MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

3.1. Garums un laukums
1. Parasti nogrieˇzņa garuma jēdzienu apraksta ar mērīˇsanas procesu. Par nogrieˇzņa
garumu sauc arī attēlojumu d(∆), kas ir definēts visu nogrieˇzņu kopā, bet vērtības pieder
kopai R un apmierina ˇsādus nosacījumus:
1. d(∆) > 0;
2. ja nogrieˇzņi ∆1 un ∆2 ir kongruenti, tad d(∆1) = d(∆2);
3. ja diviem nogrieˇzņiem ∆1 un ∆2 nav kopīgu iekˇsējo punktu, tad d(∆1 ∪ ∆2) =
d(∆1) + d(∆2);
4. par nogrieˇzņa ∆0, kas ir pieņemts par vienības nogriezni, garumu pieņem skaitli 1,
t.i., d(∆0) = 1.
Tādā veidā, garums d(∆) ir funkcija, kura ir definēta visu nogrieˇzņu kopā, pieņem vērtības
no R un apmierina 1-4 nosacījumus. Citiem vārdiem runājot, garumu definē kā attēlojumu
d : {∆} → R, kas apmierina 1-4 aksiomas.
Atzīmēsim, ka katram fiksētam vienības nogrieznim ∆0 eksistē viens vienīgs attēlojums
d : {∆} → R, kas apmierina 1-4 aksiomas. ˇ Sī teorēma par eksistenci un vienīgumu atrisina
jautājumu par aksiomātikas nepretrunību. Tāpat ir pierādīta ˇso četru aksiomu pilnība un
neatkarība.
2. Kaut gan laukuma jēdziena ievieˇsana realizējas pēc tās paˇsas shēmas, tomēr
tai ir savas īpatnības. Atˇsk¸irībā no garuma, kas tiek definēts jebkuram nogrieznim,
laukums netiek definēts jebkurai figūrai, bet tikai speciālu plakano figūru, kuras sauc
par kvadrējamām, klasei. ˇ Sādu figūru klasi var izvēlēties daˇzādi, bet jebkurā gadījumā
“vienības” kvadrāts pieder apskatāmajai kvadrējamo figūru klasei.
Kvadrējamo figūru vienkārˇsākā klase ir visu plakanu daudzstūru klase {M}. Par
laukumu daudzstūru kopai {M} sauc attēlojumu Q : {M} → R, kuram izpildās ˇsādi
nosacījumi:
1. Daudzstūra laukums Q(M) 0;
2. Ja M1 un M2 ir kongruentie daudzstūri, tad Q(M1) = Q(M2), t.i., daudzstūru
laukumi ir vienādi;
3. Ja diviem daudzstūriem M1 un M2 nav kopīgu iekˇsējo punktu, tad Q(M1 ∪ M2) =
Q(M1) + Q(M2);
4. Vienības kvadrāta M0 laukums Q(M0) ir vienāds ar 1.
Tāpat ir spēkā apgalvojums, ka fiksētam vienības kvadrātam M0 eksistē viens vienīgs
attēlojums Q : {M} → R, kas apmierina 1-4 nosacījumus. Laukumu teorija attīstās
tālāk paplaˇsinot kvadrējamo figūru klasi. Pēc tās paˇsas shēmas ir izveidota daudzskaldņu
tilpumu teorija.
Matemātiskās analīzes kursā tiek apskatīti kvadrējami un kubējami apgabali, balstoties
atbilstoˇsi uz daudzstūra laukuma un daudzskaldņa tilpuma jēdzienu. Tā, piemēram,
plaknes “apgabalu” mērīˇsanas definīcija sastāv no ˇsādiem apgalvojumiem: