Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial I

Exercícios resolvidos
Considere a sucessão majorada un, definida por
u1 = √ 2, un+1 = √ 3un + 2 n ∈ N
i) Mostre por indução matemática que a sucessão un é estritamente crescente.
ii) A sucessão un é convergente? Justifique.
iii) Determine o limite da sucessão vn = 32n+2 + 3 2n−1
Resolução.
9 + 9 n+1
, n ∈ N.
i) Pretende-se provar que un+1 − un > 0 qualquer que seja n ∈ N. Para n = 1,
u2 − u1 = 3 √ 2 + 2 − √ 2 > 0. A base da indução é, portanto, verdadeira.
Para m ∈ N mostre-se que se um+1 − um > 0 então um+2 − um+1 > 0.
Da definição da sucessão, tem-se
um+2 − um+1 = 3um+1 + 2 − √ 3um + 2 =
(da hipótese de indução) >0
um+1 − um
√ 3um+1 + 2 + √ 3um + 2
Pelo princípio de indução matemática un+1 − un > 0, ∀
n∈N , isto é, a sucessão
un é estritamente crescente.
ii) Da alínea anterior, como un é estritamente crescente é limitada inferiormente,
sendo o seu primeiro termo, u1, um dos minorantes do conjunto dos seus
termos. Sendo un também majorada conclui-se que a sucessão un é uma
sucessão limitada. A sucessão un é assim convergente pois é uma sucessão
monótona e limitada.
iii)
vn = 32n+2 + 3 2n−1
9 + 9 n+1
= 32 9 n + 3 −1 9 n
9 + 9.9 n
Dividindo ambos os membros da fracção pela exponencial dominante (de maior
base), 9n , vem
9 + 3−1 91−n + 9 −→
9 + 3
n→+∞
−1 28
=
0 + 9 27
7
> 0