MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

Viegli redzēt, ka viens punkts un kopa, kas sastāv no galīga punktu skaita, ir nulles
mēra kopas. Arī nulles mēra kopu ne vairāk kā sanumurējams apvienojums ir nulles mēra
kopa. Nulles mēra kopas apakˇskopa ir nulles mēra kopa.
Saskaņā ar integrējamības kritēriju, summa n−1
ω(f, ∆k)∆xk var būt maza, jo reizinātāji
ω(f, ∆k) var būt mazi funkcijas nepārtrauktības punktu pietiekoˇsi mazās apkārtnēs.
Gadījumā, ja daˇzi nogrieˇzņi ∆k satur pārtraukuma punktus, tiem ω(f, ∆k) netiecās uz
nulli, lai arī cik sīki nesadalītu nogriezni [a, b].
Līdz ar to, ω(f, ∆k) ω(f, [a, b]) < +∞, tāpēc, ka funkcija f ir ierobeˇzota nogrieznī
[a, b]. Saskaņā ar to, summas n−1
ω(f, ∆k)∆xk to saskaitāmo, kas satur pārtraukuma
k=0
punktus, summa var būt arī pietiekoˇsi maza, ja sadalījuma parciālnogrieˇzņu, kas pārklāj
pārtraukuma punktu kopu, garumu summa ir maza. Atzīmēsim, ka reizinātāja ω(f, ∆k)
palielināˇsanās daˇziem sadalījuma parciālnogrieˇzņiem ∆k, kaut kādā mērā, var kompensēt
ar otra reizinātāja ∆xk samazināˇsanos.
Balstoties uz ˇso spriedumu, izvirza versiju, ka funkcija f var būt integrējama Rīmaņa
nozīmē nogrieznī [a, b], ja ˇsajā nogrieznī funkcijas pārtraukuma punktu kopas mērs ir
nulle. Tas arī ir Lebega integrējamības kritērija pamatā. Lebega integrējamības kritērijs:
lai nogrieznī [a, b] ierobeˇzota funkcija f būtu integrējama, nepiecieˇsami un pietiekami, lai
ˇsīs funkcijas pārtraukumu punktu kopas mērs Lebega nozīmē būtu nulle. ˇ Sajā gadījumā
saka, ka nogrieznī [a; b] ierobeˇzotai funkcijai f jābūt gandrīz visur nepārtrauktai nogrieznī
[a, b], lai tā būtu integrējama ˇsajā nogrieznī. (pierādījumu sk. [4], 3.8.)
[a, b].
8. Pieņemsim, ka kopa E ir patval¸īga lineārā kopa uz [a, b]. Apskatīsim funkciju
1,
e(x) =
0,
ja
ja
x ∈ E,
x ∈ [a, b] \ E.
ˇSo funkciju, kas ir definēta nogrieznī [a, b], sauc par kopas E raksturfunkciju kopā
Saikni starp raksturfunkcijas Rīmaņa integrāli un kopas E ˇ Zordāno mēru raksturo
ˇsāda teorēma: lineāras kopas E ⊂ [a, b] raksturfunkcijas apakˇsējais Darbū integrālis I ir
vienāds ar mE, bet augˇsējais Darbū integrālis I ir vienāds ar mE. Tik tieˇsām, funkcijas
e(x) uz [a, b] augˇsējā Darbū summa ir ST = n−1
Mk∆xk, tā ir sadalījuma parciālintervālu
k=0
(xk, xk+1), kas satur vismaz vienu kopas E punktu, garumu summa. No tā seko, ka, ja
λ → 0, tad summa ST tiecas uz mE, no otras puses, ST tiecas uz I, (ja λ → 0) t.i.,
I = mE.
Tādā paˇsā veidā var parādīt, ka I = mE.
Ja teorēmas nosacījumos I = I, tas ir, ja kopas E uz [a, b] raksturfunkcija e(x) ir
b
integrējama Rīmaņa nozīmē, tad kopa E ir mērojama un mE = e(x)dx.
ˇSī formula rāda saikni starp ˇ Zordana mēru un Rīmaņa integrāli.
9. Pielietojot noteikto integrāli ˇgeometrijas un fizikas uzdevumu risināˇsanā, tiek izmantotas
divas shēmas. Pirmā shēma definē integrāli kā integrālsummas robeˇzu, bet otrā
darbojas tā, ka vispirms sastāda sakarību starp apskatāmo lielumu diferenciāl¸iem, bet
k=0
a