Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

Exercícios resolvidos
Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que, para todo o n ∈ N, o
natural n 3 + 2n é divisível por 3.
Resolução. Pretende-se provar que n 3 + 2n = 3k para algum k ∈ Z, qualquer
que seja n ∈ N. Para base da indução tem-se, com n = 1,
1 3 + 2.1 = 3 ⇒ k = 1 ∈ Z
logo a base da indução é uma proposição verdadeira. Para o passo indutivo, n 3 +
2n = 3k ⇒ (n + 1) 3 + 2(n + 1) = 3k ′ (k, k ′ ∈ Z), tem-se
(n+1) 3 +2(n+1) = (n 3 +2n)+(3n 2 +3n+3) = 3(k+n 2 +n+1) ⇒ k ′ = k+n 2 +n+1 ∈ Z
Logo o passo indutivo é verdadeiro e proposição é verdadeira para todo o n ∈ N.
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