Sobre uma equação de Kirchoff-Carrier com dissipação em espaços ...

e
são equivalentes.
u ′′ (t) + M(u(t) β
W )Su(t) + δSu′ (t) = 0, em D(S 3
2 ), t > 0 (1.4)
Em virtude da Observação 1.3, fixaremos nosso estudo na equação (1.4) ao invés da
equação (1.3).
Consideremos uma função M(ξ) satisfazendo
(H4) M ∈ C 0 ([0, +∞[) e M(ξ) ≥ 0, ∀ξ ≥ 0.
Sejam µ1, µ2 : [0, ∞[ → R duas funções satisfazendo
(H5) µ1 ∈ W 1,∞
loc (]0, +∞[), µ1(t) ≥ C ∗ > 0, q.s em t (C ∗ constante)
e
(H6) µ2 ∈ L ∞ loc (0, ∞), µ2(t) ≥ C ∗∗ > 0, q.s em t (C ∗∗ constante).
(L)
Analisaremos agora o seguinte problema linear:
u ′′ + µ1Su + δ (1 + θµ2) Su ′ = 0
u (0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 ,
onde δ e θ são números reais com δ > 0, θ ≥ 0 e µ1, µ2 são funções satisfazendo a (H5) e
(H6), respectivamente. Mais precisamente, temos:
Proposição 1.1 Consideremos as hipóteses (H5) e (H6). Se α, δ e θ são números reais
com α ≥ 0, δ > 0, θ ≥ 0 e u0 7
2α+ ∈ D(S 2 ), u1 ∈ D(S2α+3 ), então existe uma única função u
na classe
u ∈ L∞ 7
loc (0, ∞; D(S2α+ 2 ))
u ′ ∈ L∞ loc (0, ∞; D(S2α+3 )) ∩ L2 7
loc (0, ∞; D(S2α+ 2 ))
u ′′ ∈ L∞ loc (0, ∞; D(S2α+2 )) ∩ L2 5
loc (0, ∞; D(S2α+ 2 ))
tal que u é solução do problema
u
(L)
′′ + µ1Su + δ (1 + θµ2) Su ′ = 0 em L∞ loc (0, ∞; D(S2α+2 )) ∩ L2 5
loc (0, ∞; D(S2α+ 2 ))
u (0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 .
7