Introdução à Lógica

Proposição 3.10. Toda fórmula A é logicamente equivalente a uma fórmula na forma normal
conjuntiva.
Prova. A prova será feita por construção da fórmula B equivalente logicamente a A e na FNC.
¬¬A é logicamente equivalente a A,
A←→¬¬A
Pelo teorema anterior, existe uma fórmula B ′ na FND que é logicamente equivalente a ¬A:
A←→¬(¬A)←→¬B ′
Aplicando ¬ a B ′ , obtemos uma fórmula B na FNC que é logicamente equivalente a A. Por
quê ? É fácil provar que ¬(A1 ∨ A2 ∨ ... ∨ An) é logicamente equivalente a ¬A1 ∧ ¬A2 ∧ ... ∧ ¬An
e que ¬(A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An) é logicamente equivalente a ¬A1 ∨ ¬A2 ∨ ... ∨ ¬An. Isto se segue do
fato que ¬(A ∧ B)←→(¬A ∨ ¬B) e ¬(A ∨ B)←→(¬A ∧ ¬B) são tautologias. Portanto, quando se
aplica ¬ a uma fórmula na FND, obtém-se uma FNC e vice-versa. Note que uma prova rigorosa
da afirmação acima pode ser feita utilizando-se indução finita.
Tomando-se A, obtemos ¬A na FND (que é B ′ ) e, aplicando ¬ nesta fórmula, obtemos uma
fórmula na FND que é equivalente a A:
A←→¬(¬A)←→¬B ′ ←→B
Considere novamente a tabela verdade
V1 V2 A
V V V
V F F
F V V
F F V
Ao invés de construir a fórmula A na FND, podemos encontrar A na FNC. Basta tomar as
linhas onde A assume o valor F e construir a FNC. Então A é ¬V1∨V2. De fato, podemos simplificar
A encontrado anteriormente e chegar a este resultado:
(V1 ∧ V2) ∨ (¬V1 ∧ V2) ∨ (¬V1 ∧ ¬V2)
(V1 ∧ V2) ∨ (¬V1 ∧ (V2 ∨ ¬V2))
(V1 ∧ V2) ∨ ¬V1
(V1 ∨ ¬V1) ∧ (V2 ∨ ¬V1)
V2 ∨ ¬V1
¬V1 ∨ V2
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