MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

seko, ka
f(x0 + ∆x) − f(x0) − A∆x
= α(∆x),
∆x
bet α(∆x) → 0, ja ∆x → 0, tāpēc
f(x0 + ∆x) − f(x0) − A∆x
lim
∆x→0
∆x
Pēdējā vienādībā A∆x ir lineāra funkcija g(∆x), pie kam f(x0) + g(∆x) ir funkcijas
f(x) labs lokālais lineārais tuvinājums punkta x0 apkārtnē.
Tādā veidā, attēlojumu f : R → R sauc par diferencējamu punktā x0 ∈ D(f) (kur x0
ir D(f) akumulācijas punkts), ja eksistē tāds lineārs attēlojums g : R → R , ka
kur g(∆x) = f ′ (x0)∆x.
f(x0 + ∆x) − f(x0) − g(∆x)
lim
∆x→0
∆x
Diferencējamības definīciju var vispārināt “augstākas” dimensijas telpām, nekā R. Tā,
attēlojumu f : Rn → Rm sauc par diferencējamu punktā x0 ∈ Rn, ja eksistē tāds lineārs
attēlojums g : Rn → Rm, ka
||f(x0 + h) − f(x0) − g(h)||m
lim
h→0
||h||n
Atzīmēsim, ka normas zīmes ˇseit ir nepiecieˇsamas, tāpēc ka x0 un h pieder Rn, bet
f(x0 + h) − f(x0) − g(h) ir punkts no Rm.
Analoˇgiski diferencējamības jēdzienu var vispārināt patval¸īgām lineārām normētām
telpām (skat. [8] II, [9], [10] vai [13]).
= 0.
= 0,
= 0.
Atzīmēsim, ka diferencejamības nosacījumu, ko izsaka vienādība
f(x0 + ∆x) − f(x0) = A∆x + α(∆x)∆x,
kur x = x0 + ∆x, (∆x = x − x0), var pierakstīt arī formā
kur α(x) → 0, ja x → x0.
f(x) − f(x0) = A(x − x0) + α(x)(x − x0),
Nākoˇsajā nodal¸ā apskatīsim sīkāk diferenciālrēk¸inu konstruēˇsanas treˇso pamatideju.