Introdução à Lógica

Por exemplo, ⊙ p ⊙ q ⊙⊙ é um teorema, pois é um axioma. Aplicando a regra, obtemos
⊙ p ⊙⊙ q ⊙ ⊙ ⊙
Os sistemas pq e MIU são muito interessantes pois nos permitem produzir inumeráveis seqüências
de símbolos a partir de regras ... mas para que queremos estas seqüências? Seqüências quaisquer
de símbolos sem significado não nos interessam, são inúteis. Mas e se associarmos “significado”
aos símbolos? No sistema pq, podemos assumir que x p y q z significa que ˜x + ˜y = ˜z, onde ˜x é o
número de ⊙ que ocorrem em x (o mesmo para y e z). Então p está sendo interpretado como “plus”
(soma) e q como “equals” (igual). Será que funciona? Verifiquemos, começando pelos axiomas. ⊙
p ⊙ q ⊙⊙ é um axioma, que pode ser interpretado como 1 + 1 = 2, onde ˜x = 1, ˜y = 1 e ˜z = 2. De
forma geral, o esquema de axioma diz um número ˜x somado a 1 é igual a um número com um ⊙
a mais, que é ˜x + 1.
A regra diz que se ˜x + ˜y = ˜z, então ˜x + (˜y + 1) = (˜z + 1). Então temos um mapeamento dos
símbolos deste sistema formal para os símbolos utilizados na aritmética:
p mais (plus)
q igual
⊙ um
⊙⊙ dois
⊙ ⊙ ⊙ três
... ...
Este mapeamento é chamado de interpretação. Estamos dando uma interpretação aos símbolos
do sistema formal até então sem nenhum significado. Os símbolos são relacionados com objetos
do “mundo real”, algo que acreditamos que exista, como os números naturais.
Uma pergunta que se faz é se esta interpretação não está de certa forma embutida ou incorporada
no sistema formal, nos axiomas e regras do sistema. Parece difícil que a interpretação não
esteja, já que, neste exemplo, parece que o sistema pq foi feito especialmente para a soma de dois
números. Contudo, isto não é verdade. Este mesmo sistema pode ser interpretado de mais de uma
forma. Por exemplo, no sistema pq a seqüência
x p y q z
pode ser interpretado como ˜x = (−˜y) + ˜z e p seria “equals” (igual) e q seria “plus” (soma).
Concluímos que os símbolos do sistema formal não têm nenhum significado intrínsico — nós os interpretamos
da maneira que nos convêm. Mas sempre respeitando os axiomas e regras de dedução
do sistema. Por exemplo, estaria incorreto associar p à multiplicação e q a igual. Se assim
fizéssemos, teríamos um teorema dizendo que
1.1 = 2
Exercícios Triviais
2.1. Explique o que é um sistema formal, axioma, regra de dedução, teorema e meta-teorema.
2.2. Faça um sistema formal que utilize um alfabeto de quatro símbolos, tenha dois axiomas e pelo
menos duas regras de dedução.
2.3. (i4d2) (r) Faça um meta-teorema para o sistema MIU.
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