HYDRAULICA - site

- 22 -
T
grad( )
, ,
x y z
⎟ ⎛ ∂φ
∂φ
∂φ
⎞
φ = ∇φ
= ⎜
(2.4)
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠
De ruimtelijke afgeleide van een vectoriële grootheid v(x) is de divergentie, wanneer we het
scalair product nemen van ∇ en v
div(
v)
ofwel de rotatie in geval van het vectoriëel product
rot(
v)
∂v
∂v
x y ∂v
z
= ∇ ⋅ v = + +
(2.5)
∂x
∂y
∂z
T
⎛ ∂v
∂v
z y ∂v
v
x ∂v
∂ z y ∂v
⎞ x
= ∇ × = ⎜ − − − ⎟
(2.6)
v
⎜
⎝ ∂y
,
∂z
∂z
,
∂x
∂x
∂y
⎟
⎠
Om de vervorming te bepalen kijken we naar de verschillen in snelheid volgens de plaats
∇v
T
⎧∂v
x
⎪
⎪
∂x
⎪∂v
x
= ⎨
⎪ ∂y
⎪∂v
x
⎪
⎩ ∂z
∂v
y
∂x
∂v
y
∂y
∂v
y
∂z
⎫
⎪
⎪
∂v
z
∂x
∂v
z
⎬
∂y
∂v
z
∂z
⎪
⎪
⎪
⎭
(2.7)
Dit is een tweede orde tensor die men kan ontbinden in een symmetrisch deel en een
antisymmetrisch deel
⎧
⎪
⎪
∂v
x
∂x
⎛ ∂v
∂v
⎞
1 y x
⎜
⎟
2 +
⎝ ∂x
∂y
⎠
⎛ ∂v
∂v
⎫
1 z x ⎞
2 ⎜ + ⎟⎪
⎝ ∂x
∂z
⎠⎪
⎪ T ⎛ ∂v
∂v
⎞
1 x y
∇v
= ⎨ ⎜
⎟
2 +
⎪ ⎝ ∂y
∂x
⎠
⎪ ⎛ ∂v
∂v
1 x z ⎞
⎪ 2 ⎜ + ⎟
⎪⎩
⎝ ∂z
∂x
⎠
∂v
y
∂y
⎛ ∂v
∂v
⎞
1 y z
⎜
⎟
2 +
⎝ ∂z
∂y
⎠
⎛ ∂v
∂v
⎞⎪
1 z y
⎜
⎟
2 + ⎬ +
⎝ ∂y
∂z
⎠⎪
∂v
⎪
z
⎪
∂z
⎪⎭
⎧
⎪
⎪
0
⎛ ∂v
∂v
⎞
1 y x
⎜ −
⎟
2
⎝ ∂x
∂y
⎠
⎛ ∂v
∂v
⎞⎫
1 z x
2 ⎜ − ⎟⎪
⎝ ∂x
∂z
⎠⎪
⎪ ⎛ ∂v
∂v
⎞
1 x y
⎨ ⎜ −
⎟
2
⎪ ⎝ ∂y
∂x
⎠
⎪ ⎛ ∂v
∂v
1 x z ⎞
⎪ 2 ⎜ − ⎟
⎪⎩
⎝ ∂z
∂x
⎠
0
⎛ ∂v
y ∂v
⎞
1
z
⎜ −
⎟
2
⎝ ∂z
∂y
⎠
⎛ ∂v
∂v
⎞⎪
1 z y
⎜ −
⎟
2
⎬
⎝ ∂y
∂z
⎠⎪
⎪
0 ⎪
⎭
(2.8)
In de cursus Mechanica van het Continuüm wordt aangetoond dat het antisymmetrische deel
een starre rotatie beschrijft welke geen vervorming veroorzaakt. Dus alleen het symmetrische
deel beschrijft de vervorming; dit noemt men de tensor van de snelheidsgradiënten V