HYDRAULICA - site

4.1 Stromingsvergelijkingen
- 46 -
4 STROMING ZONDER WRIJVING
De Euler-vergelijkingen gelden voor perfecte vloeistoffen (µ = 0) of indien de stroming
rotatieloos is (∇×v = 0). In beide gevallen zijn er geen schuifspanningen of wrijving aanwezig
in de vloeistof. Dit is een vreemde zaak, want vloeistoffen worden in beweging gebracht door
schuifspanningen. Het is alsof we met een lepel in de soep roeren en de soep onbeweeglijk
blijft. Dit impliceert ook dat stromende perfecte vloeistoffen niet gestopt kunnen worden en
eeuwig onveranderlijk blijven doorstromen zonder energieverlies. Uiteraard bestaan
dergelijke stromingen niet (uitgezonderd vloeibaar helium bij een temperatuur lager dan
2,2°K), maar is het toegestaan te veronderstellen dat de vloeistof zich gedraagt op een
perfecte wijze in geval er weinig wrijving is. Dit zijn meestal lokale situaties waar de wrijving
van ondergeschikt belang is en de Euler-vergelijkingen bij benadering toepasbaar zijn
∇ ⋅ v = 0
(4.1a)
dv
∂v
ρ = ρ + ρv
⋅∇v
= −ρg∇z
− ∇p
(4.1b)
dt ∂t
waarbij we als uitwendige krachten alleen de zwaartekracht beschouwen. Dit is een stelsel
van vier vergelijkingen en vier onbekenden, p en v, hetgeen theoretisch oplosbaar is. Echter
gezien de complexiteit van de vergelijkingen, zijn er in de praktijk nog verdere
vereenvoudigingen nodig om bruikbare resultaten te bekomen.
Veronderstel dat we over een oplossing beschikken voor een bepaald probleem. We kennen
dan de druk en de snelheid in elk punt en op elk tijdstip. Volgens het standpunt van Lagrange
volgen we elk deeltje in zijn beweging. Vertrekkende van een beginpositie x(0) op tijdstip t =
0 komen we in een positie x(t) terecht na een tijd t; een dergelijk traject wordt een stroombaan
genoemd (Fig. 4.1a). De vergelijking van een stroombaan is
ofwel
t=0
x(0)
t1
x(t1)
t2
x(t2)
dx
v
x
d x
= v
(4.2)
dt
dy dz
= = = dt
(4.3)
v v
y
Fig. 4.1 Een stroombaan (A) en een stroomlijn (B).
z
x0
v(x0,t)
x1
v(x1,t)
A B
v(x2,t)
x2