STAtOR 2007 2c.indd - Universiteit Twente

Als θ een waarde heeft die onder H m is toegestaan,dan verdwijnt de waarschijnlijkheid p(x|θ)uit de teller en noemer van (1). Als encompassingpriors (Klugkist, Kato en Hoijtink, 2005) wordengebruikt kan (1) nog verder worden vereenvoudigd.Voor een simpel model waarin slechts tweegemiddelden een rol spelen staat de encompassingprior p(θ|H 0 ) weergegeven in Figuur 1: hetis een niet informatieve uniforme verdeling, datwil zeggen een verdeling die vergeleken met deinformatie in de data weinig tot geen informatieover de modelparameters θ bevat. De prior verdelingvoor de parameters van het gerestricteerdemodel H m valt eenvoudig uit de encompassingprior af te leiden: het is simpelweg dat deel van deencompassing prior in overeenstemming met derestricties en vermenigvuldigd met een constanteC m zodanig dat ∫ υ p(θ|H m )dθ = 1.µ 2µ 1 =µ 2µ 1Figuur 1: Priors en posteriorsIn Figuur 1 is voor H m : µ 1 >µ 2 de prior verdelinggelijk aan de onderdriehoek vermenigvuldigdmet een constante C m =2. Meer formeel kan wordengesteld dat voor een waarde van θ die is toegestaanonder H m geldt dat p(θ|H m ) = C m p(θ|H o ).In Figuur 1 representeren de ellipsen de isodensitycontouren van de posterior verdeling vanµ 1 en µ 2 onder het niet gerestricteerde model, endezelfde contouren in de onderdriehoek de posteriorverdeling voor H m : µ 1 >µ 2 . Ook hier geldt in hetalgemeen dat, voor waarden van θ die zijn toegestaanonder H m , de posterior kansdichtheid vanhet gerestricteerde model proportioneel is aan dievan het ongerestricteerde model:p(θ|x,H m ) = d m p(θ|x,H o ).Met behulp van de afleidingen in de vorige alineakan (1) worden herschreven totBF 0m =d m /c m , (2)waarbij 1/d m gelijk is aan de proportie van deongerestricteerde posterior in overeenstemmingmet de restricties van model H m , en 1/c m de proportievan de ongerestricteerde prior in overeenstemmingmet de restricties. Dit leidt tot eeneenvoudige schatter van BF 0m : trek een steekproefuit zowel de ongerestricteerd posterior als prior,en gebruik deze om d m en c m en te schatten. Dezesteekproeven zijn eenvoudig te verkrijgen metbehulp van Markov Chain Monte Carlo methoden(zie bijvoorbeeld Gelman, Carlin, Stern en Rubin,2004).De Achilleshiel van de Bayesiaanse statistiek isdat inferenties afhankelijk zijn van de keuze vande a priori verdelingen. Voor een brede klasse vanongelijkheidsgerestricteerde modellen kan wordenaangetoond dat dit niet het geval is (Klugkist,Kato en Hoijtink, 2005). Dit kan aan de hand vanFiguur 1 worden geïllustreerd: ongeacht de grenzenvan de prior verdeling is 1/c m altijd gelijk aan.50; en als de data de prior domineren (dat is vaakzo) dan is de posterior verdeling nagenoeg onafhankelijkvan de gekozen prior en hangt ook 1/d mniet af van de grenzen van de prior. Kortom, het6STAtOR juni 2007/2