X - techmat.vgtu.lt

Matematika 3
doc. dr. Vadimas Starikovičius
vs@vgtu.lt
www.techmat.vgtu.lt/~vs
VGTU Matematinio modeliavimo katedra
VGTU Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija

Modulio kodas - FMMMB03701
Modulio apimtis - 4 kr. (6 ECTS kr.)
Mokymo metodai:
• Paskaitos – 48 val. per semestrą
• Pratybos – 32 val. per semestrą
Vertinimas = Egzaminas (50%) + Kolokviumas (30%)
+ Pratybos (20%)

LITERATŪRA
Pagrindinė:
J. Aksomaitis. Tikimybių teorija ir statistika : vadovėlis aukštųjų mokyklų
studentams. - Kaunas : Technologija, 2000.
V. Čekanavičius, G. Murauskas. Statistika ir jos taikymai.- Vilnius, TEV, 2003, t.t.1-2.
J. Raulynaitis. Tikimybių teorija. – Vilnius, Technika, 2000
J. Raulynaitis ir kt. Matematinė statistika. – Vilnius, Technika, 1997
J. Raulynaitis ir kt. Matematinės statistikos uždavinynas. – Vilnius, Technika, 1997
Papildoma:
A. Apynis, E. Stankus. Matematika. - Vilnius, TEV, 2001 (10-11 skyriai)
J. Kruopis. Matematinė statistika. – Vilnius, 1993
Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей, М.: Наука, 1965.
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика. – Москва,
Юнити-Дана, 2002
3

Tikimybių teorija - mokslas apie atsitiktinius įvykius ir dydžius, jų
matematinė analizė.
Tai yra tokia matematikos sritis, su kurios pagalba atrandami ir
nagrinėjami atsitiktinių reiškinių dėsningumai.
Atsirado 17 a. iš kombinatorikos, sprendžiant azartinių lošimų
uždavinius. Pradininkai – B. Paskalis (Pascal), P.Ferma (Fermat), K.
Hiugensas (Huygens), J.Bernulis (Bernoulli).
Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos metodai naudojami fizikoje,
biologijoje, ekonomikoje, bankininkystėje, medicinoje, lingvistikoje ir t.t.
4

Tikimybinis matematinis modelis
Norint analizuoti atsitiktinį reiškinį (arba eksperimentą) tikimybiniais metodais
turi būti sudarytas jo tikimybinis matematinis modelis, t.y. turi būti formaliai
apibrėžtos:
1) elementariųjų įvykių erdvė Ω;
2) jos poaibių σ algebrą F, kurios elementai yra atsitiktiniai įvykiai;
3) funkcija P, nusakanti kiekvieno atsitiktinio įvykio A tikimybę P(A).
Trejetas (Ω, F, P) vadinamas tikimybine erdve.
5

Elementariųjų įvykių erdvė Ω
Atsitiktinis įvykis - tai bandymo/eksperimento/atsitiktinio proceso rezultatas.
Įvykiai, negalintys pasirodyti kartu, vadinami nesutaikomaisiais.
Nesutaikomieji įvykiai. neskaidomi į atskirus įvykius, vadinami
elementariaisiais.
Įvykiai, susidedantys iš elementariųjų, vadinami sudėtiniais.
Sakysime, kad elementariųjų įvykių erdvė Ω yra sudaryta, jeigu yra žinomi visi
jos elementai (elementarieji įvykiai) arba nurodytas jų gavimo algoritmas.
Pavyzdžiai:
1) Metamas lošimo kauliukas. Šio atsitiktinio eksperimento elementariųjų
įvykių erdvė -
Ω
=
{ ω 1,
ω 2,
ω 3,
ω 4,
ω 5,
ω 6}
2) Tiriamas lempos ilgaamžiškumas. Lempos veikimo trukmės elementariųjų
įvykių erdvė -
Ω
=
{ ω = t : t ∈ [0, ∞
Ω gali būti baigtinė, begalinė skaičioji ir neskaičioji, vienmatė, daugiamatė, t.t.
)}.
6

Atsitiktinių įvykių aibė F, kai Ω yra baigtinė.
Kai Ω yra baigtinė, apibrežiame F kaip visų erdvės Ω poaibių aibę.
Aibės F elementus (žymėsime didžisiomis raidėmis, pvz. A) vadinsime
atsitiktiniais įvykiais, t.y.
A ∈
F
Įvykis A=Ω, t.y kuris būtinai įvyksta, vadinamas būtinuoju įvykiu.
Įvykis A=Ø, t.y kuris negali įvykti, vadinamas negalimuoju įvykiu.
Pavyzdys. Metamas lošimo kauliukas. Užrašykime keletą atsitiktinių įvykių.
1) Atvirto lyginis akučių skaičius. A = { ω
2,
ω
4,
ω
6}
2) Atvirto ne daugiau kaip 3 akutės. B = { ω
1,
ω
2,
ω
3}
3) Atvirtusių akučių skaičius dalijasi iš 7. C=Ø.
4) Atvirto sveikasis akučių skaičius. D=Ω.
⊂
Ω
.
7

Veiksmai su įvykiais
Sakykime, duota fiksuota elementariųjų įvykių erdvė Ω ir jos poaibių sistema F..
Jei pasirodžius įvykiui A pasirodo įvykis B, tai sakoma, kad įvykis A yra įvykio
B atskiras atvejis ir rašoma A ⊂ B. Tai reiškia, kad kiekvienas elementarusis
įvykis, įeinantis į A ( ω ∈ A) , įeina į B ( ω ∈ B)
(elementariųjų įvykių aibė A yra
elementariųjų įvykių aibės B poaibis).
Ω
A
B
⊂ ⊂ ⊂
Bet kuriam A teisingos formulės: Ø A Ω ir A A.
Jei A B ir B C, tai A C.
⊂
⊂ ⊂ ⊂
⊂
Jei A B ir B A, tai sakoma, kad šie įvykiai lygūs ir rašoma A=B.
Bet kuriam A teisingos formulės: A = A. Be to, jei A = B, tai B = A. Jei A = B ir
B = C , tai A = C.
8

Veiksmai su įvykiais
Dviejų įvykių A ir B sąjunga A B = { ω : ω ∈ A arba ω ∈ B} (arba suma A+B)
vadinamas toks įvykis, kai pasirodo bent vienas iš dvejų įvykių.
A B=B A, (A B) C=A (B C). Jei A ⊂ B, tai A B=B. Ø A=A, Ω A= Ω,
A A=A.
Ω
A
B
Dviejų įvykių A ir B sankirta A B = { ω : ω ∈ A ir ω ∈
vadinamas toks įvykis, kai pasirodo ir A, ir B.
A B=B A, (A B) C=A (B C).
Jei A ⊂ B, tai A B=A. Ø A= Ø, Ω A= A, A A=A.
Sumos ir sandaugos veiksmai susieti lygybėmis
(A+B)C=AC+BC
(AB)+C=(A+C)(B+C)
Ap. Įvykiai A ir B yra nesutaikomi, jei A B= Ø.
Ω
A
B}
B
(arba sandauga AB)
9

Veiksmai su įvykiais
Dviejų įvykių A ir B skirtumų A \ B = { ω : ω ∈ A, bet ω
vadinamas toks įvykis, kai A pasirodo, o B nepasirodo.
∉
B}
(arba A-B)
A
B
Ω
Ap. Įvykis Ω-A vadinamas priešingu įvykiui A ir žymimas A .
A
A
A ir A suma yra būtinasis įvykis: A + A = Ω . Teisingos lygybės:
A \ B = A B, A B = A B, A B = A B.
10

