HYDRAULICA - site

ofwel
- 28 -
∂ρv
+ ( v ⋅∇)
ρv
+ ρv(
∇ ⋅ v)
= ρf
∂t
∂ρ
∂t
v T
+ ∇ ⋅ ( ρvv
) = ρf
+ ∇ ⋅
+ ∇ ⋅
T
T
(2.30)
(2.31)
Deze vergelijking is fysisch interpreteerbaar als volgt: de locale verandering in impuls op een
bepaalde plaats, ∂ρv/∂t, is afhankelijk van de uitwendige en inwendige krachten en van de
divergentie van ∇⋅(ρvv T ), dit is de impuls per volume ρv die wordt getransporteerd door de
stroming v. Dit betekent dat impuls een eigenschap of kenmerk is van de vloeistof die mee
verplaatst wordt met de stroming, zoals bijvoorbeeld massa of temperartuur. Merk op dat vv T
geen scalair product is maar wel een tweede orde tensor met componenten vivj.
Vergelijkingen 2.28, 2.29 en 2.31 zijn gelijkwaardig en drukken allemaal de tweede wet van
Newton uit.
Behoud van moment van impuls, in geval er geen uitwendige koppels aangrijpen op het
fluïdum (hetgeen altijd het geval is bij een vloeistof, tenzij in zeer uitzonderlijke situaties
zoals bij een magnetische vloeistof in een magnetisch veld), geeft als resultaat dat de
spanningstensor symmetrisch is (zie cursus Mechanica van het Continuüm)
T
T = T
(2.32)
dus τij is gelijk aan τji enz., zodat de spanningstensor eigenlijk slechts 6 componenten bevat
i.p.v. 9. Merk op dat de impulsvergelijking met de continuïteitsvergelijking een onoplosbaar
stelsel vormt, er zijn immers slechts 4 vergelijkingen maar 10 onbekenden, zijnde de densiteit,
de drie snelheidscomponenten en de zes componenten van de spanningstensor. Er moeten dus
nog bijkomende vergelijkingen geformuleerd worden om een probleem oplosbaar te maken.
Dit zijn de zogenaamde constitutieve betrekkingen die eigenschappen van het materiaal
uitdrukken.
We beschouwen nog enkele speciale gevallen van de impulsvergelijking. In het geval er geen
stroming is, dan drukt de tweede wet van Newton het evenwicht uit tussen de uitwendige en
inwendige krachten
ρ f + ∇ ⋅ T = 0
(2.33)
Deze vergelijking is eveneens van toepassing in het geval dat de verplaatsingen zeer traag
zijn, zodat de inertietermen in de impulsvergelijking verwaarloosd kunnen worden. Dit noemt
men kruipstroming.
In geval van een divergentieloze stroming (∇⋅v = 0) zijn er geen verdere vereenvoudigingen
mogelijk. Echter, omdat (v⋅∇)v = ∇(v 2 /2) - v×(∇×v) (zie cursus Mechanica van het
Continuüm), volgt uit vergelijking 2.29 dat voor een rotatieloze stroming (∇×v = 0) de
impulsvergelijking als volgt kan geschreven worden
1 ( ρv
) = ρf
+ ∇ ⋅ T
∂v
2
ρ + ∇
(2.34)
2
∂t
met v de grootte van de snelheid, waarin men in de tweede term van het linkerlid de