HYDRAULICA - site

- 26 -
rotatieloze stroming wordt de continuïteitswet dan
2 2 2
2 ∂ φ ∂ φ ∂ φ
∇ ⋅ ( ∇φ)
= ∇ φ = + + = 0
(2.23)
2 2 2
∂x
∂y
∂z
met ∇ 2 de Laplace operator, waaruit blijkt dat de potentiaal φ een harmonische functie is,
d.w.z. dat ze voldoet aan de Laplace vergelijking.
2.3 Behoud van impuls
Behoud van impuls is een uitdrukking van de tweede wet van Newton, welke stelt dat een
verandering in de beweging het gevolg is van krachten, die inwerken op de materie. Deze wet
wordt geformuleerd in vectorvorm als: de verandering van impuls in de tijd is gelijk aan de
som van alle inwerkend krachten. Beschouw een volume V omsloten door een oppervlak S,
zoals weergegeven in Fig. 2.4, dan wordt behoud van impuls
d
⎜⎛
∫ ρvdV⎟⎞
=
dt ⎝ V ⎠
∫
V
ρfdV
+
∫
S
TdS
(2.24)
hierin zijn f = (fx,fy,fz) T de uitwendige krachten (zoals de zwaartekracht) uitgedrukt per massa
van het fluïdum, met dimensies [F/M = L/T 2 ], en T de inwendige spanningen, zijnde krachten
per oppervlak, met dimensies [F/L 2 ]. T is de spanningstensor gegeven door
T⋅S
⎧τ
xx τ xy τ xz ⎫
⎪
⎪
T = ⎨τ
yx τ yy τ yz ⎬
(2.25)
⎪
⎪
⎩τ
zx τzy
τzz
⎭
S
V
Fig. 2.4 Behoud van impuls.
De componenten van de spanningstensor τij geven de spanning in de i-richting op een vlak
met een normaal in de j-richting. Wanneer de 2 indices verschillend zijn betreft het dus
schuifspanningen en anders normaalspanningen, welke dikwijls ook aangeduid worden door
σi = τii. Alle componenten van de spanningstensor worden voorgesteld in Fig. 2.5. De kracht
ρv
ρf