Atsitiktinių įvykių σ algebrą F.
Kai Ω yra begalinė, apibrežiame F kaip tokių erdvės Ω poaibių aibę, kad
patenkintos 3 aksiomos:
1)
Ω
2) Kai , tai ;
3) Jei
∈ F ;
A ∈
A ∈
Tokia poaibių aibė vadinama σ algebra. Atsitiktiniais įvykiais vadinami σ
algebros F elementai, t.y.
σ algebra F yra uždara veiksmų su atsitiktiniais įvykiais atžvilgiu, t.y.
atliekdami veksmus su atsitiktiniais įvykiais (F elementais), gauname
atsitiktinius įvykius (F elementus):
1) Suma (sąjunga): akivaizdu (3 aksioma).
2) Sandauga (sankirta):
3) Skirtumas:
F A ∈ F
F, kai k = 1, ∞ , tai
∞ k
k = 1
kai A ∈
A ∈
F.
A
k
.
kai A ∈ F ir B ∈ F, tai A B ∈ F, nes A B =
F ir B ∈ F, tai A \ B ∈ F, nes A \ B = A B ∈ F.
A B ∈
F.
11

Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Tikimybės savybės.
Tikimybinės erdvės (tikimybinio matematinio modelio) (Ω, F, P) funkcija P,
nusakanti kiekvieno atsitiktinio įvykio A tikimybę P(A) (angliškai -
Probability) gali būti apibrėžta įvairiais būdais. Žinomi klasikinis, statistinis,
geometrinis būdai.
1933 metais A.Kolmogorovas suformulavo abstrakčias matematines aksiomas,
kurias turi tenkinti funkcija P (kaip ji bebūtų apibrėžta konkretaus
eksperimento modelyje), kad būtų gautas neprieštaringas modelis.
Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Įvykio A tikimybę vadiname skaitinę
funkciją P=P(A), apibrėžtą σ algebroje F ir tenkinančią aksiomas:
1) P(A) ≥ 0;
2) P(Ω)=1;
3a) Jei F baigtinė: P (A B) = P(A) + P(B), kai A B = 0.
∞
3b) Jei F begalinė: P(
A
k
) = ∑ ∞ P(A
k
), kai Ak
A
m
= 0 su visais k ≠ m.
k = 1 k = 1
Įrodykite, kad taip apibrėžta funkcija P turi šias savybes:
1) P(Ø)=0;
2) Jei A ⊂ B, tai P(B\A) = P(B)-P(A) ir P(A) ≤ P(B);
3) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
4) P(A)
= 1 − P(A).
12

Aksiominis tikimybės apibrėžimas yra bendras, neprieštringas, bet abstraktus.
Jis nenurodo algoritmo, kaip apskaičiuoti tikimybę konkrečiu atveju.
Pasirodo, kad Kolmogorovo aksiomų sistema yra nepilna, t.y. tikimybę galima
apibrėžti nevienareikšmiškai, t.y. keliais būdais.
Pavyzdys. Dalambero klaida.
Taisyklingoji moneta metama du kartus. Sudarykite šio eksperimento
matematinį modelį ir apskaičiuokite įvykio A - {nors vieną kartą atvirto
herbas} tikimybę.
13

Jei
Klasikinis tikimybės apibrėžimas
elementariųjų įvykių erdvė yra baigtinė
{ ω
1,
ω
2,
,
ω
n},
elementarieji įvykiai yra vienodai tikėtini,
tai įvykio A = { ω
j
, ω
j
, ,
ω
j
}, 1 ≤ j1
, j2,
,
jk
≤ n
1 2
k
tikimybė apibrėžiama kaip
k
P (A) = ,
n
čia n - atitinkamo bandymo vienodai galimų elementariųjų įvykiu bendras
skaičius, k – vienodai galimų elementariųjų įvykių, sudarančių įvykį A.
skaičius. Dar sakoma, kad k yra elementariųjų įvykių, palankių įvykiui A,
skaičius. Jei įvykis A yra elementarusis, lai k = 1.
Klasikinis tikimybės apibrėžimas siejamas su P. Laplaso (Laplace) ir
J. Bernulio (Bernoulli) vardais.
Įsitikinkite, kad klasikinė tikimybė tenkina aksiominės tikimybės aksiomas.
Ω
=
Klasikinės tikimybės metodas gali būti taikomas atsitiktiniems reiškiniams,
kuriems būdingas nurodytas simetriškumas.
14

Klasikinių tikimybių skaičiavimas. Kombinatorika.
Kombinacijų daugybos taisyklė
Jei pirmiesiems elementams a parinkti yra m būdų, o antriesiems elementams
b parinkti yra n būdų, tai poroms (a, b) parinkti yra mn būdų. Jei pirmiesiems
elementams o parinkti yra m būdų, antriesiems elementams b parinkti - n būdų,
o tretiesiems elementams c parinkti - k būdų, tai trejetams (a, b, c) parinkti yra
mnk būdų.
Yra trys pagrindinės junginių rūšys: gretiniai, kėliniai ir deriniai. Be to,
kiekvienas iš jų gali būti be pasikartojimų ir su pasikartojimais.
Gretintai be pasikartojimu. Iš k skirtingų elementų, kurių iš viso yra n,
sudaromi junginiai. Jie laikomi skirtingais, jei skiriasi bent vienu elementu arba
yra sudaryti iš tų pačių elementų, bet skiriasi elementų išdėstymo tvarka. Tokie
junginiai vadinami gretiniais be pasikartojimų. Jų bendras skaičius žymimas A n
(angliškai - arrangement) ir apskaičiuojamas pagal formulę
A k n
= n(
n −
1)...( n −
Pavyzdžiai:
( n − k)!
1) Yra 17 komandų. Keliais būdais gali būti paskirstyti aukso, sidabro ir
bronzos medaliai?
Atsakymas. 17 x 16 x 15 = 4080.
2) Grupėje yra 25 studentai. Keliais būdais galima išrinkti grupės seniūną ir
jo pavaduotoją?
Atsakymas. 25 x 24 = 600.
k +
1) =
n!
15

Klasikinių tikimybių skaičiavimas. Kombinatorika.
Gretimai su pasikartojimais. Iš n skirtingų elementų sudaromi k-elemenčiai junginiai.
Junginį gali sudaryti ir vienodi elementai. Du junginiai laikomi skirtingais, jei skiriasi juos
sudarantys elementai arba elementų išdėstymo tvarka. Tokie junginiai vadinami gretiniais
su pasikartojimais. Jų bendras skaičius apskaičiuojamas pagal formulę
A =
k
n
n
Kėliniai be pasikartojimų, n-elemenčiai junginiai, sudaryti iš n skirtingų elementų,
besiskiriantys tik elementų išdėstymo tvarka, vadinami kėliniais be pasikartojimų. Jų
bendras skaičius žymimas ir apskaičiuojamas taip: P n
= n! (angliškai - permutation).
Kėliniai su pasikartojimais. Jei iš visų n elementų yra k skirtingų tipų: n 1
- pirmojo tipo
elementų, t. y. elementų a, n 2
- antrojo tipo elementų, t. y. elementų b, n 3
- trečiojo tipo
elementų, t. y. elementų c, ir t.t., n k
, - k-tojo tipo elementų, t. y. elementų x; čia
n=n 1
+n 2
+n 3
+...+n k .
Kėlinių su pasikartojimais formulė:
n!
P ( n1,
n2,...,
nk
) =
n ! n !... n !
Deriniai (be pasikartojimų). Tai visi galimi k-elemenčiai junginiai, sudaryti iš n elementų
pok, besiskiriantys bent vienu elementu (jų išdėstymo tvarka nesvarbi). Derinių
(combination) bendras skaičius apskaičiuojamas pagal formulę
k
k n!
An
Cn =
=
k!(
n − k)!
k!
k
1
2
k
16

