MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

Starpību M(x0) − m(x0) sauc par funkcijas f(x) svārstību punktā x0 un apzīmē ar
ω(x0).
1.1. teorēma. Funkcija f(x), kura definēta kopā X, ir nepārtraukta punktā x0 ∈ X
tad un tikai tad, kad ω(x0) = 0, t.i. ja funkcijas svārstība punktā x0 ir vienāda ar
nulli.
Pierādījums: ◮ Teorēma ir acīmredzama, ja x0 ir kopas X izolētais punkts.
Pieņemsim, ka x0 ir kopas X akumulācijas punkts, x0 ∈ X.
Nepiecieˇsamība. Pieņemsim, ka f(x) ir nepārtraukta punktā x0. Fiksēsim patval¸īgu
ε > 0 un norādīsim tādu δ > 0, ka |f(x) − f(x0)| < ε visām vērtībām x ∈ D(f), kuras
apmierina nosacījumu |x − x0| < δ. Tātad, ja x ∈ X ∩ U(x0, δ), tad
f(x0) − ε < f(x) < f(x0) + ε.
No tā seko, ka f(x0) − ε ≤ mδ ≤ Mδ ≤ f(x0) + ε, līdz ar to noteikti izpildās nevienādības
f(x0) − ε ≤ m(x0) ≤ M(x0) ≤ f(x0) + ε.
Tā kā ε tika izvēlēts patval¸īgi, tad no pēdējās nevienādības seko, ka m(x0) = M(x0),
t.i. ω(x0) = 0.
Pietiekamība. Pieņemsim, ka ω(x0) = 0, t.i. m(x0) = M(x0), tad
m(x0) = M(x0) = f(x0).
Fiksēsim patval¸īgu ε > 0 un norādīsim tādu δ > 0, ka m(x0) − ε < mδ ≤ m(x0) un
M(x0) ≤ Mδ < M(x0) + ε. Pēdējās nevienādības norāda, ka f(x0) − ε < mδ un M(x0) <
f(x0) + ε. Ja punkts x ∈ X ∩ U(x0, δ), tad f(x) atrodas starp mδ un Mδ, t.i. f(x0) −
ε < f(x) < f(x0) + ε. Citiem vārdiem sakot, visiem x ∈ X un apmierina nevienādību
|x − x0| < δ, izpildās nevienādība |f(x) − f(x0)| < ε. Teorēma ir pierādīta. ◭
Tā kā nosacījums ω(x0) = 0 ir gan nepiecieˇsams, gan pietiekams, lai funkcija punktā x0
būtu nepārtraukta, tad ˇso nosacījumu var pieņemt par vēl vienu funkcijas nepārtrauktības
punktā definīciju, ˇsī definīcija būs ekvivalenta gan definīcijai pēc Koˇsī, gan pēc Heines. ˇ Sī
jaunā definīcija pieder R. Bēram, to plaˇsi pielieto reālā mainīgā funkciju teorijā.
Kā zināms, funkciju f(x), kura uzdota kopā X, sauc par nepārtrauktu kopā X, ja tā
ir nepārtraukta katrā ˇsīs kopas punktā x ∈ X. Kopa X var būt arī intervāls.
4. Tradicionāli matemātiskajā analīzē punktā nepārtrauktas funkcijas jēdziens tiek
apskatīts kā sekundārs jēdziens, bet funkcijas robeˇzas jēdziens, kā primārs. Tomēr var
veidot teoriju tā, ka sākumā definē punktā nepārtrauktas funkcijas jēdzienu, bet pēc tam
robeˇzas jēdzienu.
Tātad, pieņemsim, ka ir definēta nepārtraukta funkcija, piemēram (ε − δ) formā (Koˇsī
formā), un kopa D(f) ∩ ◦
U(x0) ir netukˇsa jebkurai punkta x0 izdurtai apkārtnei, t.i.,
x0 ir kopas D(f) akumulācijas punkts. Ja f(x) ir nepārtraukta punktā x0, tad skaitli
b = f(x0) sauc par funkcijas f(x) robeˇzu punktā x0. Ja funkcijai f(x) punktā x0 ir
novērˇsams pārtraukuma punkts un x0 ∈ D(f) tad, ja eksistē skaitlis b (b = f(x0)), ka
pārdefinējot funkciju f(x) ar vērtību b punktā x0 tā, lai jaunā funkcija punktā x0 būtu
nepārtraukta, skaitli b sauc par funkcijas f(x) robeˇzu punktā x0. Ja punktā x0 funkcija
f(x) nav definēta (t.i., x0 ∈ D(f)), tad, ja eksistē skaitlis b, kā punktā x0 var definēt