Introdução à Lógica

Prefácio
Imagine que alguém queira comunicar como é uma certa pintura para uma outra pessoa. Uma
possibilidade seria converter a pintura para o formato digital, um retângulo compostos por pontos
(cada um com uma cor), e depois escrever a cor de cada ponto, começando do canto superior esquerdo
e procedendo para baixo, linha por linha, até o canto inferior direito. Esta não é uma forma
muito inteligente de comunicação. Contudo, é mais ou menos isso que fazemos quando escrevemos
um livro de Matemática, Física ou Lógica. Nestes livros, uma seqüência de definições, teoremas
e provas é descrita linearmente tentando descrever conceitos que não podem ser compreendidos
desta forma. O leitor fica com a inteira responsabilidade de agrupar todos os conceitos e montar
a “figura” em sua mente, com pouco ou nenhum auxílio por parte do texto.
Neste livro tentamos fazer diferente na medida de nossas possibilidades. Para ajudar o leitor
a montar a imagem da lógica, recorremos a dois artifícios: a) comentários sobre os teoremas
e provas e b) meta-informações no texto. Sendo este um livro de lógica, as informações sobre
lógica constituem a maior parte do texto. Contudo, há informações também sobre o próprio
texto: referências a páginas (“veja os axiomas da página 23”) e figuras que descrevem a própria
estrutura das definições, teoremas e provas. Estes dados adicionais são meta-informações. Com eles
procuramos mostrar como a lógica é estruturada, quais as relações entre os conceitos estudados.
Os comentários no texto ajudam visualizar o quadro geral. Eles procuram apresentar uma outra
visão do texto, podemos dizer “do alto”, fugindo da descrição linear de definições/teoremas do
livro.
Ao final de cada Capítulo deste livro há uma seção chamada de “Complementos” que pode ter
três subseções: a) Visão Alternativa; b) Conexões com a Computação e c) Suposições Implícitas.
A subseção “Visão Alternativa” procura apresentar os conceitos do Capítulo ou parte dele de
maneira diferente do que foi apresentado, facilitando a compreensão do texto. Aliás, isto já é feito
em muitos comentários por todo o livro e não apenas nesta subseção. Qualquer texto se torna
difícil de entender se apenas uma única visão é apresentada. O leitor não consegue formar uma
idéia clara dos conceitos apresentados assim como quando enxergamos com um único olho não
temos a idéia de profundidade da cena observada.
A subseção “Conexões com a Computação” apresenta os possíveis relacionamentos entre o
Capítulo e a Computação. Não se pretende fazer uma apresentação profunda de tópicos da computação
nesta seção. A subseção “Suposições Implícitas” apresenta as suposições implícitas para
que o Capítulo seja válido. Frequentemente se assume que algumas coisas sejam válidas ou absolutamente
necessárias quando isto nem sempre é o caso. Esta seção apresenta o que normalmente
supomos ao estudar o Capítulo. Note que esta subseção de certa forma se sobrepõe com a seção
“Visão Alternativa”. Contudo, o objetivo de ambas é diferente. O objetivo da subseção “Visão Alternativa”
é fazer o leitor compreender melhor o texto. O objetivo da seção “Suposições Implícitas”
é abrir a mente, despertar a criatividade, mostrar que qualquer texto supõe um certo raciocínio
do leitor implicitamente e que isto poderia ser diferente. O objetivo é despertar o leitor para a
pesquisa em Lógica, embora saibamos que este é apenas um texto introdutório de lógica.
Os exercícios deste livro não possuem todos a mesma importância ou nível de dificuldade. Para
facilitar a identificação pelo leitor dos exercícios mais importantes para a compreensão do texto
e daqueles mais difíceis, este livro adota uma classificação, dada por uma seqüência de letras e
números. O nível de importância recebe um de quatro valores:
iii