Statistinis tikimybės apibrėžimas
Tarkime, kad turime sąlygų kompleksą K, kurį galime realizuoti daug kartų.
Kiekvieną kartą, jį realizavus, atsitiktinis įvykis A gali įvykti arba neįvykti.
Pažymėkime m n
(A) įvykio A pasirodymų skaičių, atlikus n eksperimentų.
Santykis m n
(A) / n = ν n
(A) yra vadinamas įvykio A statistiniu dažniu.
Imkime paprasčiausią eksperimentą: monetos mėtymą. Tegu įvykis A – herbo
atvirtimas. Metus ją n kartų (pvz., 10) nesunkų apskaičiuoti herbo atvirtimų (t.y.
įvykio A) statistinį dažnį.
Kas
G. Buffon
W. Feller
K.Pearson
Kada
XXI a.
XXI a.
XVIII a.
XX a.
XX a.
XXI a.
n
10
10
4040
10000
24000
100000
m n
(A)
2048
4979
12012
ν n
(A)
0,5069
0,4979
0,5005
?
Matome, kad statistinis dažnis, kai bandymų skaičius serijose yra didelis,
svyruoja nedideliame intervale. Sakome, kad toks statistinis dažnis yra stabilus.
Statistinis tikimybės apibrėžimas. Įvykio A tikimybe vadiname skaičiu P(A),
apie kurį telkiasi įvykio santykiniai dažniai, kai eksperimentų skaičius n serijose
yra didelis.
Taigi herbo atvirtimo tikimybe galime laikyti P(A) = ½.
17

Statistinis tikimybės apibrėžimas
Kitas pavyzdys. Naujagimių registravimo duomenys rodo, kad kasmet
berniukų gimsta maždaug 51%. Vadinasi, berniuko gimimo tikimybę galime
laikyti lygia 0,51.
Gamybos brokas, techninių sistemų sutrikimai, susirgimai, mirtingumas,
meteorologiniai reiškiniai ir t.t. - tai masinių atsitiktinių reiškinių pavyzdžiai, su
jiems būdingu statistinių dažnių stabilumu.
Tokiems reiškiniams apibūdinti taikomas statistinis tikimybių skaičiavimo
metodas.
Pastaba. Statistinis įvykio A dažnis tenkina tikimybės aksiomas. Įsitikinkite.
18

Geometrinis tikimybės apibrėžimas
Tarkime, elementariųjų įvykių erdvė Ω yra Euklido erdvės R n (n=1,2,3)
baigtinio mato (ilgio, ploto, tūrio) sritis, o elementarusis įvykis ω bet kuris Ω
taškas.
Šiuo atveju negalime taikyti klasikinio tikimybės apibrėžimo, nes gautume,
kad P(ω)=0, nes taškų skaičius yra begalinis.
Negalime laikyti atsitiktiniu įvykiu bet kokį srities Ω poaibį. Atsitiktiniu
įvykiu laikysime bet kokį išmatuojama (turintį ilgį, plotą, tūrį) erdvės Ω
poaibį.
Vienodo tikėtinumo (galimumo) principą siejame ne su atskirais
elementariais įvykiais, o su sritimis: galimybės atsitiktinai pasirinkti tašką
iš sričių, turinčių vienodą matą, yra vienodos.
Jei šis principas galioja, tai įvykio A tikimybę apibrėžiame taip:
| A |
P(A) = ,
| Ω |
čia |A| - srities A matas, t.y. geometriniu būdu apibrėžta tikimybė yra ilgių,
plotų arba tūrių santykis.
Toks apibrėžimas tenkina aksiominio apibrėžimo sąlygas. Įsitikinkite.
19

Tikimybių sudėties teorema
1 teorema. Jei A ir B yra nesutaikomieji įvykiai, tai P(A+B)=P(A)+P(B).
Pastaba. Šis teigimys Kolmogorovo aksiominiame tikimybės apibrėžime
laikomas aksioma.
Išvada. Jei A, B, C yra nesutaikomieji įvykiai, tai
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
2 teorema. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Išvada. P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).
Kai sumuojamas didelis skaičius sutaikomųjų įvykių tenka atlikti daug
skaičiavimų. Kartais rezultatą galima gauti greičiau panaudojant formule
P(
n
k = 1
A
k
) = 1−
P(
n
k = 1
A
k
).
20

Sąlyginės tikimybės. Tikimybių daugybos teoremos.
Įvykio A sąlyginė tikimybė P(A|B) tai tokia įvykio A tikimybė, kuri
apskaičiuojama žinant, kad įvykis B yra pasirodęs. Jos aksiominis apibrežimas:
P(A|B)=P(AB) / P(B), (P(B) > 0).
Analogiškai P(B|A)=P(AB) / P(A), (P(A) > 0).
Akivaizdu, kad P(A|Ω)=P(A) ir P(A|A)=1.
Tikimybių daugybos teorema. P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).
1 Išvada. P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). (Įrodykite)
Jei įvykio B pasirodymas nekeičia įvykio A tikimybės, t.y. P(A|B)=P(A), tai
natūralu įvykį A laikyti nepriklausomu nuo įvykio B.
Iš daugybos teoremos: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A) => P(B|A)=P(B), t.y. B
nepriklauso nuo A, t.y. nepriklausomumas yra simetriškas.
2 Išvada. Jei A ir B yra nepriklausomieji įvykiai, tai P(AB)=P(A)P(B).
Pastaba. Galima apibrėžti, kad A ir B yra nepriklausomi, jei P(AB)=P(A)P(B) ir
šitos sąlygos gauti, kad P(A|B)=P(A) ir P(B|A)=P(B).
3 Išvada. Jei A, B ir C yra nepriklausomieji įvykiai, tai P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomieji, tai nepriklausomieji yra ir šie įvykiai:
A ir B; A ir B; A ir B.
21

Sąlyginių tikimybių savybės
Sąlyginė tikimybė tenkina visas tris tikimybių aksiomas:
Jei P(D) > 0, tai P(Ω|D)=1.
Jeigu
A ir B - nesutaikomi, tai P(
A B | D)
= P(
A | D)
+
P(
B |
D).
P( A | B)
= 1−
P(
A | B).
22

Pilnosios tikimybės formulė. Bejeso formulė.
Tegul įvykiai H 1
, H 2
, .. H n
sudaro pilnąją įvykių grupę, t.y.
H1 ∪ H
2
∪ ... ∪ H
n
= Ω
H i
∩ H j
= Ø, i≠j.
,
Tuomet galioja pilnosios tikimybės formulė:
n
P ( A)
= ∑ P(
A | Hk
) P(
Hk
) = P(
A | H1)
P(
H1)
+ P(
A | H2)
P(
H2)
+ ... +
k = 1
Įrodykite. Įvykiai H j
kartais vadinami hipotezėmis.
P(
A |
H
n
) P(
H
n
).
Pilnajai įvykių grupei galioja ir Bejeso formulė:
P(
H
j
|
A)
=
P(
H
j
) P(
A | H
P(
A)
j
)
=
P(
A | H
) P(
H
) +
P(
H
j
P(
A | H
) P(
A | H
) P(
H
) +
)
... +
P(
A | H
) P(
H
1 1
2 2
n n
j
.
)
Jos pagalba galima įvertinti hipotezės tikimybę, žinant, kad įvyko įvykis A.
23

