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Tecniche di classificazione e predizione delle attività motorie per telemonitoraggio e teleriabilitazione 2.2.1 Stima della densità di probabilità condizionata: metodi parametrici e non parametrici Il primo problema da affrontare nella costruzione di un classificatore bayesiano è quello di stimare la densità di probabilità condizionata della nostra variabile rispetto all’appartenenza ad una classe. Esistono metodi parametrici, che suppongono nota la forma della densità di probabilità e si riconducono ad una stima dei parametri, e metodi non parametrici, che non ipotizzano informazioni a priori sulle caratteristiche della densità di probabilità (Figura 9) Figura 9 – Schema degli approcci parametrici e non parametrici Tra i metodi parametrici quello classico, e anche da noi implementato, suppone nota la forma della densità di probabilità come una gaussiana ( n-dimensionale ) e la fase 38
Tecniche di classificazione e predizione delle attività motorie per telemonitoraggio e teleriabilitazione di training prevede dunque la stima dei soli parametri che in questo caso sono la media e matrice di covarianza. In generale, una giustificazione della grande diffusione dei modelli gaussiani è rappresentata dal teorema del limite centrale, secondo cui la somma di N variabili aleatorie indipendenti converge in distribuzione ad una gaussiana per N→+ ∞. Da questo se ne deduce che un grande numero di fenomeni stocastici possono essere descritti con un modello di tipo gaussiano che può essere espresso nella seguente forma: 1 ⎡ 1 t −1 ⎤ p( x) = exp − ( x − m) ∑ ( x − m) n/2 1/2 (2 π ) | ∑ | ⎢ ⎣ 2 ⎥ ⎦ Una volta definita la forma della densità di probabilità, tramite i dati di training è possibile fare una stima dei parametri della forma d’onda. Nel caso in questione, tramite i nostri dati a disposizione, possiamo stimare la media e la matrice di covarianza, che risulteranno anch’essi delle variabili aleatorie. Date N osservazioni aleatorie indipendenti, si può dimostrare che le stime a massima verosimiglianza di media e matrice di covarianza sono: 1 N mˆ = ∑ x k = 1 N ˆ 1 ( ˆ )( ˆ ) 1 t N ∑ = ∑ x k k − m xk − m = N Invece in un contesto non parametrico non si suppone nessuna forma per la densità di probabilità condizionata e si stima direttamente dai dati di training. Supponiamo che xi sia uno di questi campioni e che sia contenuto in una regione dello spazio delle features (S). Possiamo definire: k 39
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