HYDRAULICA - site

ehalve ∂vx/∂y, zodat
- 30 -
b ∂v
x
τ xy = τ yx =
(2.41)
2 ∂y
Vergelijken we dit met de viscositeitswet van Newton (vergelijking 1.12) dan volgt hieruit dat
b = 2µ, zodat voor Newtoniaanse viskeuze vloeistoffen geldt
T = −pI
+ 2µ
V
(2.42)
De spanningen bestaan uit twee bijdragen: een isotrope druk -pI en de zogenaamde viskeuze
spanningen 2µV die het effect zijn van de stroming en de viscositeit van de vloeistof. Uit
vergelijkingen 2.42 en 2.9 volgt dan
2
∇ ⋅ T = −∇p
+ µ ∇ v
(2.43)
waarbij ook gebruik werd gemaakt van het feit dat de stroming divergentieloos is. De
stromingsvergelijkingen voor een viskeuze vloeistof worden nu
v
dt
∇ ⋅ v = 0
(2.44)
d 2
∂v
∂v
T 1
= + ( v ⋅∇)
v = + ∇ ⋅ ( vv
) = f − ∇p
+ ν∇
v
(2.45)
∂t
∂t
ρ
Dit zijn de Navier-Stokes vergelijkingen, die bestaan uit 4 vergelijkingen met 4 onbekenden,
zijnde de druk en de drie componenten van de snelheid. Deze vergelijkingen zijn vrij
ingewikkeld en in de praktijk zijn er niet veel oplossingen gekend, wat blijkt wanneer we deze
vergelijkingen voluit schrijven
dt
∂v
x
= + v
∂t
∂v
∂x
∂v
∂v
x y ∂v
z
+ + = 0
∂x
∂y
∂z
∂v
∂y
∂v
∂z
2
∂v
∂ ∂v
v
x v x x y ∂v
x v
= + + +
∂t
∂x
∂y
∂z
dv x
x
x
x
z
x + v y + v z
dt
∂v
y
= + v
∂t
=
(2.46)
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ v ∂ ⎞
x ∂ v x v x
f − + ν
⎜ + +
⎟
x
(2.47)
2 2 2
ρ ∂x
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
2
dv y
∂v
y ∂v
y ∂v
y
y
z
x + v y + v z
∂x
∂y
∂z
∂v
y ∂v
x v
= +
∂t
∂x
∂v
y ∂v
yv
+ +
∂y
∂z
2 2 2
1 ∂p
⎛ ∂ v ∂ ⎞
y ∂ v y v y
f − + ν⎜
+ + ⎟
y
(2.48)
ρ ∂ ⎜ 2 2 2
y
⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
=