Bernulio bandymų schema ir jos apibendrinimas
Tarkime, kad koks nors bandymas atliekamas n kartų ir kiekvienu bandymu
gali įvykti arba neįvykti įvykis A. Tegu įvykis A įvyksta su tikimybe p = P(A)
ir neįvyksta su tikimybe q=1 - p. Be to, kiekvienam bandymui ankstesnių
bandymų rezultatai įtakos neturi. Tokie bandymai vadinami nepriklausomais
kartotiniais bandymais, o visa bandymų serija vadinama Bernulio eksperimentais
arba schema.
Tikimybė, kad įvykis A įvyks k kartų iš n yra lygi
p
n
( k)
=
C
k
n
Įvykis, kurio tikimybė p n
(k) yra didžiausia, vadinamas tikėtiniausiuoju įvykiu.
Jei max p n
(k) = p n
(k 0
), tai k 0
vadinama tikėtiniausiąja reikšme. Ji tenkina
nelygybės: np – q ≤ k 0
≤ np + p ir apytikslį įvertį: k 0
≈ np.
Bernulio schemoje vienas bandymas galėjo tik pavykti arba nepavykti.
Tokią schemą galima apibendrinti ir esant k skirtingų baigčių. Tarkime, kad
vieną kartą darant bandymą baigčių tikimybės yra p 1
, p 2
, ..., p k
(p 1
+ p 2
+ ...+ p k
= 1). Tuomet tikimybė, kad po n bandymų bus m 1
pirmųjų baigčių, m 2
antrųjų
baigčių, m k
– k-ųjų baigčių (m 1
+ m 2
+ ...+ m k
= n) yra lygi
p
k
q
n−
k
n!
m1
m2
P ( m1,
m2,...,
mk
) =
p1
p2
m ! m !... m !
1
2
k
.
... p
m k
k
.
24

Lokalioji ir integralinė Muavro ir Laplaso formulės
Kai bandymu skaičius n didelis, tikslią Bernulio formulė taikyti sudėtinga.
Kai n didėlis, o p nėra mažą (0,1 < p < 0,9 ir npq > 20), taikoma apytikslė
lokalioji Muavro ir Laplaso formulė
p
n
1
k − np 1 −
2
( k)
≈ ϕ ( x);
čia x = ; ϕ ( x)
= e
npq
npq 2π
Funkcija φ(x) vadinama Gauso funkcija arba standartinio normaliojo
skirstinio tankio funkcija (jos savybes nagrinėsime vėliau).
Tikimybė, kad n bandymuose įvykio pasirodymo skaičius k bus intervale [k 1
;
k 2
] žymima p n
(k 1
,k 2
) ir apskaičiuojama pagal integralinę Muavro ir Laplaso
formulę:
p
k1
− np k − np
k1,
k2)
≈ Φ ( x2)
− Φ ( x1
); čia x1
= , x2
= ; Φ ( x)
= ∫ ϕ ( t)dt.
npq npq
2
n
(
Funkcijos Φ(x) (Laplaso funkcija - standartinio normaliojo skirstinio
pasiskirstymo funkcija) savybės nagrinėsime vėliau.
2
x
x
− ∞
.
25

Puasono formulė. Retųjų įvykių dėsnis.
Kai bandymu skaičius n didelis, tikslią Bernulio formulė taikyti sudėtinga.
Kai n didėlis (n ≥ 100), o įvykio A tikimybė p yra mažą (p ≤ 0,1), taikoma
apytikslė Puasono formulė:
k − λ
λ e
p ( k)
≈ , kur λ np.
n
=
Ši formulė grindžiama Puasono teorema:
Jei Bernulio eksperimentų schemoje P(A)=p n
ir np n
=λ, tai su kiekvienu k
p
n
k!
− λ
k k n−
k λ e
( k)
= Cn
pnqn
→ , kai n → ∞
k!
k
.
Įrodykime.
26

Puasono srautų formulė
Ap. Įvykių srautu vadinama seka įvykių, galinčių atsitikti bet kurio laiko
momentų.
Pavyzdžiui, greitosios pagalbos, taksi ar policijos iškvietimai telefonu,
prietaiso gedimai ir t.t.
Laikysime, kad bet kurio įvykių skaičiaus patekimo į laiko intervalą
tikimybė priklauso tik nuo intervalo ilgio (nepriklauso nuo intervalo
atskaitos taško).
Srauto intensyvumu λ vadinamas vidutinis įvykių per laiko vienetą
skaičius.
Tikimybė, kad per laiko tarpą t atsitiks k įvykių, apskaičiuojama pagal
Puasono srautų formulę:
p
t
( k)
≈
k
( λ t)
e
k!
− λ t
.
27

Atsitiktiniai dydžiai
Iki šiol nagrinėdami eksperimentų/baidymų/stebėjimų atsitiktines baigtis
apibrėždavome atsitiktinius įvykius kaip F elementus, sudarytus iš Ω
elementariųjų įvykių.
Matematinei atsitiktinio eksperimento analizei būtų patogu, kad visos
galimos eksperimento baigtys turėtų skaitinę išraišką, todėl tikimybių teorijoje
įvedama atsitiktinio dydžio sąvoka.
Atsitiktinis dydis (a.d.) nusako taisyklę, pagal kurią kiekvienam atsitiktiniam
įvykiui priskiriama skaitinė reikšmė, t.y.
Atsitiktinis dydis – tai funkcija X: Ω → R
Aksiominis apibrėžimas. Funkcija X: Ω → R vadinama atsitiktiniu dydžiu,
jei visiems x: {ω: X(ω) < x} = A priklauso F.
Atsitiktinius dydžius žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis X, Y, Z ir
t.t., o jų įgyjamas reikšmes – mažosiomis raidėmis x (x=X(ω)), y, z ir t.t.
28

Pavydžiai: eksperimentai ir atsitiktiniai dydžiai
Eksperimentas
Įvykis
A.d. X
Galimos X reikšmės
Metama moneta
S , H
Herbų skaičius
0, 1
Metamas kauliukas
1,2,3,4,5,6
Akučių skaičius
1,2,3,4,5,6
100 gaminių kontrolė
Visi geri, 1
blogas ir t.t.
Blogų gaminių
skaičius
0,1,2,...,100
Matuojamas pieštukas
Ilgis < 20 cm,
> 15 cm ir pan.
Ilgis, cm.
[14, 20]
Sveriamas naujagimis
Svoris > 3 kg,
< 5 kg ir pan.
Svoris, kg.
[2, 5]
Jei atsitiktinio dydžio įgyjamų reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičiuoji, tai jį
vadiname diskrečiuoju.
Jei a.d. reikšmės visiškai užpildo kurį nors intervalą, tai tokį a.d. vadiname
tolydžiuoju.
29

Atsitiktinio dydžio tikimybinis skirstinys
Norint nusakyti atsitiktinį dydį, nepakanka žinoti jo įgyjamų reikšmių aibę.
Reikia apibūdinti, su kokia tikimybe tas atsitiktinis dydis gali įgyti vieną ar
kitą reikšmę. Sakoma, kad turi būti užduotas a. dydžio skirstinys (arba a.d.
tikimybių pasiskirstymo dėsnis).
Ap. A. dydžio. skirstinys – tai a.d. įgyjamos reikšmės ir jų įgijimo tikimybės.
Diskretųjį a. dydį (jo skirstinį) visiškai nusako įgyjamų reikšmių ir tikimybių,
su kuriomis jos įgyjamos, pasiskirstymo lentelė:
X
x 1
x 2
x 3
...
x n
...
P
p 1
p 2
p 3
čia p 1
+ p 2
+ ... = 1 , p 1
≥ 0, p 2
≥ 0, ...
P( X = x ) = p , i =
i
i
1,2, ...
...
p n
...
Tačiau akivaizdu, kad tolydiesiems a. dydžiams šis būdas netinka. Todėl
tikimybių teorijoje apibrėžiama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos
sąvoka, kurios pagalba galima nusakyti atsitiktinio dydžio skirstinį ir
diskretiesiems, ir tolydiesiems atsitiktiniems dydžiams.
30

