MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

ja x → x0, ir augstākas kārtas bezgalīgi mazs nekā x−x0. Atzīmēsim, ka pēdējo vienādību
var pārrakstīt ˇsādi: f(x) − f(x0) − A(x − x0) = α(x)(x − x0). Tātad mūsu uzdevums ir
atrast ˇsīs taisnes virziena koeficientu A.
Pieņemsim, ka A ir zināms, tad no vienādības f(x)−f(x0)−A(x−x0) = α(x)(x−x0)
iegūsim f(x)−f(x0)
x−x0 − A = α(x). Tā kā α(x) → 0, ja x → x0, tad attiecības f(x)−f(x0)
x−x0
robeˇza, ja x → x0, ir vienāda ar A, t.i.,
jeb
f(x) − f(x0)
lim
x→x0 x − x0
f(x)−f(x0)
Otrādi, ja attiecības robeˇza lim x−x0
x→x0
= A.
f(x) − f(x0) − A(x − x0) = α(x)(x − x0),
f(x) − (A(x − x0) + f(x0)) = α(x)(x − x0).
f(x)−f(x0)
= A, tad − A = α(x), no kurienes
x−x0
No visa iepriekˇs teiktā seko, ka lineārā funkcija g(x) = A(x − x0) + f(x0),
f(x)−f(x0)
kur A = lim , pilnīgi apmierina mūsu prasību: punkta x0 apkārtnē g(x) novirzās
x−x0
x→x0
no f(x) par lielumu α(x)(x − x0), kas ir augstākas kārtas bezgalīgi mazais nekā x − x0
(ja x → x0).
Funkciju f(x), kuru punktā x0 ∈ X var izteikt ˇsādi
pieraksta
f(x) = f(x0) + A(x − x0) + α(x)(x − x0),
f(x) − f(x0) = A(x − x0) + α(x)(x − x0),
bet daˇzreiz pieraksta arī robeˇzveidā (skat. “treˇso variantu”, p.3, §1). f(x) sauc par diferencējamu
funkciju punktā x0 (ˇseit A nav atkarīgs no x − x0 un α(x) → 0, ja x → x0).
Diferencējamība intervālā X tiek definēta kā diferencējamība katrā punktā x ∈ X.
Skaitli
f(x) − f(x0)
A = lim
x→x0 x − x0
sauc par funkcijas f(x) atvasinājumu punktā x0 un apzīmē f ′ (x0), bet
A(x − x0) = f ′ (x0)(x − x0)
sauc par funkcijas f(x) diferenciāli punktā x0 un apzīmē df (ˇseit x ∈ X, x = x0).
Tādā veidā punktā x0 ∈ X diferencējama funkcija f(x) ir funkcija, kuru punkta x0
apkārtnē var izteikt formā f(x) = f(x0) + f ′ (x0)(x − x0) + α(x)(x − x0), pie kam, ja
x → x0, tad α(x)(x − x0) ir augstākas kārtas bezgalīgi mazs salīdzinājumā ar x − x0.
Funkcija g(x) = f(x0)+f ′ (x0)(x−x0) ir vislabākais funkcijas f(x) lineārais tuvinājums
punkta x0 apkārtnē. Pie tam, funkcijas g(x) grafiks ir taisne
y − f(x0) = f ′ (x0)(x − x0),
kas iet caur punktu (x0, f(x0)) un kuras virziena koeficients ir f ′ (x0).