MATEM¯ATISK¯AS ANAL¯IZES S¯AKUMU ZIN¯ATNISKIE PAMATI ...

2.3. Diferencējamība un nepārtrauktība
No matemātiskās analīzes kursa ir zināms, ka no tā, ka funkcija ir diferencējama
punktā, izriet, ka funkcija ir arī nepārtraukta ˇsajā punktā, tomēr apgrieztais apgalvojums,
vispārīgi runājot, nav patiess. Piemēram, funkcijas f(x) = |x| un ϕ(x) = e |x| ir
nepārtrauktas reālā taisnē R, bet nav diferencējamas punktā x = 0. Arī funkcija
1 x sin , ja x = 0,
g(x) =
x
0, ja x = 0.
nav diferencējama punktā x = 0, bet ir nepārtraukta reālā taisnē R. Atzīmēsim, ka
funkcijām f(x) un ϕ(x) punktā x = 0 eksistē atvasinājumi no kreisās un no labās puses,
kas savā starpā nav vienādi. Funkcijai g(x) punktā x = 0 neeksistē vienpusējie
atvasinājumi.
Funkcija h(x) = | sin x| ir nepārtraukta kopā R un nav diferencējama sanumurējamā
punktu kopā x = kπ, kur k ir vesels skaitlis.
Lielā mērā negaidīts var būt gadījums, kad funkcija, kas ir definēta kopā R, ir
nepārtraukta un diferencējama tikai vienā punktā. Tā (skat. 1., 2. paragrāfa 4. punktu)
tika apskatīta funkcija
f(x) =
x 2 , ja x ir racionāls skaitlis,
−x 2 , ja x ir irracionāls skaitlis.
Funkcija f(x) ir nepārtraukta tikai vienā punktā x0 = 0, nav grūti parādīt, ka f(x) arī ir
diferencējama ˇsajā punktā un f ′ (x0) = 0. Tieˇsām
f(x) − f(x0)
=
x − 0
f(x)
x =
x, ja x ir racionāls skaitlis,
−x, ja x ir irracionāls skaitlis.
f(x)
Tad lim
x→0 x = 0, tas ir, f ′ (0) = 0.
Augstāk apskatītie piemēri var radīt priekˇsstatu, ka katrai nepārtrauktai funkcijai ek-
sistē atvasinājums visos funkcijas nepārtrauktības punktos, izņemot funkcijas īpaˇspunktus.
Tomēr matemātiskajā analīzē daˇzādos laikos, sākot ar pagājuˇsā gadsimta pirmo pusi, ir
konstruēti nepārtrauktu funkciju, kas nav diferencējamas nevienā punktā, piemēri.
Vienu no tādām funkcijām izdevās konstruēt veicot bezgalīgi daudz funkcijas |x|
nobīdes. Tieˇsām, funkcija |x| ir visur nepārtraukta, bet nav diferencējama punktā x = 0.
Veicot ˇsīs funkcijas “nobīdes”, var iegūt visur nepārtrauktu funkciju, kurai neeksistē
atvasinājums katrā dotās galīgas kopas punktā. Veicot bezgalīgi daudzas funkcijas |x|
nobīdes iegūst meklējamo funkciju. Tā, kādā etapā konstruējot lauzto līniju, kas balstās
uz abscisu asi, un kuru posmu virziena koeficienti ir ±1, tālāk konstruē lauzto līniju ar
vēl smalkākiem posmiem un tādiem paˇsiem virziena koeficientiem, utt. (sk. [16], II, 480.
lpp.).
Pieņemsim
1
x, ja 0 x
f0(x) =
2 ,
< x 1,
1 − x, ja 1
2