Pasiskirstymo funkcija. Pasiskirstymo funkcijos savybės.
Ap. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkciją F(x) vadinama tikimybė,
kad a.d. X įgys reikšmę, mažesnę už x:
F(x)= P(X < x)=P(ω: X(ω)

Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija
Jei diskrečiojo a.d. X tikimybių skirstinys užduotas pasiskirstymo lentele
X
x 1
x 2
...
x i
...
x n
P
p 1
p 2
...
p i
...
p n
tai jo pasiskirstymo funkcija
F(
x)
=
P(
X
Tai yra laiptuota funkcija,
turinti trūkius iš dešinės, taškuose
x
i
: F(
x + 0) − F(
x ) = p , i =
i
i
i
<
x)
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1,2,
Iš pasiskirstymo funkcijos išraiškos galime nustatyti a. dydžio įgyjamas reikšmes ir
tikimybes. Vadinasi, diskrečiojo a. dydžio apibūdinimas lentele ir pasiskirstymo
funkcija yra ekvivalentūs.
32
p
1
i
∑
k = 1
n−
1
∑
k = 1
0,
p1,
+ p
...
.
...
1,
p
p
k
k
2
,
,
,
kai
kai x
kai x
kai
kai
x
x
i
kai
1
2
<
n−
1
x ≤ x1;
< x ≤ x
< x ≤ x
...
.
x ≤
...
x
<
>
x ≤
x
x
n
i + 1
.
2
3
x
;
;
n
;
;
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0,
x
∑
k
<
x
kai
p
k
,
x ≤
x
>
x
1
x
;
1
.

Diskrečiojo a. dydžio pasiskirstymo funkcija. Pavyzdžiai.
Sudarykime a.d. X pasiskirstymo lentelę, pasiskirstymo funkciją. Nubrėžkime
jos grafiką.
1) Simetriška moneta metama du kartus. Atsitiktinis dydis X – herbo atvirtimų
skaičius.
2) A.d. X įgyja vieną reikšmę C su tikimybę, lygia 1. Toks tikimybių skirstinys
vadinamas išsigimusiuoju.
3) A.d. X – atsitiktinio įvykio A indikatorius. Kartais vadinamas Bernulio
atsitiktiniu dydžiu (skirstiniu).
4) A.d. X – Bernulio eksperimentų, atliktų iki pirmojo įvykio pasirodymo,
skaičius. Geometrinis skirstinys.
33

Tolydusis atsitiktinis dydis ir jo pasiskirstymo funkcija
Panagrinėkime taip vadinama tolygųjį a. dydį:
Atkarpoje [a,b] atsitiktinai pasirenkamas taškas – X. Galimybės pasirinkti bet
kurį tašką yra vienodos, t.y. tikimybė yra tolygiai pasiskirsčiusi tarp visų taškų.
Tam, kad nusakyti šio a. dydžio tikimybinį skirstinį sudarykime jo pasiskirstymo
funkciją F(x)= P(X < x).
Kaip matome (kaip ir diskrečiųjų a.d. atveju), pasiskirstymo funkcija išsamiai
apibūdina a. dydį. Iš funkcijos išraiškos matosi, kokias reikšmes įgyja a. dydis
ir kaip tikimybės pasiskirsčiusios pagal tas reikšmes.
Iki šiol neformaliai tolydžiuoju a. dydžiu vadindavome a. dydį, kurio reikšmės
visiškai užpildo kurį nors intervalą. Pastebėkime, kad gauta pasiskirstymo
funkcija neturi trūkių iš dešinės ir yra tolydi visur. Ši savybė yra labai svarbi,
todėl tikimybių teorijoje formaliai yra apibrėžiama, kad
Ap. Atsitiktinis dydis vadinamas tolydžiuoju, jei jo pasiskirstymo funkcija F(x)
yra tolydi.
Tolydžiųjų atsitiktinių dydžių savybės (įrodykime):
1. Jei X – tolydusis a.d., tai tikimybė, kad jis įgis konkrečią reikšmę, lygi
nuliui.
2. Jei X – tolydusis a.d., tai tikimybės, kad X įgis reikšmę intervaluose [a; b),
34
[a; b], (a; b), (a; b], yra lygios.

Tankio funkcija ir jos savybės
Dar susiaurinkime nagrinėjamų tolydžiųjų a.d. klasę. Tegu tolydžiojo a.d.
pasiskirstymo funkcija yra diferencijuojama, t.y. egzistuoja funkcijos F(x) išvestinė.
Ap. Funkcija f(x)=F'(x) vadinama tolydžiojo a. dydžio X tikimybių tankio funkcija.
Žinant tankio funkciją, pasiskirstymo funkciją galima rasti pagal formulę:
Tankio funkcijos savybės (įrodykime):
1) Tankio funkcija įgyja tik neneigiamas reikšmes: f(x) ≥ 0, visiems x.
2) Jei X – tolydusis a.d., tai tikimybė, kad X įgis reikšmę intervale (a; b) lygi:
∞
∫
− ∞
F(
x)
= ∫
P( a < X < b)
= F(
b)
− F(
a)
= ∫
3) f ( x)
dx = 1 (t.y. plotas tarp Ox ašies ir tankio funkcijos grafiko lygus 1).
x
− ∞
f ( t)
dt.
Teisingas ir atvirkščias teiginys: jei f(x) yra neneigiamoji ir normuotoji funkcija (t.y.
tenkina 3) sąlygą), tai egzistuoja tolydusis atsitiktinis dydis, kurio tankis yra f(x), o
pasiskirstymo funkcija F(x) (*).
Tokie a. dydžiai dar vadinami absoliučiai tolydžiais.
(*)
b
a
f ( x)
dx.
35

Atsitiktiniai vektoriai (daugiamačiai atsitiktiniai dydžiai)
Iki šiol nagrinėjome vienmačius atsitiktinius dydžius, kai kiekvienam
atsitiktiniam įvykiui priskiriama viena skaitinė reikšmė: X: Ω → R, x=X(ω).
Praktikoje dažnai tenka nagrinėti reiškinius, kurių atsitiktinė baigtis
apibūdinama keliais skaičiais – atsitiktiniu vektoriumi. Pavyzdžiui,
1) Gamykla gamina produkciją, kuri gali turėti elektrinių, mechaninių arba
abiejų rūšių defektų. Per tam tikrą laikotarpį pagamintų gaminių, turinčių
kiekvienos rūšies defektų, skaičius apibūdina trimatis atsitiktinis dydis -
vektorius (X,Y,Z).
2) Naujagimio ūgi ir svorį apibūdina dvimatis a. dydis – vektorius (X,Y).
Ap. n-mačiu atsitiktiniu dydžiu (arba a. vektoriumi) vadiname vektorių (X 1
,
X 2
, ..., X n
), kurio koordinatės yra vienmačiai atsitiktiniai dydžiai.
Kaip ir vienmačiu atveju atsitiktiniai vektoriai yra skirstomi į diskrečiuosius ir
tolydžiuosius.
36

