione 2.2 La classificazione bayesiana Per introdurre la classificazione bayesiana è necessario introdurre alcuni concetti di probabilità e il teorema di Bayes. Sappiamo che con la notazione p(A | B) si denota la probabilità condizionata dell’evento A dato B, che in uno spazio degli eventi che non è quello originario, ma è ristretto a B, identifica la probabilità che A si verifichi negli stati del mondo nei quali B si verifica. Potremmo anche dire “la probabilità che l’enunciato A sia vero negli stati del mondo in cui l’enunciato B è vero”. Un caso particolare è p(A | B) = 1: sapendo che B si è verificato, sappiamo che A è certo. Se invece p(A | B) = 0: sapendo che B si è verificato, sappiamo che A è impossibile. Se p(A | B) > p(A) allora il verificarsi di B facilita, rende più probabile il verificarsi di A. Se le due probabilità sono uguali, allora l’informazione su B è irrilevante per prevedere A, B non facilita né ostacola A: in tal caso si dice che i due eventi sono indipendenti. Vale la seguente relazione (il cosiddetto teorema delle probabilità composte): p( A ∪ B) = p( A | B) p( B) Il teorema delle probabilità composte, come si è visto, porta immediatamente alla seguente identità p( A | B) p( B) = p( B | A) p( A) poiché entrambi i membri uguagliano p( A∪ B) Questa identità si trova in genere scritta in questo modo ( Teorema di Bayes): 33
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