Introdução à Lógica

3.19. (i2d3) Quantas tabelas verdade com n variáveis existem ? Justifique.
3.20. (i2d4) Prove que ¬(A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An) é logicamente equivalente a ¬A1 ∧ ¬A2 ∧ ... ∧ ¬An
utilizando indução finita em n.
3.21. (i2d4) Prove que A1−→(A2−→(A3−→ . . . −→An)) . . .)−→B) é logicamente equivalente a
A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An−→B.
3.4 Sintaxe do Cálculo Proposicional
Os esquemas de axiomas do cálculo proposicional são:
(A1) (A−→(B−→A))
(A2) ((A−→(B−→C))−→((A−→B)−→(A−→C)))
(A3) ((¬B−→¬A)−→((¬B−→A)−→B))
Note que estes são não axiomas e sim esquemas de axiomas. Cada um deles representa infinitos
axiomas. Um axioma é uma fórmula e, por exemplo, (A−→(B−→A)) não é uma fórmula, pois
não pode ser obtido pela regra dada acima para a obtenção de fórmulas. As letras A e B são
meta-fórmulas: elas representam fórmulas e existem fora da linguagem do CP.
Como exemplo, a partir do esquema de axioma (a), podemos obter os seguintes axiomas:
1. (V1−→(V2−→V1)), com V1, que é uma fórmula, substituindo A e V2 substituindo B;
2. (V1−→((V5−→¬V2)−→V1)), com A5−→¬V2 substituindo B ;
3. (¬V1−→(V2−→¬V1)), com ¬V1 substituindo A1.
A única regra de inferência do cálculo proposicional é o Modus Ponens (MP): a partir de A e
A−→B, deduzimos B.
Definição 3.8. Um sistema formal, como o CP, é chamado de teoria formal ou simplesmente
teoria.
Definição 3.9. Uma teoria é axiomatizável se existe um algoritmo que diz se uma fórmula é um
axioma ou não.
O cálculo proposicional é claramente axiomatizável.
Definiremos agora outros conectivos lógicos a partir de ¬ e −→:
D1 (A ∧ B) é ¬(A−→¬B);
D2 (A ∨ B) é (¬A)−→B;
D3 (A←→B) é (A−→B) ∧ (B−→A).
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