Atsitiktinių vektorių pasiskirstymo funkcija
Atsitiktinį vektorių nusako ne tik įgyjamos reikšmes, bet ir jų įgijimo tikimybės.
Atsitiktinio vektoriaus koordinačių X j tikimybinių skirstinių (pvz., pasiskirstymo
funkcijų) nepakanka, nes jie nenurodo ryšio tarp koordinačių.
Dvimačiam diskrečiam a. vektoriui galėsime naudoti pasiskirstymo lentelę.
Bendru atveju atsitiktinio vektoriaus tikimybinis skirstinys užduodamas n-
matės vektoriaus (X 1
, X 2
, ..., X n
) pasiskirstymo funkcijos pagalba:
n
( 1 2 n
j j 1 1 n xn
j = 1
F x , x , ,
x ) = P(
{
ω : X ( ω ) < x }) = P(
X < x , ,
X <
Toliau paprastumo dėlei nagrinėsime dvimačius atsitiktinius vektorius. Gautus
teiginius nesunkiai galima pritaikyti didesnės dimensijos atsitiktiniams
vektoriams.
).
37

Dvimačių atsitiktinių vektorių pasiskirstymo funkcija
Dvimatį atsitiktinį vektorių žymėsime (X,Y). Geometriniu požiūriu jis reiškia
atsitiktinį plokštumos tašką, kurio koordinatės X ir Y. Dvimatė pasiskirstymo
funkcija
F ( x,
y)
= P({
ω : X ( ω ) < x}
{
ω : Y ( ω ) < y})
= P(
X < x,
Y < y)
apibrėžta visiems (x,y) iš R 2 . Geometriniu požiūriu ji nurodo tikimybę
atsitiktiniam taškui (X,Y) patekti į atitinkama plokštumos sritį.
Dvimatės pasiskirstymo funkcijos savybės:
1) 0 ≤ F(
x,
y)
≤ 1.
2) F(x,y) yra nemažėjanti funkcija abiejų argumentu atžvilgiu:
F ( x1,
y)
≤ F(
x2,
y),
kai x1
< x2,
F(
x,
y1)
≤ F(
x,
y2),
kai y1
< y2.
3) F( x,
− ∞ ) = F(
− ∞ , y)
= F(
− ∞ , − ∞ ) = 0.
4) F( x,
+ ∞ ) = F1 ( x),
F(
+ ∞ , y)
= F2
( y),
F(
+ ∞ , + ∞ ) = 1,
čia F 1 (x) yra komponentės X, F 2 (y) komponentės Y pasiskirstymo funkcijos. Jos
dar vadinamos marginaliosiomis.
5) F(x,y) tolydi iš kairės su visais (x,y): F ( x − 0, y − 0) = F(
x,
y).
6) Tikimybė a.d. (X,Y) patekti į stačiakampį
P ( x1 ≤ X < x2,
y1
≤ Y < y2)
= F(
x2,
y2)
− F(
x1,
y2)
− F(
x2,
y1)
+ F(
x1,
y1).
38

Diskretieji dvimačiai atsitiktiniai vektoriai (X,Y)
Tarkime, a.d. (X,Y) įgyja reikšmes (x i ,y j ), i=1,.., m, j=1,.., n su tikimybėmis
ij = P( X = xi
, Y y j ). Įgyjamų reikšmių ir atitinkamų tikimybių visuma vadinama
a.v. tikimybiniu skirstiniu. Šį tikimybinį skirstinį galime užrašyti lentele:
p =
X
Y
y 1
x 1
p 11
p 12
... p 1j
... p 1n
p 1
x 2
...
...
p 21
... ... ... ... ... ... ... ...
x i
...
...
p i1
... ... ... ... ... ... ... ...
x m
...
...
p m1
y 2
p 22
p i2
p m2
...
y j
p ij
p mj
...
y n
p in
p mn
P
p i
p m
P
q 1
q 2
...
q j
...
q m
1
Iš pilnosios tikimybės formulės gauname vienmačius marginaliuosius skirstinius:
n
∑
p = P(
X = x ) = p , q = P(
Y = y ) = p . p q = p = 1.
i
i
j = 1
ij
j
j
m
∑
i = 1
ij
m
∑
i = 1
i
n
= ∑ j ∑ ∑
j = 1
m
n
i= i j = 1
ij
39

Diskrečiųjų dvimačių a. vektorių pasiskirstymo funkcija
Diskrečiojo atsitiktinio vektoriaus (X,Y) pasiskirstymo funkciją galime išreikšti
tikimybėmis p ij :
2
F(
x,
y)
= P(
X < x,
Y < y)
= ∑ ∑ pij
, ( x,
y)
∈ R ,
x < x y < y
Pavyzdžiai.
1) Metamos dvi simetriškos monetos (vieną kartą). Sudarykite dvimatį
atsitiktinį vektorių. Raskite jo tikimybinį skirstinį ir pasiskirstymo funkcija.
i
j
40

Tolydieji dvimačiai atsitiktiniai vektoriai
Tolydžiuoju atsitiktiniu vektoriumi vadinsime vektorių (X,Y), kurio dvimatė
pasiskirstymo funkcija F(x,y) yra tolydi.
Toliau mes laikysime, kad F(x,y) yra du kartus diferencijuojama, t.y.
egzistuoja funkcija:
2
∂ F(
x,
y)
f ( x,
y)
= Fxy
′′ ( x)
= .
∂ x∂
y
Funkcija f(x,y) vadinama dvimačio tolydžiojo a. vektoriaus (X,Y) tankio
funkcija.
Žinant tankio funkciją, pasiskirstymo funkciją galima rasti pagal formulę:
Tankio funkcijos savybės:
1) Tankio funkcija įgyja neneigiamas reikšmes: f(x,y) ≥ 0 su visais (x, y) iš R 2 .
2)
+ ∞
∫
− ∞
+ ∞
∫
f ( x,
y)
dxdy =
F( x,
y)
= ∫ ∫
1.
− ∞
x2
y
1 2 1 2 ∫ ∫
x y
3) P(
x ≤ X < x , y ≤ Y < y ) = f ( x,
y)
dxdy.
−
x
1
∞
− ∞
2
1
y
f ( u,
v)
dudv.
41

Tankio funkcijos savybės:
Tolydieji dvimačiai atsitiktiniai vektoriai
4) 3)-ią teiginį galime apibendrinti imdami bet kokį erdvės R 2 (plokštumos)
poaibį D (nebūtinai stačiakampį):
P((
X , Y ) ∈
D)
=
∫ ∫
( D)
f ( x,
y)
dxdy.
5) Žinant dvimačio tolydaus a.v. (X,Y) skirstinį, t.y. dvimatį tankį f(x,y),
komponenčių X ir Y marginaliuosius skirstinius (pasiskirstymo funkcijas ir
tankius) randame taip:
x ⎛ + ∞
⎞
+ ∞
X : F 1 ( x)
= F(
x,
+ ∞ ) = ⎜
∫ ∫ f ( u,
y)
dy ⎟ du,
f1(
x)
= F1
′(
x)
= ∫ f ( x,
y)
dy.
⎜
⎟
− ∞ ⎝ − ∞
⎠
− ∞
Y
y + ∞
+ ∞
: F 2 2 ∫
⎛
⎞
( y)
= F(
+ ∞ , y)
= ⎜
∫ ∫ f ( x,
v)
dx ⎟ dv,
f2(
y)
= F ′ ( y)
= f ( x,
y)
dx.
⎜
⎟
− ∞ ⎝ − ∞
⎠
− ∞
Pavyzdžiai.
1) Tolygusis a.v. (X,Y) aprėžtoje srityje
D ⊂
2
R .
42

