Introdução à Lógica

Utilizaremos indução sobre o número de elementos da prova de B. Seja B1, B2, ... Bn, uma
prova de B a partir de Γ ∪ {A}. Naturalmente, B = Bn. Provaremos que Γ ⊢ A−→Bi para
1 i n. A hipótese de indução (HI) é:
HI: dada uma dedução Γ, A ⊢ Bk, temos Γ ⊢ A ⊢ Bk para k < n.
Provaremos primeiro o caso base, Γ ⊢ A−→B1 dado que Γ, A ⊢ B1. Mas B1 é:
1. um axioma;
2. uma fórmula de Γ;
3. A.
Nos casos 1 e 2, podemos construir uma prova para A−→B1 a partir de Γ:
1. B1−→(A−→B1), instância de A1;
2. B1, pois B1 ou é um axioma ou pertence a Γ;
3. A−→B1, MP utilizando 1 e 2.
No caso 3, temos A−→A (já provado) e B1 = A, de onde obtemos A−→B1.
Em qualquer caso, não utilizamos A como hipótese, apenas Γ. Logo, Γ ⊢ A−→B1.
Suponha agora que Γ, A ⊢ Bk implica que Γ ⊢ A−→Bk para k < n (hipótese de indução).
Então Bn é:
• um axioma;
• uma fórmula de Γ;
• A;
• uma dedução por MP a partir de fórmulas anteriores.
Os casos 1, 2 e 3 são tratados como anteriormente. Resta o caso 4 e, neste caso, há fórmulas
Bm e Bj, 1 m, j < n, tais que Bn é deduzido por MP a partir de Bm e Bj, onde Bj é igual a
Bm−→Bn. A dedução de Bn é algo como
1. B1
2. B2
...
m. Bm
...
38