Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

Determine o valor dos integrais
i)
ii)
iii)
iv)
Resolução.
1
Exercícios resolvidos
e
1
1/ √ 2
0
e
1
1
ln 2 x
x dx
x
√ 1 − x 4 dx
x ln 1 + 1
dx
x
0
2x arctg x dx
i) Dado que (ln x) ′ = 1,
a função integranda é imediatamente primitivável e,
x
usando a fórmula de Barrow, tem-se
e
ln 2 e
x 1
dx =
x x (ln x)2 3
e
ln x
dx = =
3
ln3 e
3 − ln3 1 1
=
3 3 .
ii) Através da fórmula de Barrow tem-se
1/ √ 2
0
1
√
1/ 2
2 x 1
2x arcsen(x )
√ dx = dx =
1 − x4 2 0 1 − (x2 ) 2 2
1
1/ √ 2
0
= π
12
iii) Usando o método da integração por partes e fazendo u ′ = x e v = ln 1 + 1
vem u = x2
2 , v′ =
e
1
− 1
x 2
1+ 1
x
x ln 1 + 1
x
= −1
x(x+1) e
2 x
dx =
2 ln
1 + 1
e e
x
−
x 1 1
2 −1
dx =
2 x(x + 1)
= e2
e
e + 1 1 1 x
ln − ln 2 +
2 e 2 2 1 x + 1 dx
23
x