Sąlyginiai atsitiktinio vektoriaus koordinačių skirstiniai
Kaip apibrėžti atsitiktinio vektoriaus koordinačių tarpusavio ryšį? Prisiminkime
sąlyginės tikimybės P(A|B) apibrėžimą.
Nagrinėkime diskretųjį a.v. (X,Y), kurio tikimybių skirstinys
p
ij
= P( X = x , Y = y ), i = 1,2, , j = 1,2, .
Ap. Diskrečiojo a.d. X sąlyginiu skirstiniu, kai Y=y j , vadiname sąlygines
tikimybes
P(
X = x , Y = y ) p
Sąlyginį skirstinį galime apibrėžti, kai
i
Analogiškai apibrėžiame a.d. Y sąlyginį skirstinį, kai X=x i ,
Atitinkamas sąlygines pasiskirstymo funkcijas gauname taip:
j
P( X = xi
| Y = y j ) =
= , i = 1,2,
P(
Y = y j ) q j
m
P(
Y = y j ) = q j = ∑ pij
≠
i
j
ij
i = 1
P(
X = xi
, Y = y j ) pij
P( Y = y j | X = xi
) =
= , j = 1,2, ,
kai pi
≠
P(
X = x ) p
F1 ( x | Y = y j ) = P(
X < x | Y = y j ) = ∑
F
x < x
i
2(
y | X = xi
) = P(
Y < y | X = xi
) = ∑
y < y
j
i
P(
X
=
P(
Y =
i
i
x | Y =
y
j
| X
=
y
j
x
i
),
).
0.
0.
43

Sąlyginiai atsitiktinio vektoriaus koordinačių tankiai
Nagrinėkime tolydųjį a.v. (X,Y), kurio dvimatė tankio funkcija – f(x,y), o
koordinačių (komponenčių) marginalieji tankiai:
+ ∞
( x)
f ( x,
y)
dy,
f2
Ap. A.d. X sąlyginiu tankiu, kai Y=y, vadiname
f
∫
f1 = ( y)
= f ( x,
y)
dx.
− ∞
f ( x,
y)
( x | y)
= f1(
x | Y = y)
= , x ∈
f ( y)
1 R
2
Akivaizdu, kad sąlyginį tankį galime apibrėžti tik tokioms a.d. Y reikšmėms y,
kad f2(
y)
≠ 0. Sąlyginiam tankiui būdingos visos tankio savybės. Patikrinkite.
Analogiškai apibrėžiamas a.d. Y sąlyginis tankis, kai X=x:
Atitinkamas sąlygines pasiskirstymo funkcijas gauname taip:
F ( x | y)
=
1
F ( x | Y
1
+ ∞
∫
− ∞
f ( x,
y)
f2( y | x)
= f2(
y | X = x)
= , y ∈ R,
kai f1(
x)
≠
f ( x)
F ( y | x)
= F
2
2
1
= y)
=
( y | X = x)
=
x
∫
− ∞
y
∫
− ∞
f
f
1
2
.
( u | y)
du =
( u | x)
du =
x
∫
− ∞
y
∫
− ∞
0.
f ( u,
y)
du
,
f2(
y)
f ( x,
u)
du
.
f ( x)
1
44

Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai
Intuityviai suprantame, kad du atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi,
jei jokia informacija apie vieną iš šių dydžių nekeičia kito dydžio tikimybių
skirstinio. Tikimybių teorijoje a. dydžių nepriklausomumo sąvoka yra formaliai
apibrėžiama.
Prisiminkime dviejų atsitiktinių įvykių nepriklausomumo apibrėžimus.
Ap. Diskrečiuosius atsitiktinius dydžius X ir Y vadiname nepriklausomais, jei
P( X = x , Y = y ) = P(
X = x ) P(
Y = y ), su visais i = 1,2, , j = 1,2, .
i
j
Nesunku įrodyti, kad šiai sąlygai yra ekvivalenčios kitos dvi sąlygos:
i
j
arba
P( X = x | Y = y ) = P(
X = x ), su visais i = 1,2, , j = 1,2,
i
j
i
P( Y = y | X = x ) = P(
Y = y ), su visais i = 1,2, , j = 1,2,
j
i
j
45

Nepriklausomi tolydieji atsitiktiniai dydžiai
Analogiškai yra apibrėžiama dviejų tolydžiųjų a.d. X ir Y nepriklausomumo
sąvoka panaudojant vienmačius marginaliuosius tankius ir dvimatį tankį f(x,y).
Ap. Tolydžiuosius atsitiktinius dydžius X ir Y vadiname nepriklausomais, jei
2
f ( x,
y)
= f ( x)
f ( y)
su visais ( x,
y)
∈ .
Nesunku įrodyti, kad šiai sąlygai yra ekvivalenčios kitos dvi sąlygos:
arba
1 2
R
f1(
x | y)
= f1(
x)
su visais ( x,
y)
∈ R
f2(
y | x)
= f2(
y)
su visais ( x,
y)
∈ R
Tikimybių teorijoje dažnai naudojamas kitas ekvivalentus dviejų atsitiktinių
dydžių nepriklausomumo apibrėžimas:
Ap. Atsitiktinius dydžius X ir Y vadiname nepriklausomais, jei
2
F(
x,
y)
= F ( x)
F ( y)
su visais ( x,
y)
∈ ,
t.y.
jei
1 2
R
P ( X < x,
Y < y)
= P(
X < x)
P(
Y <
Šis apibrėžimas yra universalus. Jis tinka tiek diskretiesiems, tiek tolydiesiems
atsitiktiniams dydžiams.
y).
2
,
2
.
46

1 Pastaba. Jei nepriklausomumo sąlyga yra nepatenkinta bent vienam taške,
tai atsitiktiniai dydžiai vadinami priklausomaisiais.
2
Pavyzdžiui, jei egzistuoja skaičių pora ( ~ x , ~ y ) ∈ R tokia, kad
F ~ x , ~ y ) ≠ F ( ~ x)
F ( ~ ),
tai atitinkami atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi.
Teorema. Jei a.d. X ir Y yra nepriklausomi, tai
Įrodykime.
( 1 2 y
P( x1 ≤ X < x2,
y1
≤ Y < y2)
= ( F1
( x2)
− F1
( x1
))( F2
( y2)
− F2
( y1)).
Matėme, kaip turint dvimačius skirstinius galima gauti vienmačius
marginaliuosius skirstinius. Atvirkščiai, t.y. iš vienmačių marginaliųjų skirstinių
gauti dvimačius galime tik tada, kai a. dydžiai X ir Y yra nepriklausomi
(žiūrėkit apibrėžimus).
Jei a. dydžiai yra priklausomi, tai dvimatį skirstinį galima gauti žinant vieno iš
a. dydžių marginalųjį ir kito sąlyginį skirstinį(-ius) (žiūrėkit sąlyginių skirstinių
apibrėžimus).
47

Visi dviejų a. dydžių X ir Y apibrėžimai ir teiginiai nesunkiai apibendrinami
didesniam atsitiktinių dydžių skaičiui. Pavyzdžiui,
Ap. Atsitiktinius dydžius X 1
,X 2
, ..., X n
vadiname nepriklausomais, jei
F( x1,
x2,
,
xn)
= F1
( x1
) F2
( x2)
Fn
( xn)
su visais ( x1,
x2,
,
x
t.y. jei P ( X < x1,
X 2 < x2,
,
X n < xn)
= P(
X1
< x1
) P(
X 2 < x2)
P(
X n <
1 n
n
) ∈
R
n
x
,
).
48

