Introdução à Lógica

Observações: a cada função de verdade corresponde a uma tabela verdade que contém uma variável
para cada argumento da função e uma fórmula que corresponde ao resultado da função. Por
exemplo, para a função verdade f∧ onde f∧(V, V ) = V e f∧(V, F ) = f∧(F, V ) = f∧(F, F ) = F ,
temos a tabela verdade
A B A ∧ B
V V V
V F F
F V F
F F F
onde, a cada linha, o primeiro e o segundo valores correspondem ao primeiro e segundo argumentos
da função.
Antes de provar o teorema, mostraremos um exemplo. Considere a função f dada pela seguinte
tabela verdade:
V1 V2 A
V V V
V F F
F V V
F F V
A fórmula correspondente ao resultado é A, que tentaremos encontrar. Observe que V1 ∧V2 assume
o valor V se os valores de V1 e V2 forem os da primeira linha da tabela. Da mesma forma, ¬V1 ∧ V2
assume V se os valores das variáveis forem os da terceira linha e ¬V1 ∧ ¬V2 assume V se os valores
forem os da quarta linha. Considerando que A assume V se as variáveis assumirem os valores da
primeira, terceira ou quarta linhas da tabela (observe o “ou”), podemos deduzir que A é
(V1 ∧ V2) ∨ (¬V1 ∧ V2) ∨ (¬V1 ∧ ¬V2)
Quando os valores assumidos forem os da primeira linha, a fórmula (V1 ∧ V2) será verdadeira e,
como temos um “ou” de expressões, o valor da fórmula toda será V. O mesmo se aplica à linhas
três e quatro. Mas e se os valores forem os da segunda linha ? Então o valor de A é F. Vejamos
porquê. Tome uma subfórmula qualquer de A, como (¬V1 ∧ ¬V2), correspondente à quarta linha.
Esta subfórmula só é verdadeira se os valores de V1 e V2 forem exatamente F e F. Então tomando os
valores de uma outra linha, como os da segunda linha, o valor desta subfórmula será F. Aplicando
os valores da segunda linha, V e F, para as outras subfórmulas (V1 ∧ V2) e (¬V1 ∧ V2), verificamos
que o resultado é F e F. Isto sempre ocorrerá porque a segunda linha possui pelo menos um
valor diferente de qualquer outra linha. Por exemplo, o segundo valor, F de V2, correspondente à
segunda linha, é diferente de V que aparece como valor de V2 na primeira linha. Todos os valores
da segunda linha diferem dos da terceira linha.
O que conseguimos ? A fórmula A é uma composta por diversas fórmulas separadas por “ou”
e todas elas assumem o valor F se a valoração é aquela da segunda linha. O valor de A é F ∨ F
∨ F, que é F. Então obtemos o resultado esperado; isto é, A realmente produz os mesmos valores
28