Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

Considere a sucessão
n sen(nπ/2)
un = (−1) , n ∈ N
n
i) Indique, caso existam em R, o supremo, ínfimo, máximo e mínimo do conjunto
dos termos da sucessão un.
ii) A sucessão é convergente? Justifique.
iii) A subsucessão u3n é convergente? Justifique e em caso afirmativo determine
o sublimite.
Resolução.
i) Tem-se
u4n = u4n+2 = u2n = 0 , u4n+1 = −1
4n + 1 e u4n+3 =
1
4n + 3
Como as subsucessões indicadas contêm todos os termos da sucessão un, u4n+1
é crescente e u4n+3 é decrescente resulta que, qualquer que seja n ∈ N,
Então, sendo U = {un : n ∈ N},
u1 = −1 ≤ un ≤ 1/3 = u3
sup U = max U = 1/3 e inf U = min U = −1
ii) Como un é o produto de uma sucessão limitada, an = (−1) n sen(nπ/2), por
um infinitésimo, bn = 1/n, un → 0 logo trata-se de uma sucessão convergente.
iii) Dado que, pela alínea anterior, un é uma sucessão convergente, qualquer subsucessão
de un é convergente para o limite de un. Logo u3n é convergente e o
seu limite é 0.
Considere a sucessão convergente vn = xn + yn, n ∈ N em que
(n + 2)!
e
Determine o limite da sucessão vn
xn = 2n+5 − 3n 3n+1 n
+
+ 22n n! + 1
yn+1 = 1
yn +
2
5
, y1 = 1
yn
8