Vienmačių atsitiktinių dydžių funkcijos
Sprendžiant taikomuosius uždavinius dažnai tenka nagrinėti vieno arba keleto
atsitiktinių dydžių funkcijas. Pradėkime nuo vienmačių a.d. funkcijų.
Tarkime, elementariųjų įvykių erdvėje Ω apibrėžtas a.d. X=X(ω), o f : R → R
yra realioji funkcija. Funkcijų f ir X sudėtinė funkcija (superpozicija):
Y=f(X(ω)) apibrėžia atsitiktinį dydį Y, kuris vadinamas a.d. X funkcija (žym.
Y=f(X).
Kaip žinant a.d. X skirstinį ir funkciją f rasti a.d. Y = f(X) tikimybių skirstinį?
Diskrečiųjų a.d. funkcijos. Tegu a.d. X skirstinys užduotas lentele
X
P
x 1
x 2
x 3
p 1
p 2
p 3
...
...
x n
p n
...
...
p = P =
i
( X xi
)
Tada a.d. Y = f(X) skirstinys nusakomas lentele
Y
y 1
y 2
y 3
...
y n
...
P
q 1
q 2
q 3
...
q n
...
čia y i
= f(x i
) (tik skirtingos reikšmės!),
q
i
= P( Y = y ), i =
i
1,2,
49

Vienmačių diskrečiųjų atsitiktinių dydžių funkcijos
1) Jei visos reikšmės y i
= f(x i
) yra skirtingos (taip bus, jei funkcija f yra tolydi
ir monotoninė a.d. X įgyjamų reikšmių srityje), tai
q
i
= P( Y = y ) = P(
f ( X ) = f ( x )) = P(
X = x ) = p , i =
i
i
i
i
1,2,
2) Jei kai kurios reikšmės f(x i
) pasikartoja (taip bus, jei funkcija f nėra tolydi ir
monotoninė a.d. X įgyjamų reikšmių srityje), tai
q
i
= P(
Y = yi
) = P(
f ( X ) = yi
) = ∑ P(
X = x j ) = ∑
{ f ( x
{ f ( x
1,2,
Šiuo atveju sudedame tikimybes p j
, turinčias indeksus j, su kuriais f(x j
)= y i
,
t.y. jeigu a.dydžio Y = f(X) reikšmės pasikartoja, tai skirstinio lentelėjė šias
reikšmes įrašome po vieną kartą ir sudedame atitinkamas p j
tikimybes.
j
) =
y }
i
j
) =
p
,
j
y }
i
i
=
A.d. Y = f(X) pasiskirstymo funkciją galima apskaičiuoti iš skirstinio lentelės
arba tiesiogiai pagal formulę
F
Pavyzdžiai.
Y
( y)
= P(
f ( X ) < y)
= ∑ P(
X = x j ) = ∑
{ f ( x
j
) <
y}
{ f ( x
j
) <
p
,
j
y}
y ∈
R.
50

Vienmačių tolydžiųjų atsitiktinių dydžių funkcijos
Tolydžiųjų a.d. funkcijos. Tegu a.d. X skirstinys užduotas tankio funkcijos
p X (x) pagalba ir Y = f(X). Tada a.d Y pasiskirstymo funkciją gauname taip:
F
( y)
= P(
f ( X ) < y)
= ∫ pX
( x)
dx,
čia sritis D = { x : f ( x)
y}.
Y <
D
Kai funkcija f yra tolydi ir monotoninė, egzistuoja jos atvirkštinė funkcija f -1 .
Tada galima gauti a.d. Y pasiskirstymo ir tankio funkcijų išraiškas.
a) Kai funkcija f yra tolydi ir didėjanti:
F
p
Y
Y
( y)
=
( y)
=
P(
f ( X ) <
F ′ ( y)
=
Y
p
y)
=
X
( f
P(
X
<
f
( y))(
f
− 1
( y))
=
− 1 − 1
′
( y))
.
F
X
( f
− 1
( y)),
b) Kai funkcija f yra tolydi ir mažėjanti.
F
p
Y
Y
( y)
= P(
f ( X ) < y)
= P(
X > f
( y)
=
F ′ ( y)
= − p
Y
X
( f
( y))(
f
− 1
( y))
= 1 −
− 1 − 1
′
( y))
.
P(
X
<
f
− 1
( y))
=
1 −
F
X
( f
− 1
( y)),
Pavyzdžiai.
51

Dvimačių atsitiktinių vektorių funkcijos
Tarkime, kad elementariųjų įvykių erdvėje Ω apibrėžtas atsitiktinis vektorius
(X,Y), o f : R 2 → R yra dvimatė realioji funkcija. Sudėtinė funkcija
(superpozicija): Z(ω)=f(X(ω),Y(ω)) apibrėžia atsitiktinį dydį Z, kuris
vadinamas a.v. (X,Y) funkcija (žym. Z=f(X,Y)).
Kaip žinant a.v. (X,Y) skirstinį ir funkciją f rasti a.d. Z = f(X,Y) skirstinį?
Diskrečiųjų a. vektorių funkcijos. Tarkime, kad yra žinomas a.v. (X,Y)
skirstinys, t.y. tikimybės pij
= P( X = xi
, Y = y j ), i,
j = 1,2,
Tada a.d. Z=f(X,Y) skirstinys:
P(
Z = zk
) = P(
f ( X , Y ) = zk
) = ∑ P(
X = xi
, Y = y j ) = ∑ pij
, k = 1,2,
Atitinkamoje a.d. Z=f(X,Y) skirstinio lentelėje skirtingas z k
=f(x i
,y j
) reikšmes
įrašome po vieną kartą ir sudedame pasikartojančių reikšmių tikimybes p ij
.
Tolydžiųjų a. vektorių funkcijos. Tarkime, kad yra žinomas a. vektoriaus
(X,Y) dvimatis tankis p(x,y). Tada a. dydžio Z=f(X,Y) pasiskirstymo funkcija:
F
{ i,
j:
f ( x
( z)
P(
f ( X , Y ) < z)
= p(
x,
y)
dxdy,
čia sritis D = {( x,
y) : f ( x,
y)
z}.
= ∫ ∫
i
{ i,
j:
f ( x
Z <
D
Diferencijuodami šią pasiskirstymo funkciją, gauname a.d. Z=f(X,Y) tankį.
Pavyzdžiai.
, y
) = z
j
k
}
i
, y
) = z
j
k
}
52

Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos skirstiniai
Nagrinėkime dažnai naudojama sumos funkcija f : R 2 → R, f(x,y)=x+y. Tegu
a.v. (X,Y) koordinatės X ir Y yra nepriklausomos, o jų skirstiniai žinomi.
Patikslinkime sumos Z=f(X,Y)=X+Y skirstinio išraišką.
Teorema. Dviejų nepriklausomų tolydžiųjų atsitiktinių dydžių sumos tankis
lygus dėmenų tankių sąsūkai (p X * p Y )(z):
p
X + Y
( z)
= ( pX
∗ pY
)( z)
= ∫ pX
( x)
pY
( z − x)
dx.
Įrodykime.
Pastaba. Sąsūkos operacija yra komutatyvi: p X * p Y = p Y * p X .
Kai a. dydžiai X ir Y yra diskretieji bei nepriklausomi, gauname tokią formulę
(diskrečiosios sąsūkos):
+ ∞
− ∞
P( X + Y = z ) = ∑ P(
X = x ) P(
Y = z − x ), k =
k
i
i
k
i
1,2,
Pavyzdžiai.
53