Introdução à Lógica

3.5 Relação entre Sintaxe e Semântica
Na Seção 3.4 vimos o que é a linguagem do cálculo proposicional, os seus axiomas e a regra de
dedução deste sistema formal. A isto chamamos de sintaxe. A partir dos três axiomas e da regra
Modus Ponens conseguimos produzir teoremas. Considerando que os axiomas e a regra Modus
Ponens estão muito bem definidos, temos uma definição precisa do que é um teorema e o que não é.
Por exemplo, V1−→V1 é um teorema, como já foi provado. Por um abuso de linguagem, dizemos
que A−→A é um teorema, onde A é uma meta-fórmula que pode ser substituída por qualquer
fórmula do CP. Na verdade, o que queremos dizer é que A−→A é um esquema de teorema:
substituindo A por qualquer fórmula do CP, obtemos um teorema. Assim, são teoremas: V1−→V1,
(V1 ∧ V1)−→(V1 ∧ V1) e ((V1 ∧ V2)−→V1)−→((V1 ∧ V2)−→V1). Um teorema é uma fórmula da
linguagem do CP e, de acordo com a definição dada no início da Seção 3.4, pode conter apenas
as variáveis V1, V2, ..., além de ser formada de acordo com regras bem definidas. Apesar dos
conectivos lógicos básicos terem nomes bem significativos (“negação” e “implica”), para a sintaxe
estes conectivos não significam absolutamente nada. Teoremas e mais teoremas são deduzidos
sem nunca se utilizar o significado das palavras “negação” e “implica”. Uma fórmula é teorema
porque ela é o resultado de uma prova feita por regras bem definidas, não porque seja de alguma
forma “verdadeira” ou “falsa”.
Na Seção 3.2 vimos funções de verdade e suas correspondentes tabelas verdade. Para cada
fórmula do CP pode-se produzir a sua tabela verdade. A semântica do cálculo proposicional
associa a cada fórmula um valor que por ser V para verdadeiro ou F para falso conforme os valores
que se associam às suas variáveis. Uma fórmula que assume sempre o valor V qualquer que seja
a associação de valores para as suas variáveis é chamada de tautologia. Por exemplo, V1−→V1 é
uma tautologia:
V1 V1−→V1
V V
F V
Novamente, por um abuso de linguagem dizemos que A−→A é uma tautologia. Podemos até
construir a tabela verdade deste esquema de fórmula. A associação de fórmulas com os valores
verdade V ou F faz parte da semântica do CP. Os axiomas, regra de dedução e teoremas são
parte da sintaxe. Não há teoremas na semântica e nem fórmulas que são tautologias na sintaxe.
Então V1−→V1 é um teorema do CP (sintaxe) e também uma tautologia (semântica). Surge
então uma pergunta: qual a relação entre sintaxe e semântica ? Os teoremas do CP são obtidos a
partir de axiomas e Modus Ponens e nada têm a ver, aparentemente, com tabelas verdade. Mas,
estranhamente, todos os teoremas do CP apresentados na Seção 3.4 são tautologias. Por exemplo,
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