Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

Efectuando a divisão inteira entre os polinómios da última fracção vem x
x+1 =
1 − 1
x+1 logo
e
1
x ln
= e2
2
1 + 1
dx =
x
e2
e2 ln 2 1
ln(e + 1) − − +
2 2 2 2
= e2
2
ln(e + 1) − e2
2
ln(e + 1) − e2
2
− ln 2
2 +
e
1
1 − 1
x + 1 dx
ln 2
−
2 +
e x 1
− ln |x + 1|
2 2 1
e ln(e + 1) 1 ln 2
− − −
2 2 2 2
= 1 2 2
(e − 1) ln(e + 1) − e + e − 1 .
2
iv) Usando o método de integração por partes e fazendo u ′ = 2x e v = arctg x
vem u = x 2 , v ′ = 1
1+x 2 e
1
0
= π
4 −
1
0
2x arctg x dx = x 2 arctg x 1
0 −
x2 1
+ 1
dx +
1 + x2 0
1
0
x2 dx
1 + x2 1 π
dx = + [−x + arctg x]1
1 + x2 0
4
= π
π
+ (−1 + arctg 1) − (arctg 0) = − 1 .
4 2
Determine a área da região limitada pelas linhas, definidas por:
Resolução.
y = −x 2 − 4x − 3 , y + 1 = |x + 2|
1.0
0.5
0.5
1.0
2.5 2.0 1.5 1.0
Para x > −2, |x + 2| = x + 2 e −x 2 − 4x − 3 = (x + 2) − 1 ⇔ x = −1, logo
as linhas intersetam-se em (−1, 0). Sendo a região acima representada simétrica
relativamente a x = −2, a sua área é obtida por:
24