MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

1.5. piezīme. Skolas mācību līdzekl¸os “Algebra un analīzes elementi” par funkcijas
robeˇzu punktā pieņem definīciju Koˇsī formā (“ε - δ” valodā). Atzīmēsim, ka tā
nedaudz atˇsk¸iras no definīcijas, kura sastopama augstskolu matemātiskās analīzes
mācību grāmatās.
Lieta ir tāda, ka vidusskolas līdzeklī “Algebra un analīzes elementi 9-10 klasē” galvenā
prasība ir, lai nevienādība |f(x) − b| < ε izpildītos visiem x = a, kas atrodas
pietiekami tuvu pie a, t.i. visiem x, kuri apmierina nevienādību 0 < |x − a| < δ ,
kur δ > 0 tiek meklēts pēc katra izvēlētā ε > 0.
Viegli saprast, ka, pie ˇsādas funkcijas f(x) robeˇzas definīcijas un eksistences traktēˇsanas
nepiecieˇsams, lai funkcija būtu definēta punkta a kādas izdurtas divpusējas
apkārtnes visos punktos.
Daˇzās matemātiskās analīzes rokasgrāmatās, tai skaitā arī jums piedāvātajā izklāstā,
tiek pieprasīts, lai nevienādība |f(x) − b| < ε izpildītos visiem tādiem
x ∈ D(f) ◦
U(a, δ), citiem vārdiem sakot, visiem x, kuri apmierina nevienādību
0 < |x − a| < δ un kuri pieder D(f).
Rezultātā ˇsī pieeja izrādās plaˇsāka par to, kura pieņemta skolas mācību grāmatās.
Tā, piemēram, funkcijai f(x) = √ x robeˇza punktā a = 0, saskaņā ar skolas
definīciju, neeksistē, jo neeksistē tāda a = 0 divpusēja apkārtne, lai tās visos punktos
funkcija f(x) = √ x būtu definēta. Augstskolas definīcijas ietvaros funkcijai
f(x) = √ x punktā 0 eksistē robeˇza, tā ir vienāda ar nulli.
6. Kā bija atzīmēts 2. punktā, skolas matemātiskā analīze balstās uz diviem robeˇzas
jēdziena veidiem:
• virknes robeˇza;
• funkcijas robeˇza galīgā punktā.
Tas ir sareˇzˇgīts uzdevums - iepazīstināt skolēnus ar ˇsiem diviem robeˇzpārejas veidiem.
Līdz ar to, radās sekojoˇsas divas pozīcijas. Saskaņā ar pirmo, skolēniem tiek
piedāvāts izskaidrot virknes un funkcijas robeˇzas jēdzienus, izmantojot atbilstoˇsi “ε - N”
un “ε - δ” vai līdzīgas shēmas. Saskaņā ar otro, skolā tiek piedāvāts pilnīgi atteikties no
mēˇginājumiem izskaidrot robeˇzas jēdzienu, uzskatot to kā paˇsu par sevi saprotamu.
Mēs uzskatām, ka abas ˇsīs pozīcijas nav labākās.
“... skolas programmās neietilpst, - rakstīja A. Hinčins, - izstāstīt katra jēdziena
attīstību līdz tā mūsdienu zinātniskajam izskaidrojumam, skola var apstāties arī uz iepriekˇsējās
ˇsī jēdziena attīstības stadijas”.
Izcilais zinātnieks un pedagogs A. Hinčins savā grāmatā “Matemātiskās analīzes īsais
kurss”(M., 1955), ko paredzēts izmantot universitāteēs un pedagoˇgiskajos institūtos,
sākumā robeˇzu teoriju veidoja uz elementārās bāzes, kas ir ne līdz galam formalizēta,
sākumā sistemātiski tiek izmantoti tādi jēdzieni, ka “process” un “moments”, nekur tos
formāli nedefinējot, un tikai vēlāk, pārliecinot lasītājus tādas formalizācijas nepiecieˇsamībā,
definēja ˇso “procesu” galvenos matemātiskos tipus (skat. arī [17]).
A. Hinčina piedāvātā robeˇzu teorijas veidoˇsanas shēma izraisa noteiktu interesi. Ievērības
cienīga robeˇzu teorijas veidoˇsanas shēma ir arī N. Luzina izcilajā mācību gramatā
“Diferenciālrēk¸ini” (M., 1949).