Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

donde
Determine a ∈ N, tal que
+∞
n=a
3n−1 = 3.
22n−2 Resolução. A série é uma série geométrica convergente de razão 3
4 ,
+∞
n=a
16
3
3n−1 4
=
22n−2 3
+∞
n=a
a 3
= 3 ⇔
4
resultando a = 2.
(i) Analise a natureza das séries
∞
n=1
3 + √ n
n + 1
n 3
=
4
4
3 a
4
3 1 − 3 .
4
a 3
=
4
2 3
4
+∞
n=0
cos(nπ)2 n+1
(ii) Determine um número real que seja majorante do módulo da soma de uma
das séries anteriores.
Resolução.
i) Considerem-se as sucessões an = 3+√n n+1 e bn = √ n
n
lim an
bn
= lim
√3 + 1 n
1 + 1
n
= 1 ∈ R + ,
Do critério de comparação as séries ∞
n=1 an e ∞
n=1
e n
1 =
n 1 . Tem-se
2
n=1 bn têm a mesma natu-
reza. Como a série ∞ n=1 bn é uma série de Dirichlet divergente, ∞ ∞ 3 +
p = 1/2 < 1, a série
√ n
é também divergente.
n + 1
A série
+∞
n=0
cos(nπ)2
n+1
= 2
e n
+∞
n=0
n 2
e
n=1
1
np com
é uma série geométrica convergente de razão 2
e < 1, sendo a série +∞ cos(nπ)2
n=0
n+1
en consequentemente absolutamente convergente.
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