Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

iv) Pela alínea (ii), F é estritamente decrescente em ]0, +∞[ logo é injectiva nesse
intervalo e, portanto, F restrita a esse intervalo é invertível. Pelo teorema da
derivada da função inversa tem-se, sendo G a inversa dessa restrição,
G ′ (F (1)) =
1
F ′ (G(F (1)))
= 1
F ′ (1)
= 1
− 1
4
= −4
v) Pela alínea (i), F é contínua em [1, 3] e diferenciável em ]1, 3[ pois é diferenciável
em R + . Então pelo teorema de Lagrange existe um c ∈]1, 3[ tal
que
F ′ (c) =
F (3) − F (1)
3 − 1
=
1
1
arctg − arctg
3 1
2
= π/6 − π/4
2
= − π
24
Seja f : R → R uma função diferenciável em R. Suponha que f é par e que existe,
emR, o limite limx→+∞ f(x) = L.
i) Mostre que f é limitada em R.
ii) Supondo adicionalmente que a função satisfaz
Resolução.
f(n + 1) = f(n)
, ∀n∈N
2n mostre que, necessariamente, se tem que verificar L = 0.
i) Como f é diferenciável em R é contínua em R e, portanto, limitada em qualquer
intervalo limitado. Por outro lado, como f(+∞) = L, qualquer que seja
δ > 0 existe ɛ > 0 tal que f(x) ∈]L − δ, L + δ[ para x > 1.
Por simetria, visto
ɛ
que f é par, f(x) ∈]L − δ, L + δ[ para x < − 1.
Então f é limitada em R.
ɛ
ii) Como existe f(+∞) = L, pela definição de limite segundo Heine, existem
e têm o mesmo valor os limites das sucessões f(n + 1) e f(n). Aplicando
limites a ambos os membros da igualdade, visto que tratarem de sucessões
convergentes e 1
2 n → 0, tem-se
lim f(n + 1) = lim f(n)
⇔ L = 0
2n 19