MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

1. Pieņemsim, ka X = N, kur N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .}. Virziens tiek noteikts ar
sistēmas S apakˇskopu An no N palīdzību, kur An = {n, n + 1, n + 2, . . .} visiem
n = 1, 2, . . .. Acīmredzami, ka visiem n ∈ N izpildīsies An ⊃ An+1 un ∞
An = ∅.
ˇSādu virzienu var apzīmēt “n → +∞” (vai “n → ∞”). ˇ Sajā gadījumā funkcija
y = f(x) ir f(n), tā ir kopas Y ⊂ R punktu y1, y2, . . . virkne. Tad, saskaņā ar
vispārīgo definīciju, punkts b ∈ R ir virknes (yn) robeˇza pēc virziena S (t.i., ja
n → +∞), ja katram ε > 0 var norādīt kopu An = {n, n + 1, n + 2, . . .}, kuras katrā
punktā izpildās |yn − b| < ε. Ir acīmredzami, ka kopas An norādīˇsana ir ekvivalenta
tāda numura N norādīˇsanai, ka visiem n > N izpildās nevienādība |yn − b| < ε.
2. Pieņemsim, ka a < +∞ ir kopas X ⊆ R akumulācijas punkts. Noteiksim kopā X
virzienu S (kuru apzīmēsim “x → a”) ˇsādi: par virzienu kalpos kopas X punktu
apakˇskopu, kuras pieder izdurtām apkātnēm ◦
U(a, δ) ar rādiusu δ > 0, sistēma, t.i.
apakˇskopu X ◦
U(a, δ) sistēma.
Apskatīsim funkciju f : X → Y , tad skaitli b ∈ R sauc par funkcijas f robeˇzu kad
x → a, ja jebkuram ε > 0 eksistē tāds δ > 0, ka visiem x ∈ X ◦
U(a, δ) jeb x ∈ X
un 0 < |x − a| < δ, izpildās nevienādība |f − b| < ε.
3. Pieņemsim, ka a ∈ R un X = R + a = {x|x ∈ R un x ≥ a}. Virzienu S noteiksim,
kā visu apakˇskopu Aα ⊂ R + a , kur Aα = {x|x ∈ R + a un x ≥ α}, sistēmu. ˇ So virzienu
apzīmēsim “x → +∞”.
Tālāk, pieņemsim, ka funkcija f ir definēta visiem x ≥ a ar vērtībām kopā Y ⊆ R,
tad b ∈ R sauc par funkciju f robeˇzu kad x → +∞, ja jebkuram ε > 0 var
norādīt tādu kopu Aα (vai skaitli α), ka visiem x ∈ Aα jeb x ≥ max{α, a} izpildās
nevienādība |f − b| < ε.
Analoˇgiski, tiek noteikts virziens “x → −∞” uz reālās pusass R − a = {x|x ∈ R un
x ≤ a}; un visbeidzot tiek noteikts virziens x → ∞ (|x| → +∞), un tiek definēta
robeˇza tādam virzienam.
1.1. piezīme. Arī citi robeˇzpāreju veidi var tikt definēti ar robeˇzas pēc virziena palīdzību.
Koˇsī pazīme ir nepiecieˇsamais un pietiekamais attēlojuma (funkcijas) robeˇzas eksistē-
ˇsanas nosacījums:
Attēlojumam f : X → Y , kur X, Y ⊆ R, eksistē robeˇza pēc virziena S tad un tikai
tad, kad jebkuram ε > 0 eksistē tāda kopa A ∈ S, ka visiem x ′ ∈ A un x ′′ ∈ A izpildās
nevienādība |f(x ′ ) − f(x ′′ )| < ε. (skat. [18], 130.-131. lpp.)
3.2. Apskatīsim funkcijas robeˇzas pēc bāzes koncepciju.
Kā zināms, matemātiskajā analīzē tiek noteiktas funkcijas robeˇzas kopīgās īpaˇsības:
ierobeˇzotība un zīmes nemainība punkta kādā izdurtajā apkārtnē, algebriskās operācijas,
robeˇzpāreja nevienādībās. Nav grūti pamanīt, ka pierādot ˇsīs īpaˇsības, izmantotas tikai
divas prasības par izdurtām apkārtnēm: prasība, lai izdurtā apkārtne būtu netukˇsa un
prasība, ka jebkuru divu dotā punkta izdurto apkārtņu ˇsk¸ēlums arī ir ˇsī punkta izdurtā
apkārtne. Tas dod iespēju izveidot robeˇzas definīciju, izmantojot tādu matemātisko objektu,
kuru sauc par “bāzi”.
n=1