Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

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donde Determine a ∈ N, tal que +∞ n=a 3n−1 = 3. 22n−2 Resolução. A série é uma série geométrica convergente de razão 3 4 , +∞ n=a 16 3 3n−1 4 = 22n−2 3 +∞ n=a a 3 = 3 ⇔ 4 resultando a = 2. (i) Analise a natureza das séries ∞ n=1 3 + √ n n + 1 n 3 = 4 4 3 a 4 3 1 − 3 . 4 a 3 = 4 2 3 4 +∞ n=0 cos(nπ)2 n+1 (ii) Determine um número real que seja majorante do módulo da soma de uma das séries anteriores. Resolução. i) Considerem-se as sucessões an = 3+√n n+1 e bn = √ n n lim an bn = lim √3 + 1 n 1 + 1 n = 1 ∈ R + , Do critério de comparação as séries ∞ n=1 an e ∞ n=1 e n 1 = n 1 . Tem-se 2 n=1 bn têm a mesma natureza. Como a série ∞ n=1 bn é uma série de Dirichlet divergente, ∞ ∞ 3 + p = 1/2 < 1, a série √ n é também divergente. n + 1 A série +∞ n=0 cos(nπ)2 n+1 = 2 e n +∞ n=0 n 2 e n=1 1 np com é uma série geométrica convergente de razão 2 e < 1, sendo a série +∞ cos(nπ)2 n=0 n+1 en consequentemente absolutamente convergente. 32
ii) +∞ n=0 cos(nπ)2n+1 ≤ 2 e n +∞ n=0 n 2 = e 2e e − 2 (i) Determine o intervalo de R onde a série de potências: é absolutamente convergente. +∞ n=1 (ii) Indique a soma da série em x = 1. Resolução. i) Tem-se para o raio de convergência r = lim | an an+1 | = lim (−1) n (x − 2) n (n + 1)(n + 2) 1 (n+1)(n+2) 1 (n+2)(n+3) = lim n + 3 n + 1 = 1 Assim série converge absolutamente se |x − 2| < 1 i.e 1 < x < 3. Para x = −3, +∞ n=1 1 (n + 1)(n + 2) = +∞ n=1 1 1 − n + 1 n + 2 é uma série de Mengoli convergente, pois a sucessão un = 1 é convergente. n + 1 Para x = −1 +∞ (−1) n (n + 1)(n + 2) n=1 é uma série absolutamente convergente. ii) Sendo uma série de Mengoli convergente a sua soma é 1/2, uma vez que, considerando a sucessão das somas parciais Sm, tem-se Sm = m n=1 1 1 − = 1/2 − n + 1 n + 2 1 −→ m + 2 m→+∞ 1/2 33
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